陕西省西安市西咸新区2023-2024学年八年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-12-26 类型：期中考试

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一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分。）

1. 下列各数中，无理数是（）

A、 $\sqrt{9}$ B、3.14 C、 $\frac{π}{5}$ D、 $\frac{1}{3}$

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2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{\frac{3}{4}}$ B、 $\sqrt{15}$ C、 $\sqrt{0.6}$ D、 $\sqrt{18}$

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3. 下面图象中，表示y是x的函数的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（）

A、2，3，4 B、3，3，5 C、 $\sqrt{3}$ ， 4， $\sqrt{5}$ D、1， $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$

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5. 下列计算正确的是（）

A、 $2 + 2 \sqrt{3} = 3 \sqrt{5}$ B、 $8 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} = 4$ C、 $\sqrt{2} \times \sqrt{8} = 4$ D、 $\sqrt{4} \div 2 = \sqrt{2}$

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6. 已知点 $A (a ， b)$ ，其中a ， b均为实数，若a ， b满足 $3 a = 2 b + 5$ ，则称点A为“和谐点”.若点 $B (k + 2 ， 1 - \frac{1}{2} k)$ 是“和谐点”，则点B在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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7. 用如图所示的程序框图来计算函数y的值，当输入x为 $- 1$ 和7时，输出y的值相等，则b的值是（）

A、 $- 4$ B、 $- 2$ C、4 D、2

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8. 如图，在一个长为20m，宽为16m的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽AD平行，横截面是边长为2m的正方形，若点A处有一只蚂蚁，它从点A处爬过木块到达点C处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是本（）

A、24m B、 $8 \sqrt{13} m$ C、 $16 \sqrt{2} m$ D、16m

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二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）

9. $\sqrt{81}$ 的算术平方根是

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10. 象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏.如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”的点的坐标为 $(4 ， 3)$ ， “卒”的点的坐标为 $(1 ， 1)$ ，则表示棋子“車”的点的坐标为。

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11. 目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水.据测试，拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05mL.小雅洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小雅离开x分钟后，水龙头滴出 $y m L$ 的水，则y与x之间的关系式为。

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12. 已知点 $A (- 1 ， 1)$ ， $B (- 1 ， - 2)$ ， $C (3 ， - 2)$ ， $D (3 ， 1)$ 在平面直角坐标系中的位置如图所示，一只瓢虫从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿 $A \to B \to C \to D \to A$ 循环爬行，第2025秒瓢虫所在点的坐标为。

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13. 如图，是由8个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ，若 $S_{1} + S_{2} + S_{3} = 72$ ，则 $S_{2} =$ 。

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三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）

14. 计算： $\sqrt{12} \times \sqrt{\frac{2}{3}} - \sqrt{40} \div \sqrt{5} + | 2 - \sqrt{2} |$

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15. 某金属冶炼厂将27个大小相同的正方体钢铁在炉火中熔化，重新铸成一个新的长方体钢铁，且此长方体的长、宽、高分别为16dm，4dm和8dm，求原来每个正方体钢铁的棱长。（不计损耗）

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16. 若x是 $\sqrt{52}$ 的小数部分，求式子 $(\sqrt{52} + 7) - x$ 的平方根

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17. 已知关于x的函数 $y = (a - 3) x^{| a | - 2} + b + 5$ ，当a ， b为何值时，它是正比例函数？

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18. 已知 $△ A B C$ 的顶点坐标分别是 $A (3 ， 3)$ ， $B (1 ， 1)$ ， $C (a ， - 1)$ ，且点C关于x轴的对称点 $C^{'}$ 的坐标为 $(4 ， b)$ 。

(1)、 $a =$ ， $b =$ ；

(2)、在平面直角坐标系中画出 $△ A B C$ ；

(3)、画出 $△ A B C$ 关于y轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 。

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19. 实数与数轴上的点一一对应，无理数也可以在数轴上表示出来.请在如图所示的数轴上用尺规作出表示 $1 - \sqrt{13}$ 的点A ，并说明理由。（保留作图痕迹，不写作法）

