浙江省强基联盟2023-2024学年高二上学期12月联考数学试卷

试卷更新日期：2023-12-28 类型：月考试卷

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的.

1. 若复数 $z = \frac{2 - a i}{2 + i}$ 在复平面内所对应的点在实轴上，则实数 $a =$ （）

A、 $- 4$ B、 $- 1$ C、1 D、4

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2. 已知直线 $l_{1} ： x + 2 a y - 1 = 0$ 和直线 $l_{2} ： (3 a - 1) x - a y - 1 = 0$ ，则“ $a = \frac{1}{6}$ ”是“ $l_{1} ∥ l_{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如 $30 = 7 + 23$ .在小于9的素数中，选两个不同的数，积为奇数的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{2}{7}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4. 与椭圆 $\frac{x^{2}}{49} + \frac{y^{2}}{24} = 1$ 有公共焦点，且离心率 $e = \frac{5}{4}$ 的双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{49} - \frac{y^{2}}{24} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{24} - \frac{y^{2}}{49} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

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5. 已知l，m，n是三条不同的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 是三个不同的平面，给出下列命题，其中为假命题的是（）

A、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ β$ ， $n ⊥ α$ ，则 $n ⊥ β$ B、若 $l \subset α$ ， $l ⊥ m$ ， $l ⊥ n$ ， $m ∥ β$ ， $n ∥ β$ ，则 $α ∥ β$ C、若 $α ∩ β = l$ ， $β ∩ γ = m$ ， $γ ∩ α = n$ ， $l ∥ m$ ，则 $m ∥ n$ D、若m与n异面， $l ⊥ m$ ， $l ⊥ n$ ，则存在 $α$ ，使得 $l ⊥ α$ ， $m ∥ α$ ， $n ∥ α$

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6. 在正方形 $A B C D$ 中，M，N分别是 $C D$ ， $B C$ 边的中点， $D N$ 与 $B M$ 相交于点 $P$ ，则 $\vec{A P} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A D}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A D}$

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7. 正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $16 S_{6} = 21 S_{2} = 504$ ，则 $a_{1} a_{2} \cdot \cdot \cdot a_{n}$ 的最大值为（）

A、256 B、512 C、1024 D、2048

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8. 在三棱锥 $S - A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = 2$ ， $S A = S C = 2 \sqrt{2}$ ，二面角 $B - A C - S$ 的大小为 $\frac{5 π}{6}$ ，则三棱锥 $S - A B C$ 外接球的表面积为（）

A、 $\frac{88 π}{9}$ B、 $\frac{104 π}{9}$ C、 $\frac{56 π}{3}$ D、 $\frac{104 π}{3}$

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二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 某校组织了600名学生参与测试，随机抽取了80名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）

A、图中a的值为0.15 B、估计这80名学生考试成绩的众数为75 C、估计这80名学生考试成绩的中位数为82 D、估计这80名学生考试成绩的上四分位数为85

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10. 如图，在下面四个正方体中， $l$ 是正方体的一条体对角线，M，N，P分别是其所在棱的中点，则 $l ⊥$ 平面 $M N P$ 的有（）

A、 B、 C、 D、

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11. 记 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 的图象为 $Ω$ ，如图，一光线从x轴上方沿直线 $x = 1$ 射入，经过 $Ω$ 上点 $M (x_{1} ， y_{1})$ 反射后，再经过 $Ω$ 上点 $N (x_{2} ， y_{2})$ 反射后经过点P，直线 $M O$ 交直线 $y = - 1$ 于点Q，下面说法正确的是（）

A、 $x_{1} x_{2} = - 4$ B、 $| M N | = \frac{23}{4}$ C、以 $M N$ 为直径的圆与直线 $y = - 1$ 相切 D、P，N，Q三点共线

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12. 斐波那契数列又称“兔子数列”“黄金分割数列”，在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列 ${a_{n}}$ 可以用如下方法定义：
$a_{1} = a_{2} = 1$ ， $a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2}$ （ $n \geq 3$ ， $n \in N^{*}$ ）.则（）

A、 $3 a_{n} = a_{n - 2} + a_{n + 2}$ B、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + \cdot \cdot \cdot + a_{2 n - 1} = a_{2 n} - 1$ C、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} = a_{n + 2} - 1$ D、 $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{2023}^{2} = a_{2023} a_{2024}$

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = \sqrt{2}$ ， $⟨ \vec{a} ， \vec{b} ⟩ = \frac{3 π}{4}$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) =$ .

