2013年高考理数真题试卷（江西卷）

试卷更新日期：2016-09-28 类型：高考真卷

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一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合M={1，2，zi}，i为虚数单位，N={3，4}，M∩N={4}，则复数z=（）

A、﹣2i B、2i C、﹣4i D、4i

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2. 函数y= $\sqrt{x}$ ln（1﹣x）的定义域为（）

A、（0，1） B、[0，1） C、（0，1] D、[0，1]

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3. 等比数列x，3x+3，6x+6，…的第四项等于（）

A、﹣24 B、0 C、12 D、24

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4. 总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481

A、08 B、07 C、02 D、01

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5. （x²﹣ $\frac{2}{x^{3}}$ ）⁵的展开式中的常数项为（）

A、80 B、﹣80 C、40 D、﹣40

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6. 若S₁= $\int_{1}^{2}$ x²dx，S₂= $\int_{1}^{2}$ $\frac{1}{x}$ dx，S₃= $\int_{1}^{2}$ e^xdx，则S₁ ， S₂ ， S₃的大小关系为（）

A、S₁＜S₂＜S₃ B、S₂＜S₁＜S₃ C、S₂＜S₃＜S₁ D、S₃＜S₂＜S₁

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7. 阅读如下程序框图，如果输出i=5，那么在空白矩形框中应填入的语句为（）

A、S=2*i﹣2 B、S=2*i﹣1 C、S=2*I D、S=2*i+4

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8. 如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m+n=（）

A、8 B、9 C、10 D、11

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9. 过点（ $\sqrt{2} ， 0$ ）引直线l与曲线y= $\sqrt{1 - x^{2}}$ 相交于A，B两点，O为坐标原点，当△ABO的面积取得最大值时，直线l的斜率等于（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、- $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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10. 如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l₁ ， l₂之间，l∥l₁ ， l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧 $\hat{F G}$ 的长为x（0＜x＜π），y=EB+BC+CD，若l从l₁平行移动到l₂ ，则函数y=f（x）的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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二、第Ⅱ卷填空题

11. 函数y= $\sin 2 x + 2 \sqrt{3} \sin^{2} x$ 最小正周期T为．

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12. 设 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 为单位向量．且 $\vec{e_{1}}$ 、 $\vec{e_{2}}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，若 $\vec{a}$ = $\vec{e_{1}}$ +3 $\vec{e_{2}}$ ， $\vec{b}$ =2 $\vec{e_{1}}$ ，则向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的射影为．

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13. 设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e^x）=x+e^x ，则f′（1）= ．

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14. 抛物线x²=2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{3}$ =1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p= ．

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三、第Ⅱ卷选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两道题都做，按第一题评卷计分．

15. （坐标系与参数方程选做题）
设曲线C的参数方程为 ${\begin{matrix} x = t \\ y = t^{2} \end{matrix}$ （t为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为．

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16. （不等式选做题）
在实数范围内，不等式||x﹣2|﹣1|≤1的解集为．

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四、第Ⅱ卷解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA﹣ $\sqrt{3}$ sinA）cosB=0．

(1)、求角B的大小；

(2)、若a+c=1，求b的取值范围．

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18. 正项数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n² $- (n^{2} + n - 1) S_{n} - (n^{2} + n) = 0$

(1)、求数列{a_n}的通项公式a_n；

(2)、令b $n = \frac{n + 1}{{(n + 2)}^{2} a_{n}^{2}}$ ，数列{b_n}的前n项和为T_n ．证明：对于任意n∈N^* ，都有 $T_{n} < \frac{5}{64}$ ．

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19. 小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以0为起点，再从A₁ ， A₂ ， A₃ ， A₄ ， A₅ ， A₆ ， A₇ ， A₈（如图）这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X．若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．

(1)、求小波参加学校合唱团的概率；

(2)、求X的分布列和数学期望．

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20. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1，PA= $\frac{3}{2}$ ，连接CE并延长交AD于F

(1)、求证：AD⊥平面CFG；

(2)、求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．

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21. 如图，椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （ a > 0 ， b > 0 ）$ 经过点P（1， $\frac{3}{2}$ ），离心率e= $\frac{1}{2}$ ，直线l的方程为x=4．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k₁ ， k₂ ， k₃ ．问：是否存在常数λ，使得k₁+k₂=λk₃？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．

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22. 已知函数f（x）= $a (1 - 2 | x - \frac{1}{2} |)$ ，a为常数且a＞0．

(1)、f（x）的图象关于直线x= $\frac{1}{2}$ 对称；

(2)、若x₀满足f（f（x₀））=x₀ ，但f（x₀）≠x₀ ，则x₀称为函数f（x）的二阶周期点，如果f（x）有两个二阶周期点x₁ ， x₂ ，试确定a的取值范围；

(3)、对于（2）中的x₁ ， x₂ ，和a，设x₃为函数f（f（x））的最大值点，A（x₁ ， f（f（x₁））），B（x₂ ， f（f（x₂））），C（x₃ ， 0），记△ABC的面积为S（a），讨论S（a）的单调性．

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7816	6572	0802	6314	0702	4369	9728	0198
3204	9234	4935	8200	3623	4869	6938	7481