黑龙江省哈尔滨市重点中学2023-2024学年高一上学期12月测试数学试卷

试卷更新日期：2023-12-27 类型：月考试卷

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一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合 $M = {x | x^{2} + x - 6 \geq 0}$ ， $N = {- 4 ， - 3 ， - 2 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，则 $M ∩ N =$ （）

A、 ${- 4 ， - 3 ， - 2 ， 2}$ B、 ${- 4 ， - 3 ， 2}$ C、 ${- 3 ， 2}$ D、 ${- 3 ， 0 ， 1 ， 2}$

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2. “方程 $x^{2} + 2 x + a = 0$ 有两个不等实数根”的一个充分不必要条件是（）

A、 $a < 2$ B、 $a < 1$ C、 $a < 0$ D、 $a \leq 1$

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3. 函数 $f (x) = {| x |}^{\frac{5}{4}}$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 若角330°的终边上有一点 $(a ， - 1)$ ，则a的值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $\pm \sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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5. 已知 $a = c o s 72 ° c o s 12 ° - s i n 108 ° c o s 102 °$ ，则a的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 已知角 $α$ 终边过点 $(m ， 2)$ ，且 $\frac{2 s i n α - c o s α}{3 s i n α + 2 c o s α} = \frac{1}{12}$ ，则实数 $m =$ （）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、3 D、 $\frac{4}{3}$

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7. 已知 $f (x) = l o g_{\frac{1}{2}} x^{2} - | x |$ ， $a = f (0 . 7^{0.4})$ ， $b = f (l o g_{4} 10)$ ， $c = f (l o g_{\frac{1}{2}} 3)$ ，则有（）

A、 $b < c < a$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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8. 已知 $f (x)$ 是定义在R上的单调函数， $y = f (x - 2)$ 关于 $(2 ， 0)$ 对称，若实数m，n满足等式 $f (n - 3) + f (4 m - m^{2} - 3) = f (0)$ ，则 $\frac{n + 4 m}{2 m^{2} + 4}$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， \frac{3}{2}]$ B、 $(\frac{3}{4} ， \frac{3}{2}]$ C、 $(\frac{1}{2} ， \frac{3}{2}]$ D、 $(\frac{2}{3} ， \frac{4}{3}]$

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二、多选题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的选项中，有多个符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 下列各式中值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的是（）

A、 $s i n \frac{4 π}{3}$ B、 $2 \sqrt{3} s i n \frac{π}{12} c o s \frac{π}{12}$ C、 $2 c o s^{2} \frac{π}{12} - 1$ D、 $\frac{3}{2} t a n \frac{7 π}{6}$

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10. 已知 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $a + 2 b = 2$ ，则下列不等式一定成立的有（）

A、 $0 < a < 2$ B、 $a b < \frac{1}{2}$ C、 $a^{2} + 4 b^{2} > 2$ D、 $\frac{4}{a} + \frac{1}{b} \geq 2 \sqrt{2} + 3$

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11. 已知下列等式的左右两边都有意义，则能够恒成立的是（）

A、 $s i n (\frac{π}{3} + α) = s i n (\frac{2 π}{3} - α)$ B、 $s i n (\frac{π}{4} + α) = - c o s (\frac{5 π}{4} - α)$ C、 $t a n (\frac{π}{3} - α) = t a n (\frac{2 π}{3} + α)$ D、 $t a n^{2} α s i n^{2} α = t a n^{2} α - s i n^{2} α$

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12. 已知函数 ${\begin{cases} 2^{x} + 1 ， x \leq 0 \\ | l o g_{2} x | ， 0 < x < 2 \\ \frac{2}{x} ， x \geq 2 \end{cases}$ ，则关于方程 $2 f^{2} (x) - (2 a + 5) f (x) + 3 (a + 1) = 0$ 根的个数判断正确的是（）

A、当 $a < - 1$ 时，方程有2个根 B、当 $- 1 < a < 0$ 时，方程有5个根 C、若方程有3个根，则 $a > 1$ D、若方程有4个根，则 $0 \leq a \leq 1$ 且 $a \neq \frac{1}{2}$

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三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）

13. 函数 $f (x) = \sqrt{1 - l g x}$ 的定义域为．

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14. 已知扇形的半径为3，圆心角的弧度数是2，则扇形的面积与周长的比值为．

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15. 函数 $f (x) = 2^{| x - 2 |} - 1$ 在区间 $[1 ， 5]$ 上的值域为．

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16. 定义在R上的函数 $f (x)$ 满足（1） $f (x)$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上单调递减；（2） $f (x) = f (2 - x)$ （3） $f (- 4) = 0$ ．则不等式 $(x + 1) f (2 x - 2) < 0$ 的解集为．

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四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.

(1)、已知 $a l o g_{\frac{1}{2}} 3 + 1 = 0$ ，求 $9^{a} + a l o g_{2} 81$ 的值；

(2)、计算 $0.06 4^{- \frac{1}{3}} - {(- 81)}^{0} + t a n \frac{15}{4} π + c o s (l o g_{2023} 1) + \sqrt{{(e - 3)}^{2}}$ 的值．

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18. 已知 $t a n α - \frac{1}{t a n α} = \frac{5}{6}$ 且 $α$ 为第三象限角．

(1)、求 $t a n 2 α$ ；

(2)、求 $4 s i n^{2} α - 3 c o s α c o s (\frac{3 π}{2} + α)$ 的值．

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19. 已知 $\frac{π}{4} < α < \frac{3 π}{4}$ ， $0 < β < \frac{π}{4}$ ， $s i n (α - \frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ， $c o s (α + β) = - \frac{3}{5}$ ．

(1)、求 $s i n (α + \frac{5 π}{4})$ 的值；

(2)、求 $c o s (β + \frac{π}{4})$ 的值．

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20. 已知关于x的方程 $2 x^{2} + (\sqrt{3} - 1) x + m = 0$ 的两个根为 $s i n θ$ 和 $c o s θ$ ， $θ \in (0 ， \frac{π}{2})$

(1)、求 $\frac{s i n θ}{1 - \frac{1}{t a n θ}} + \frac{c o s θ}{1 - t a n θ}$ 的值；

(2)、求m的值．

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21. 设函数 $f (x) = a^{x} + k a^{- x} (a > 0 且 a \neq 1)$ 是定义域为R的奇函数， $f (- 1) < 0$ ．

(1)、求实数k的值并直接写出函数的单调性；

(2)、在（1）的条件下， $\exists x \in [- 2 ， 0]$ 使得不等式 $f (2 - t \cdot 9^{| x + 1 |}) + f (4 \cdot 3^{| x + 1 |}) > 0$ 有解，求实数t的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = l o g_{4} (4^{x} + 1) - k (x + 1)$ 过原点且 $g (x) = f (x) + \frac{1}{2}$ ．

(1)、求k值并证明 $g (x)$ 为偶函数；

(2)、若方程 $g (x) = l o g_{4} (a \cdot 2^{x} - \frac{4}{3} a)$ 有且只有一个解，求实数a的取值范围．

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