北京市西城区第一六一名校2023-2024学年高二上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2023-12-26 类型：月考试卷

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一、选择题：本大题共10道小题，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置.

1. 椭圆 $\frac{y^{2}}{5} + \frac{x^{2}}{4} = 1$ 的焦点坐标是（）

A、 $(1 ， 0)$ ， $(- 1 ， 0)$ B、 $(0 ， 1)$ ， $(0 ， - 1)$ C、 $(3 ， 0)$ ， $(- 3 ， 0)$ D、 $(0 ， 3)$ ， $(0 ， - 3)$ ）

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2. 在空间直角坐标系中， $A (1 ， - 2 ， - 3)$ ， $B (- 1 ， - 1 ， - 1)$ ， $C (0 ， 0 ， - 5)$ ，则 $△ A B C$ 是（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、形状不确定

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3. 已知抛物线y²＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为4，若抛物线上一点P到y轴的距离是1，则|PF|等于（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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4. 直线 $\sqrt{3} x + y - 2 \sqrt{3} = 0$ 截圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 得到的劣弧所对的圆心角的大小为（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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5. 双曲线渐近线方程为 $y = \pm \frac{3}{4} x$ ，则双曲线离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ 或 $\frac{\sqrt{15}}{3}$ B、 $\frac{5}{4}$ 或 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、2

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6. 如图，一位运动员投掷铅球的成绩是14m，当铅球运行的水平距离是6m时，达到最大高度4m.若铅球运行的路线是抛物线，则铅球出手时距地面的高度是（）

A、2.25m B、2.15m C、1.85m D、1.75m

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7. “ $k = \pm 1$ ”是“直线 $k x - y + k = 0$ 与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 有唯一公共点”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既非充分也非必要条件

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8. 将正方形 $A B C D$ 沿对角线折成直二面角 $A - B D - C$ ，以下结论中错误的是（）

A、 $A C ⊥ B D$ B、 $△ A C D$ 是等边三角形 C、 $A B$ 与平面 $B C D$ 所成的角为60° D、 $A B$ 与 $C D$ 所成的角为60°

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9. 若曲线 $C$ ： $x^{2} + y^{2} + 2 a x - 4 a y + 5 a^{2} - 4 = 0$ 上所有的点均在第二象限内，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， - 2)$ B、 $(- \infty ， - 1)$ C、 $(1 ， + \infty)$ D、 $(2 ， + \infty)$

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10. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 是侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 内一动点，若 $P$ 到直线 $B C$ 与直线 $C_{1} D_{1}$ 的距离相等，则动点 $P$ 的轨迹是（）

A、直线 B、圆 C、双曲线 D、抛物线

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二、填空题：本大题共5小题，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上.

11. 点 $(2 ， 3)$ 关于直线 $y = x + 3$ 的对称点坐标为.

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12. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的两个焦点，过 $F_{1}$ 的直线交椭圆于A ， B两点， $| A B | = 6$ ，则 $| A F_{2} | + | B F_{2} | =$ .

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13. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为矩形， $A D ： A B = 1 ： 2$ ， $△ P A B$ 为等边三角形，则直线 $P D$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值为.

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14. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{m} = 1 (m > 0)$ 的一个焦点到它的一条渐近线的距离为 $\sqrt{2}$ ，则 $m =$ ；若双曲线 $C_{1}$ 与C不同，且与C有相同的渐近线，则 $C_{1}$ 的方程可以为.（写出一个答案即可）

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15. 曲线C是平面内与定点 $F (2 ， 0)$ 和定直线 $x = - 2$ 的距离的积等于4的点的轨迹，给出下列四个命题：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于x轴对称；
③曲线C与y轴有3个交点；
④若点M在曲线C上，则 $| M F |$ 的最小值是 $2 \sqrt{2} - 2$ ；
其中，所有正确结论的序号是.

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三、解答题：本大题共4小题，共55分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，并把答案写在答题纸中相应位置上.

16. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = A A_{1} = 2$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， E ， F分别为 $C C_{1}$ ， $B C$ 的中点.

(1)、求异面直线 $A_{1} B$ 与 $E F$ 所成角的余弦值；

(2)、求点 $B_{1}$ 到平面 $A E F$ 的距离；

(3)、求二面角 $B_{1} - A_{1} B - E$ 的余弦值.

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17. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦点是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，且 $| F_{1} F_{2} | = 2$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若椭圆C与直线 $y = x + m$ 交于M ， N两点，且 $| M N | = \frac{12 \sqrt{2}}{7}$ ，求实数 $m$ 的值.

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18. 已知圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 3 = 0$ .

(1)、求圆心 $C$ 的坐标及半径的大小；

(2)、已知直线 $l$ 与圆 $C$ 相切，且在x ， y轴上的截距相等且不为0，求直线 $l$ 的方程；

(3)、从圆C外一点 $P (x ， y)$ 向圆引一条切线，切点为M ， O为坐标原点，且有 $| M P | = | O P |$ ，求点P的轨迹方程.

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19. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为F（1，0），短轴长为2.直线 $l$ 过点F且不平行于坐标轴， $l$ 与 $C$ 有两个交点A ， B ，线段 $A B$ 的中点为M.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、证明：直线 $O M$ 的斜率与 $l$ 的斜率的乘积为定值；

(3)、延长线段 $O M$ 与椭圆 $C$ 交于点P ，若四边形 $O A P B$ 为平行四边形，求此时直线 $l$ 的斜率.

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