黑龙江省齐齐哈尔市重点学校2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题

试卷更新日期：2023-12-27 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 空间四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ ， $\vec{A D} = \vec{c}$ ，则 $\vec{C D}$ 等于（）

A、 $\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$ B、 $\vec{c} - \vec{a} - \vec{b}$ C、 $\vec{a} - \vec{b} - \vec{c}$ D、 $\vec{b} - \vec{a} + \vec{c}$

查看试题解析
2. 数列 $- \frac{1}{5} ， \frac{1}{7} ， - \frac{1}{9} ， \frac{1}{11}$ ，…的通项公式可能是 $a_{n} =$ （）

A、 $\frac{{(- 1)}^{n - 1}}{3 n + 2}$ B、 $\frac{{(- 1)}^{n}}{3 n + 2}$ C、 $\frac{{(- 1)}^{n - 1}}{2 n + 3}$ D、 $\frac{{(- 1)}^{n}}{2 n + 3}$

查看试题解析
3. 设不同直线 $l_{1} ： 2 x - m y - 1 = 0$ ， $l_{2} ： (m - 1) x - y + 1 = 0$ ，则“ $m = 2$ ”是“ $l_{1} / / l_{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
4. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和．若 $a_{3} = 5$ ， $a_{7} = 13$ ，则 $S_{10} =$ （）

A、97 B、98 C、99 D、100

查看试题解析
5. 已知平面 $α$ 内的三点 $A (0 ， 0 ， 1)$ ， $B (0 ， 1 ， 0)$ ， $C (1 ， 0 ， 0)$ ，平面 $β$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (- 1 ， - 1 ， - 1)$ ，且 $β$ 与 $α$ 不重合，则（）

A、 $α / / β$ B、 $α ⊥ β$ C、 $α$ 与 $β$ 相交但不垂直 D、以上都不对

查看试题解析
6. 已知 $A$ 是抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的一点， $F$ 为抛物线的焦点， $O$ 为坐标原点，当 $| A F | = 4$ 时， $∠ O F A = 120 °$ ，抛物线的准线方程是（）

A、 $x = - 1$ B、 $y = - 1$ C、 $x = - 2$ D、 $y = - 2$

查看试题解析
7. 设F为抛物线C：y²=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{9 \sqrt{3}}{8}$ C、 $\frac{63}{32}$ D、 $\frac{9}{4}$

查看试题解析
8. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ 、 $T_{n}$ ，若 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{3 n + 4}{n + 2}$ ，则 $\frac{a_{3} + a_{7} + a_{8}}{b_{2} + b_{10}} =$ （）

A、 $\frac{111}{13}$ B、 $\frac{37}{13}$ C、 $\frac{111}{26}$ D、 $\frac{37}{26}$

查看试题解析

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得5分，有错选得0分，部分选对得2分.

9. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = n^{2} + n$ ，则下列是该数列中的项的是（）

A、18 B、12 C、25 D、30

查看试题解析
10. 已知圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x - 1 = 0$ ，则下列说法正确的有（）

A、关于点 $(2 ， 0)$ 对称 B、关于直线 $y = 0$ 对称 C、关于直线 $x + 3 y - 2 = 0$ 对称 D、关于直线 $x - y + 2 = 0$ 对称

查看试题解析
11. 数列 ${a_{n}}$ 前 $n$ 项的和为 $S_{n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a_{n} = - 2 n + 11$ ，则数列 ${a_{n}}$ 前5项的和最大 B、设 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $\frac{S_{4}}{S_{8}} = \frac{1}{5}$ ，则 $\frac{S_{8}}{S_{16}} = \frac{5}{22}$ C、已知 $a = 5 + 2 \sqrt{6}$ ， $c = 5 - 2 \sqrt{6}$ ，则使得 $a$ ， $b$ ， $c$ 成等比数列的充要条件为 $b = 1$ D、若 ${a_{n}}$ 为等差数列，且 $a_{1011} < 0$ ， $a_{1011} + a_{1012} > 0$ ，则当 $S_{n} < 0$ 时， $n$ 的最大值为2022

查看试题解析
12. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $E$ ， $F$ ， $G$ 分别为 $B C$ ， $C C_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点，则（）

A、直线 $D_{1} D$ 与直线 $A F$ 垂直 B、直线 $A_{1} G$ 与平面 $A E F$ 平行 C、平面 $A E F$ 截正方体所得的截面面积为 $\frac{9}{8}$ D、点 $C$ 与点 $B$ 到平面 $A E F$ 的距离相等

查看试题解析

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知平行直线 $l_{1} ： 2 x + y - 1 = 0 ， l_{2} ： 2 x + y + 1 = 0$ ，则 $l_{1} ， l_{2}$ 的距离是

查看试题解析
14. 求过原点且倾斜角为 $60 °$ 的直线被圆 $x^{2} + y^{2} - 4 y = 0$ 截得的弦长.

查看试题解析
15. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F$ ， $A (- a ， 0)$ ， $B (0 ， b)$ 为椭圆的两个顶点，若 $F$ 到 $A B$ 的距离等于 $\frac{b}{\sqrt{7}}$ ，则椭圆的离心率为.

查看试题解析
16. 已知圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} - k x + 2 y = 0$ 与圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} + k x - 4 = 0$ 得公共弦所在直线恒过定点 $P (a ， b)$ ，而且点 $P$ 在直线 $m x - n y - 4 = 0 (m > 0 ， n > 0)$ 上，则 $m^{2} + n^{2}$ 的最小值是.

查看试题解析

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知直线 $l ： a x - y - 3 + a^{2} = 0 (a \in R)$ .

(1)、若 $l$ 不经过第三象限，求 $a$ 的取值范围；

(2)、求坐标原点 $O$ 到直线 $l$ 距离的最小值，并求此时直线 $l$ 的方程.

查看试题解析
18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 是递减数列，设其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 1$ ， $S_{2} S_{3} = 36$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${\frac{S_{n}}{n} + 9}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ 的最大值及相应的 $n$ 的值.

查看试题解析
19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为长方形， $A B = 2$ ， $A D = 4$ ，侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $△ P A D$ 是正三角形， $M$ 是 $P D$ 的中点， $N$ 是 $A B$ 的中点.

(1)、求证： $M N / /$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求二面角 $A - P B - C$ 的正弦值.

查看试题解析
20. 椭圆 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 和点 $P (4 ， 2)$ ，直线 $l$ 经过点 $P$ 且与椭圆交于 $A ， B$ 两点．

(1)、当直线 $l$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$ 时，求线段 $A B$ 的长度；

(2)、当 $P$ 点恰好为线段 $A B$ 的中点时，求 $l$ 的方程．

查看试题解析
21. 已知双曲线： $\frac{x^{2}}{5 - m} - \frac{y^{2}}{m - 1} = 1 (1 < m < 5)$ 的一个焦点与抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点重合.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l ： x = t y + 8$ 交抛物线 $C$ 于 $A$ 、 $B$ 两点， $O$ 为原点，求证：以 $A B$ 为直径的圆经过原点 $O$ .

查看试题解析
22. 如图，椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $A (0 ， - 1)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、若经过点 $(1 ， 1)$ ，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．

查看试题解析