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20. 已知平面直角坐标系中有一点 $A (2 a - 3 ， a + \frac{1}{2})$ 。

(1)、若点A在第二象限，且点A到y轴的距离是到x轴的距离的2倍，求a的值及点A的坐标；

(2)、若点 $B (2 ， - 2)$ ，且 $A B ∥ x$ 轴，求线段AB的长度。

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21. 如图，把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度随着碗的数量变化而变化的情况如表格所示：
碗的数量（只）
1
2
3
4
5
…
高度（cm）
5
6.2
7.4
8.6
9.8
…
设 $h (c m)$ 表示这摞碗的高度，用x（只）表示这摞碗的数量。

(1)、求出h与x之间的关系式，并判断h是否为x的一次函数；

(2)、若同样的若干只碗摞在一起的高度为14.6cm，求这摞碗的数量。

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22. 如图，在直角 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，点E ， F分别在BC ， AC上，连接EF.若 $A F^{2} + B E^{2} = E F^{2}$ ， $A C = 7$ ， $B C = 5$ ， $E C = 1$ ，求线段AF的长。

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23. 紫阳富硒茶是陕西省著名特产茶叶，此茶叶硒元素含量高，具有特种保健功效.某公司采购员到紫阳茶叶市场购买该种茶叶，商家推出了两种购买方式：

会员卡费用（元/张）
茶叶价格（元 $/ k g$ ）
方式一：金卡会员
500
1300
方式二：银卡会员
200
1500
设该公司此次购买茶叶 $x k g$ ，按方式一购买茶叶的总费用为 $y_{1}$ 元，按方式二购买茶叶的总费用为 $y_{2}$ 元.

(1)、分别求出 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 与x之间的关系式；

(2)、若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，求该公司此次购买茶叶的质量；

(3)、若该公司此次购买茶叶的总预算为5375元，则按哪种方式购买可以获得更多的茶叶？

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24. 在二次根式的计算中，经常会出现 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ， $\frac{2}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ 这样的式子，其实可以将其进一步化简.例如： $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ； $\frac{2}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{2 (\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{2 (\sqrt{3} + \sqrt{2})}{{(\sqrt{3})}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}} = 2 (\sqrt{3} + \sqrt{2})$ 。以上这种化简的步骤叫做分母有理化。
根据以上化简方法，解答下列问题：

(1)、化简： $\frac{1}{\sqrt{5} - 2} - \frac{5}{\sqrt{5}} =$ ；

(2)、请通过计算比较 $\sqrt{14} - \sqrt{13}$ 与 $\sqrt{13} - \sqrt{12}$ 的大小；

(3)、计算 $\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{2023} + \sqrt{2024}}$ 。

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25. 森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源.如图，有一台救火飞机沿东西方向AB ，由点A飞向点B ，已知点C为其中一个着火点，已知 $A B = 1000 m$ ， $A C = 600 m$ ， $B C = 800 m$ ，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响。

(1)、请通过计算说明着火点C是否受洒水影响？

(2)、若该飞机的速度为 $14 m / s$ ，要想扑灭着火点C估计需要15秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？

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26. 如图，在平面直角坐标系中，已知 $A (a ， 0)$ ， $B (0 ， b)$ ， $C (c ， b)$ 三点，其中a ， b ， c满足关系式 $\sqrt{a + 4} + {(b - 3)}^{2} + | c + 5 | = 0$ 。

(1)、分别求出点A ， B ， C的坐标；

(2)、若在第一象限内有一点 $M (m ， 1)$ 。
①请用含有m的式子表示出四边形ABMO的面积S；
②是否存在点M ，使四边形ABMO的面积与 $△ A B C$ 的面积相等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

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	会员卡费用（元/张）	茶叶价格（元 $/ k g$ ）
方式一：金卡会员	500	1300
方式二：银卡会员	200	1500

碗的数量（只）	1	2	3	4	5	…
高度（cm）	5	6.2	7.4	8.6	9.8	…