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14. 已知P，A，B，C四点不共面，若 $∠ C P A = ∠ C P B = ∠ A P B = 60 °$ ，直线 $P C$ 与平面 $P A B$ 所成的角为 $θ$ ，则 $c o s θ =$ .

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15. 已知 $⊙ M ： {(x - 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9$ ，直线 $l ： x + y + 3 = 0$ ， P为 $l$ 上的动点，过点P作 $⊙ M$ 的切线 $P A$ ， $P B$ ，切点分别为A，B，则直线 $A B$ 所过的定点坐标为.

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式是 $a_{n} = 3^{n}$ .在 $a_{1}$ 和 $a_{2}$ 之间插入1个数 $x_{11}$ ，使 $a_{1}$ ， $x_{11}$ ， $a_{2}$ 成等差数列；在 $a_{2}$ 和 $a_{3}$ 之间插入2个数 $x_{21}$ ， $x_{22}$ ，使 $a_{2}$ ， $x_{21}$ ， $x_{22}$ ， $a_{3}$ 成等差数列.那么 $x_{22} =$ .按此进行下去，在 $a_{n}$ 和 $a_{n + 1}$ 之间插入 $n$ 个数 $x_{n 1}$ ， $x_{n 2}$ ， …， $x_{n n}$ ，使 $a_{n}$ ， $x_{n 1}$ ， $x_{n 2}$ ， …， $x_{n n}$ ， $a_{n + 1}$ 成等差数列，则 $a_{1} + x_{11} + a_{2} + x_{21} + x_{22} + a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} + x_{n 1} + x_{n 2} + \cdot \cdot \cdot + x_{n n} =$ .（第一空2分，第二空3分）

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四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $b (2 + c o s A) = \sqrt{3} a s i n B$ .

(1)、求角A的大小；

(2)、D是线段 $B C$ 上的点，且 $A D = B D = 1$ ， $C D = 2$ ，求 $△ A B D$ 的面积.

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18. 已知圆锥的顶点为S，O为底面圆心， $∠ A O B = 120 °$ ，异面直线 $S A$ 与 $O B$ 所成角的余弦值为 $\frac{1}{6}$ ， $△ S A B$ 的面积为 $3 \sqrt{11}$ .

(1)、求该圆锥的表面积；

(2)、求该圆锥内半径最大的球的体积.

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19. 在平面内，已知动点M到两个定点 $A (- 5 ， 2)$ ， $B (- 2 ， 2)$ 的距离的比值为2.

(1)、求动点M的轨迹方程，并说明其轨迹C的形状；

(2)、直线 $2 x - y + 2 = 0$ 与轨迹C交于两点，求过该两点且面积最小的圆的方程.

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20. 如图，在直棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A C = C B = \frac{\sqrt{2}}{2} A B$ ， E，F分别是棱 $B C$ ， $A C$ 上的动点，且 $B E = C F$ .

(1)、证明： $A_{1} E ⊥ B_{1} F$ .

(2)、当三棱锥 $C_{1} - C E F$ 的体积取得最大值时，求平面 $B_{1} B F$ 与平面 $B_{1} E F$ 的夹角的余弦值.

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21. 已知 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和， $a_{1} = 2$ ， $S_{n} = a_{n + 1} - 3 n - 2$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{2^{n}}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，记数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，若关于m的不等式 $m^{2} - \frac{6}{7} m < T_{n}$ 恒成立，求m的取值范围.

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22. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} (- 1 ， 0)$ ， $F_{2} (1 ， 0)$ ， M是椭圆上的一点，当 $∠ F_{1} M F_{2} = 60 °$ 时， $△ F_{1} M F_{2}$ 的面积为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、过右焦点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆E交于A，B两点，线段 $A B$ 的垂直平分线交直线 $l$ 于点P，交直线 $x = - 2$ 于点Q，求 $\frac{| P Q |}{| A B |}$ 的最小值.

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