北京重点大学附属中学2023-2024学年高三上学期数学12月诊断练习试题

试卷更新日期：2023-12-26 类型：月考试卷

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一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

1. 已知集合 $M = {x ∣ x + 2 \geq 0} ， N = {x ∣ x - 1 < 0}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${x ∣ - 2 \leq x < 1}$ B、 ${x ∣ - 2 < x \leq 1}$ C、 ${x ∣ x \geq - 2}$ D、 ${x ∣ x < 1}$

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2. 设 $z = \frac{2 + i}{1 + i^{2} + i^{3}}$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 - 2 i$ B、 $1 + 2 i$ C、 $2 - i$ D、 $2 + i$

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3. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等比数列，若 $a_{5} - a_{3} = 12 ， a_{6} - a_{4} = 24$ ，则a₂₀₂₄=（）

A、 $2^{2023} - 1$ B、 $2^{2023}$ C、 $2^{2024} - 1$ D、 $2^{2024}$

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4. 设 $a = 2^{0.3} ， b = s i n 2 8^{°} ， c = l n 2$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < b < c$ C、 $b < c < a$ D、 $b < a < c$

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5. 设是直线， $α 、 β$ 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）

A、若 $l ∥ α ， l ∥ β$ ，则 $α / / β$ B、若 $α ⊥ β ， l ⊥ α$ ，则 $l / / β$ C、若 $l / / α ， l ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $α ⊥ β ， l / / α$ ，则 $l ⊥ β$

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6. “a=-1”是“函数f（x）=|sinx- $α$ |在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上最大值为2”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 若曲线 $C$ ： $x^{2} + y^{2} + 2 a x - 4 a y + 5 a^{2} - 4 = 0$ 上所有的点均在第二象限内，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， - 2)$ B、 $(- \infty ， - 1)$ C、 $(1 ， + \infty)$ D、 $(2 ， + \infty)$

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8. 埃及胡夫金字塔是世界古代建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱雉，其侧面与底面所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，则侧面三角形的底角的正切值为（）

A、2 B、3 C、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$

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9. 已知 $f (x) ， g (x)$ 分别为定义域为 $R$ 的偶函数和奇函数，且 $f (x) + g (x) = e^{x}$ ，若关于x的不等式 $2 f (x) - a g^{2} (x) \geq 0$ 在(0，ln2)上恒成立，则实数a的最大值是（）

A、 $\frac{40}{9}$ B、 $\frac{39}{9}$ C、 $\frac{38}{9}$ D、 $\frac{37}{9}$

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10. 数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体 $A B C D$ 的棱长为4，则下列结论正确的是（）

A、勒洛四面体最大的截面是正三角形 B、若 $P ， Q$ 是勒洛四面体 $A B C D$ 表面上的任意两点，则 $P Q$ 的最大值为4 C、勒洛四面体 $A B C D$ 的体积是 $8 \sqrt{6} π$ D、勒洛四面体 $A B C D$ 内切球的半径是 $4 - \sqrt{6}$

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二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.

11. 命题 $\forall x > 1 ， x^{2} - x - 6 \leq 0^{n}$ 的否定是.

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12. 设点P(x，y)是圆：（x-3）²+y²=4上的动点，定点A(0，2)， B(0，-2)，则 $| \vec{P A} + \vec{P B} |$ 的取值范围为.

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13. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1} ， A B ⊥ B C ， A C = 2 A B ， A_{1} C = 2$ ，则三棱柱. $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积的最大值为；此时棱柱的高为.

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14. 素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，素描水平反映了绘画者的空间造型能力.“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，图1是某同学绘制的“十字贯穿体”的素描作品.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点(该点为所在棱的中点).若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为4，高为 $6 \sqrt{2}$ 的正四棱柱构成(图2)，则一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的点C出发，沿表面到达点D的最短路线长为.

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15. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 是对角线. $A C_{1}$ 的动点(点 $P$ 与 $A ， C_{1}$ 不重合)，则下列结论正确的有.
①存在点 $P$ ，使得平面 $A_{1} D P / /$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ ；
② $S_{1} ， S_{2}$ 分别是 $△ A_{1} D P$ 在平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，平面 $B B_{1} C_{1} C$ 上的正投影图形的面积，存在点 $P$ ，使得 $S_{1} = S_{2}$ ；
③对任意的点 $P$ ，都有 $A_{1} P = D P$ ；
④对任意的点 $P ， △ A_{1} D P$ 的面积都不等于 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ .

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三、解答题共6小题,共85分.解答写出文字说明、演算步骤或证明过程.

16. 已知 $△ A B C ， A (- 1 ， 1) ， B (2 ， - 2) ， C (5 ， 1)$ .

(1)、求 $A B$ 边上的高所在的直线方程并求出高的长；

(2)、求 $△ A B C$ 的外接圆的方程.

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17. 如图，在四棱雉P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD为等腰直角三角形，且 $∠ P A D = \frac{π}{2}$ ，点 $F$ 为棱 $P C$ 上的点，平面 $A D F$ 与棱 $P B$ 交于点 $E$ .

(1)、求证： $E F / / A D$ ；

(2)、从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面PCD与平面 $A D F E$ 所成锐二面角的大小.
条件①： $A E = \sqrt{2}$ ；
条件②：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；
条件③： $P B ⊥ F D$ .

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c ， 2 b c o s C = 2 a - c$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $a < c ， b = 2 \sqrt{7} ， A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ，求a，c的值.

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19. 已知点 $P$ 是边长为2的菱形ABCD所在平面外一点，且点 $P$ 在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点 $O$ ，已知 $∠ B A D = 6 0^{°} ， △ P D B$ 是等边三角形.

(1)、求证： $A C ⊥ P D$ ；

(2)、求点D到平面 $P B C$ 的距离；

(3)、若点 $E$ 是线段 $A D$ 上的动点，问：点 $E$ 在何处时，直线 $P E$ 与平面 $P B C$ 所成的角最大?求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段 $D E$ 的长.

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20. 已知函数 $f (x) = e^{x} [x^{2} - (2 a + 1) x + 1]$ .

(1)、若 $a = \frac{1}{2}$ 求曲线 $y = f (x)$ 在点（0，f（0））处的切线；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、当 $a > 0$ 时，若对任意实数x， $f (x) > (2 - 3 a) e^{2 a}$ 恒成立，求a的取值范围.

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21. 数列 ${a_{n}} ： a_{1} ， a_{2} ， a_{n} (n \geq 4)$ 满足： $a_{1} = 1 ， a_{n} = m ， a_{k + 1} - a_{k} = 0$ 或 $1 (k = 1 ， 2 ， \dots ， n - 1)$ ，对任意i，j，都存在s，t，使得 $a_{i} + a_{j} = a_{s} + a_{t}$ ，其中 $i ， j ， s ， t \in {1 ， 2 ， … ， n}$ 且两两不相等.

(1)、若m=2，直接写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号：
①1，1，1，2，2，2；②1，1，1，1，2，2，2，2；③1，1，1，1，1，2，2，2，2

(2)、记S=a₁+a₂+…+a_n ，若 $m = 3$ ，证明： $S \geq 20$ ；

(3)、若m=2022，求n的最小值.

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