浙江省杭州市上城区2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

试卷更新日期：2023-12-26 类型：期中考试

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一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）

1. 已知⊙O的半径为5，PO＝4，则点P在（　　）

A、圆内 B、圆上 C、圆外 D、不确定

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2. 已知线段a＝1，c＝5，线段b是线段a、c的比例中项，线段b的值为（　　）

A、2.5 B、 $\sqrt{5}$ C、±2.5 D、± $\sqrt{5}$

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3. 下列事件中属于必然事件的是（　　）

A、等腰三角形的三条边都相等 B、两个偶数的和为偶数 C、任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上 D、立定跳远运动员的成绩是9m

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4. 已知点A，B，且AB＜6，画经过A、B两点且半径为3的圆又（　　）

A、0个 B、1个 C、2个 D、无数个

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5. 对于抛物线y＝-2（x+1）²-3，下列结论：①抛物线的开口向下：②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为（-1，3），④有最小值为-3，其中正确结论的个数为（　　）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转32°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是（　　）

A、32° B、36° C、38° D、40°

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7. 已知三点（2，a），（-1，b），（3，c）在抛物线y＝x²+x+2上，则a，b，c的大小关系是（　　）

A、c＞a＞b B、b＞a＞c C、a＞b＞c D、无法比较大小

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8. 正六边形内接于圆，它的边所对的圆周角是（　　）

A、60° B、120° C、60°或120° D、30°或150°

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9. 如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝4，则半径OB等于（　　）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、2 $\sqrt{2}$ D、3

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10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+3（a＜0）交x轴于A，B两点（B在A左侧），交y轴于点C，且CO＝AO，分别以BC，AC为边向外作正方形BCDE、正方形ACGH，记它们的面积分别为S₁ ， S₂ ， △ABC面积记为S₃ ，当S₁+S₂＝6S₃时，b的值为（　　）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $- \frac{3}{4}$ D、 $- \frac{4}{3}$

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二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）

11. 已知 $\frac{a}{b} = \frac{3}{5}$ ，则 $\frac{a + b}{b - a}$ 的值为．

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12. 半径为5的圆中，60°的圆周角所对的弧长为．

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13. 在一个箱子里放有6个白球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同．某数学兴趣小组一共做了4000次摸球试验（每次摸一个球，记录后放回，搅匀），摸到白球的次数为1000次，估计这个箱子里红球有个．

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14. 如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠ACD=40°，则∠B °．

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15. 已知二次函数y＝ax²+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0）．对于下列命题：①b-2a＝0；②abc＜0；③a-2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有．

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16. 如图，在以AB为直径的半圆O上，AB＝2 $\sqrt{5}$ ，点C事半圆弧上的任务点，点F是 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点，连接BF交AC于点E，AD平分∠CAB交BF于点D，则∠ADB＝度；当DB＝DF时，BC的长为．

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三、全面答一答（本题有8个小题，共66分）

17. 一只不透明的袋子中装有4个球，其中2个白球和2个黑球，它们除颜色外都相同．

(1)、求摸出一个球是白球的概率．

(2)、摸出一个球，记下颜色后不放回，再摸出1个球，求两次摸到的球颜色相同的概率（要求画树状图或列表）．

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18. 如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中P，连接PD，使得PF=PD，在AB的延长线上取点F，使PF以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上.

(1)、AM，DM的长分别为，．

(2)、M是AD的黄金分割点吗？请说明理由．

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19. 如图，在10×10正方形网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），△ABC的三个顶点都在格点上

(1)、请在图中标出△ABC的外接圆的圆心P的位置，并填写圆心P的坐标：．

(2)、尺规作图：画出⊙P，并作它的一个内接三角形，要求该三角形为等边三角形．

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20. 如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，∠A＝45°，AB＝30，DE=x，其中15＜x＜30．过点D作DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，使点A落在点F处，DF交BC于点G．

(1)、用含x的代数式表示BF的长．

(2)、设四边形DEBG的面积为S，求S关于x的函数表达式．

(3)、当x为何值时，S有最大值？并求出这个最大值．

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21. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，过点C作CE⊥AB于点E，OC⊥CE，连接AC．

(1)、求证：AC平分∠EAD；

(2)、若∠EAD＝60°，AC=2 $\sqrt{3}$ ，求AD、AC与弧CD围成阴影面积部分的面积．

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22. 已知二次函数y＝ax²+2ax-2a（a＞0）．

(1)、求二次函数图象的对称轴；

(2)、当-2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差为2，求该二次函数的表达式；

(3)、对于二次函数图象上的两点P（x₁ ， y₁），Q（x₂ ， y₂），当t-1≤x₁≤t+1，x₂≥3时，均满足y₁≤y₂ ，请结合函数图象，求t的取值范围．

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23. 根据背景素材，探索解决问题．

测算石拱桥拱圈的半径
素材1	某数学兴趣小组测算一座石拱桥拱圈的半径（如图1），石拱桥由矩形的花岗岩叠砌而成，上、下的花岗岩错缝连接（花岗岩的各个顶点落在上、下花岗岩各边的中点，如图2所示）．
素材2	通过观察发现A，B，C三个点都在拱圈上，A是拱圈的最高点，且在两块花岗岩的连接处，B，C两个点都是花岗岩的顶点（如图3）．
素材3	如果没有带测量工具，那么可以用身体的“尺子”来测，比如前臂长（包括手掌、手指）（如图4），利用该方法测得一块花岗岩的长和宽（如图5）．
问题解决
任务1	获取数据	通过观察、计算B，C两点之间的水平距离及铅垂距离（高度差）．
任务2	分析计算	通过观察、计算石拱桥拱圈的半径．

注：测量、计算时，都以“肘”为单位．

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24. 如图1，四边形ABDE内接于⊙O，AB＝AE，AC⊥BD于点F．点C在⊙O上，AC⊥BD于点F.

(1)、连接BE，求证：∠ABE＝∠ACB．

(2)、设∠CBF为x度，∠BAE为y度，写出y关于x的函数表达式．

(3)、如图2，作OG⊥AC于点G，连接AO并延长交⊙O于点H．
①∠BAE＝120°，OG＝4， $C F = 3 \sqrt{3}$ ，求BD的长．
②若DE＝12，求OG的长．

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