广东省广州市南武教育集团2023-2024学年九年级上学期期中联考数学试题

试卷更新日期：2023-12-26 类型：期中考试

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一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）

1. 北京冬奥会于2022年2月4日在北京和张家口联合举行．下图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将该图片按顺时针方向旋转 $90 °$ 后得到的图片是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列各式中，y是x的二次函数的是（）

A、 $y = 3 x - 1$ B、 $y = \frac{1}{x^{2}}$ C、 $y = 3 x^{2} + x - 1$ D、 $y = 2 x^{3} - 1$

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3. 平面直角坐标系内一点P（－2，3）关于原点对称的点的坐标是（）

A、（3，2） B、（－2，－3） C、（2，－3） D、（2，3）

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4. 抛物线 $y = - 2 (x - 2)^{2} - 5$ 的顶点坐标是（）

A、 $(- 2 ， 5)$ B、 $(2 ， 5)$ C、 $(- 2 ， - 5)$ D、 $(2 ， - 5)$

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5. 把抛物线 $y = 5 x^{2}$ 向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）

A、 $y = 5 (x - 2)^{2} + 3$ B、 $y = 5 (x + 2)^{2} - 3$ C、 $y = 5 (x + 2)^{2} + 3$ D、 $y = 5 (x - 2)^{2} - 3$

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6. 用配方法解一元二次方程 $x^{2} - 4 x = 5$ 时，此方程可变形为（）

A、 ${(x + 2)}^{2} = 1$ B、 ${(x - 2)}^{2} = 1$ C、 ${(x + 2)}^{2} = 9$ D、 ${(x - 2)}^{2} = 9$

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7. 抛物线 $y = - 3 x^{2} + 6 x - 1$ 的对称轴是（）

A、直线 $x = 2$ B、直线 $x = 1$ C、直线 $x = - 2$ D、直线 $x = - 1$

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8. 若点 $A (- 3 ， y_{1})$ ， $B (- 2 ， y_{2})$ ， $C (2 ， y_{3})$ 都在二次函数 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 的图象上，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是（　　）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ C、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$ D、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$

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9. 已知方程x²+2x﹣3=0的解是x₁=1，x₂=﹣3，则另一个方程（x+3）²+2（x+3）﹣3=0的解是（）

A、x₁=﹣1，x₂=3 B、x₁=1，x₂=﹣3 C、x₁=2，x₂=6 D、x₁=﹣2，x₂=﹣6

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10. 如图所示是二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）图象的一部分，直线x＝﹣1是对称轴，有下列判断：①b﹣2a＝0，②4a﹣2b+c＜0，③a﹣b+c＝﹣9a，④若（﹣3，y₁），（ $\frac{3}{2}$ ， y₂）是抛物线上的两点，则y₁＜y₂ ．其中正确的是（）

A、①②③ B、①③ C、①④ D、①③④

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二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）

11. 一元二次方程x²-1＝3的根为．

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12. 已知二次函数 $y = 2 {(x - 1)}^{2} - 3$ ，当x时，y随x的增大而减小．

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13. 如图，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转70°得到Rt△AB₁C₁ ，若 $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 60 °$ ，则 $∠ BA C_{1} =$ .

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14. 某商品经过两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，该商品两次降价的百分率相同，若设平均每次降价的百分率为 $x$ ，则可列方程为．

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15. 关于x的函数 $y = (k - 2) x^{2} - (2 k - 1) x + k$ 的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是．

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16. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{∘}$ ， $∠ A = 3 0^{∘}$ ，将 $△ A B C$ 绕点C逆时针旋转得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，点M是 $B C$ 的中点，点N是 $A_{1} B_{1}$ 的中点，连接 $M N$ ，若 $A B = 12$ ，则线段 $M N$ 的最大值是．

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三、解答题（共9小题，共72分）

17. 解方程：

(1)、 $x^{2} - 2 x = 0$ ；

(2)、 $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ ．

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18. 正方形网格中，三角形 $A B C$ 的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
⑴画出 $△ A B C$ 绕 $\underset{˙}{A}$ 点顺时针旋转 $90 °$ 后的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；
⑵画出 $△ A B C$ 关于原点 $O$ 对称的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ．

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19. 为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园 $A B C D$ （如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用 $18 m$ 的篱笆围成．生态园的面积能否为 $40 m^{2}$ ？如果能，请求出 $A B$ 的长；如果不能，请说明理由．

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20. 已知 $y$ 是 $x$ 的二次函数， $x$ 、 $y$ 满足下列表
$x$
…
0
1
2
3
4
…
$y$
…
5
2
1
2
5
…

(1)、求二次函数解析式；

(2)、当 $0 < x < 3$ 时，直接写出 $y$ 的取值范围．

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21. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A C ， B D$ 是对角线， $△ A B C$ 是等边三角形，将线段 $C D$ 绕点C顺时针旋转 $60 °$ 得到线段 $C E$ ，连接 $A E ， D E$ ．

(1)、求证： $∠ B C D = ∠ A C E$ ；

(2)、若 $∠ A D C = 30 ° ， A D = 6 ， B D = 10$ ，求 $D E$ 的长．

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22. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90 ° ， A B = 6 c m ， B C = 8 c m$ ．点P从点A出发，以 $1 c m / s$ 的速度沿 $A B$ 运动；同时，点Q从点B出发，以 $2 c m / s$ 的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设动点运动的时间为 $t (s)$ ．

(1)、试写出 $△ P B Q$ 的面积 $S (c m^{2})$ 与 $t (s)$ 之间的函数表达式；

(2)、当t为何值时， $△ P B Q$ 的面积最大?最大面积是多少?

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23. 已知关于x的方程 $x^{2} + (2 m - 1) x + m^{2} = 0$ 有实数根．

(1)、求m的取值范围；

(2)、设 $α$ ， $β$ 是方程的两个实数根，是否存在实数m使得 $a^{2} + β^{2} - α β = 6$ 成立？如果存在，请求出来；若不存在，请说明理由．

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24. 如图，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{3}{2} x + 2$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $D$ 与点 $C$ 关于 $x$ 轴对称，点 $P$ 是 $x$ 轴上的一个动点，设点 $P$ 的坐标为 $(m ， 0)$ ，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线 $l$ 交抛物线于点 $Q$ ．

(1)、求点 $A$ ，点 $B$ ，点 $C$ 的坐标；

(2)、求直线 $B D$ 的解析式；

(3)、在点 $P$ 的运动过程中，是否存在点 $Q$ ，使 $△ B D Q$ 是以 $B D$ 为直角边的直角三角形？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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25. 已知抛物线 $y = x^{2} - b x + c$ （ $b ， c$ 为常数， $b > 0$ ）经过点 $A (- 1 ， 0)$ ，点 $M (m ， 0)$ 是 $x$ 轴正半轴上的动点．
（Ⅰ）当 $b = 2$ 时，求抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）点 $D (b ， y_{D})$ 在抛物线上，当 $A M = A D$ ， $m = 5$ 时，求 $b$ 的值；
（Ⅲ）点 $Q (b + \frac{1}{2} ， y_{Q})$ 在抛物线上，当 $\sqrt{2} A M + 2 Q M$ 的最小值为 $\frac{33 \sqrt{2}}{4}$ 时，求 $b$ 的值．

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$x$	…	0	1	2	3	4	…
$y$	…	5	2	1	2	5	…