天津市师中师教育集团2023-2024学年高一上学期数学第三次月考试卷

试卷更新日期：2023-12-26 类型：月考试卷

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一、单选题（本题共9小题，共45分）

1. 已知集合 $M = \{- 1，1 ， 3，5\} ， N = \{- 2，1 ， 2，3 ， 5\}$ ，则 $M \cap N = ()$

A、 ${- 1，1 ， 3}$ B、 ${1，2 ， 5}$ C、 ${1，3 ， 5}$ D、∅

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2. “ $k > 4$ ”是“方程 $x^{2} + y^{2} + k x + (k - 2) y + 5 = 0$ 表示圆的方程”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 某校举办歌唱比赛，将 $200$ 名参赛选手的成绩整理后画出频率分布直方图如图，根据频率分布直方图，第 $40$ 百分位数估计为（）

A、 $64$ B、 $65$ C、 $66$ D、 $67$

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4. 函数 $y = f (x)$ 的图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能是（）

A、 $f (x) = (x + 1) l n |x|$ B、 $f (x) = (x - 1) l n |x|$ C、 $f (x) = x l n |x|$ D、 $f (x) = (x^{2} - 1) l n |x|$

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5. 已知 $a = l n \frac{1}{2} ， b = {(\frac{1}{2})}^{- 3} ， c = \frac{t a n 15^{\circ}}{1 - t a n^{2} 15^{\circ}}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > b > a$ C、 $b > c > a$ D、 $a > c > b$

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6. 已知某地市场上供应的洗衣机中，甲厂产品占 $80 %$ ，乙厂产品占 $20 %$ ，甲厂产品的合格率是 $90 %$ ，乙厂产品的合格率是 $80 %$ ，则从该地市场上买到一台合格洗衣机的概率是（）

A、 $0.16$ B、 $0.72$ C、 $0.76$ D、 $0.88$

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7. 中国古代数学经典 $《$ 九章算术 $》$ 系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑 $.$ 如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知 $P A ⊥$ 平面 $A B C E$ ，四边形 $A B C D$ 为正方形， $A D = 2$ ， $E D = 1$ ，若鳖臑 $P - A D E$ 的外接球的体积为 $\frac{7 \sqrt{14} π}{3}$ ，则阳马 $P - A B C D$ 的外接球的表面积等于（）

A、 $19 π$ B、 $18 π$ C、 $17 π$ D、 $16 π$

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8. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} c o s^{2} x + 2 s i n x c o s x$ ，则有下列结论： $① f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ； $② f (x)$ 的图像关于点 $(- \frac{π}{6} ， 0)$ 对称； $③ f (x)$ 在 $[\frac{π}{2} ， \frac{2 π}{3}]$ 单调递增； $④$ 把 $y = 2 c o s 2 x$ 的图像上的所有点向右平移 $\frac{π}{12}$ 为个单位长度，再向上平移 $\sqrt{3}$ 个单位，可得到 $y = f (x)$ 的图像，其中所有正确结论的编号是（）

A、 $① ④$ B、 $② ④$ C、 $① ③$ D、 $① ③ ④$

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9. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x ， x \leq 0 \\ a l n x ， x > 0 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - f (- x)$ 有 $5$ 个零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- e ， 0)$ B、 $(- \frac{1}{e} ， 0)$ C、 $(- \infty ， - e)$ D、 $(- \infty ， - \frac{1}{e})$

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二、填空题（本题共6小题，共30分）

10. $i$ 是虚数单位，则复数 $\frac{1 - i}{3 + 4 i} =$ ．

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11. 在 ${(x + \frac{2}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中，各项系数和与二项式系数和的比值为 $\frac{729}{64}$ ，则二项展开式中的常数项为．

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12. 设函数 $f (x) = x (2 x + 1) (3 x + 2) (4 x + 3)$ ，则 $f' (0)$ 的值为．

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13. $2023$ 年深秋，鼻病毒、肺炎支原体、呼吸道合胞病毒、腺病毒肆虐天津各个高中 $.$ 目前病毒减员情况已经得到缓解，为了挽回数学课程，市教委决定派遣具有丰富教学经验的四支不同的教师队伍 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ ，前往四所高中 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 进行教学指导，每支教师队伍到一所高中，那么总共有 $($ 请用数字作答 $)$ 种的不同的派遣方法 $.$ 如果已知 $A$ 教师队伍被派遣到 $H$ 高中，那么此时 $B$ 教师队伍被派遣到 $E$ 高中的概率是．

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14. 已知 $a b \in R$ ， $a b \neq 0$ ，两圆 $x^{2} + y^{2} + 2 a x + a^{2} - 4 = 0$ 和 $x^{2} + y^{2} - 4 b y - 1 + 4 b^{2} = 0$ 只有一条公切线，则 $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}$ 的最小值为

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15. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ， $A D = \frac{1}{2}$ ， $∠ C A B = \frac{π}{6}$ ， $\vec{A D} \cdot \vec{A B} = - \frac{1}{2}$ ，则 $\vec{A D} \cdot \vec{A C} =$ ；设 $\vec{A C} = m \vec{A B} + n \vec{A D} (m ， n \in R)$ ，则 $m + n =$ ．

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三、解答题（本题共5小题，共60分）

16. 已知 $a ， b ， c$ 分别是 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边，且 $\frac{a}{b} = \frac{c o s A}{2 - c o s B}$ ．

(1)、求 $\frac{a}{c}$ ．

(2)、若 $b = 4$ ， $c o s C = \frac{1}{4}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

(3)、在(2)条件下，求 $c o s (2 C + \frac{π}{3})$ 的值．

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17. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是矩形， $E$ 、 $F$ 分别是 $A B$ 、 $P D$ 的中点．若 $P A = A D = 3$ ， $C D = \sqrt{6}$ ．

(1)、求证： $A F / /$ 平面 $P C E$ ；

(2)、求点 $F$ 到平面 $P C E$ 的距离；

(3)、求直线 $F C$ 与平面 $P C E$ 所成角的正弦值．

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18. 已知 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $S_{n} + 2 = 2 a_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \frac{2^{n}}{(a_{n} - 1) (a_{n + 1} - 1)}$ ，设数列 $\{b_{n}\}$ 的前项和为 $T_{n}$ ，若 $T_{n} > \frac{2023}{2024}$ ，求 $n$ 的最小值．

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19. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n} = 1 + a_{n - 1} (n > 1 ， n \in N^{*})$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 是公比为正数的等比数列， $b_{1} = 2$ ，且 $2 b_{2}$ ， $b_{3}$ ， $8$ 成等差数列，

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $a_{n} \cdot c_{n} = \frac{b_{n} (a_{n} a_{n + 2} + 1)}{2^{n} \cdot (n + 2)}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(3)、若数列 $\{d_{n}\}$ 满足 $d_{n} = \frac{1}{b_{n} + {(- 1)}^{n}}$ ，求证： $d_{1} + d_{2} + \cdot \cdot \cdot + d_{2 n} < \frac{5}{3}$ ．

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20. 已知函数 $f (x) = a l n x - x + \frac{1}{x}$ ．

(1)、若 $\forall x \geq 1 ， f (x) \leq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(2)、证明：对任意 $n \in N^{*} ， e^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} - \frac{n}{2 (n + 1)}} > n + 1$ ；

(3)、讨论函数 $f (x)$ 零点的个数．

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