重庆市沙坪坝区第八名校2023-2024学年高一上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2023-12-26 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3} ， B = {x ∣ 4 x^{2} - 4 x - 3 \geq 0}$ ，则 $A ∩ ∁_{R} B =$ （）

A、 ${- 1 ， 2 ， 3}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 ${0 ， 1}$

查看试题解析
2. “ $x + y > 2 z$ ”是“ $x > y > z$ ”的（）

A、充要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
3. 函数 $f (x) = 2^{x} + l o g_{2} x$ 的零点所在区间为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{4})$ B、 $(\frac{1}{4} ， \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{2} ， \frac{3}{4})$ D、 $(\frac{3}{4} ， 1)$

查看试题解析
4. 若 $a \in R$ ，幂函数 $f (x) = (a^{2} - 2 a - 2) x^{a - 4}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递减，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、3 C、 $- 1$ 或3 D、 $- 3$

查看试题解析
5. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{l o g_{a} (1 - a^{x})}} (0 < a < 1)$ ，则 $f (x + 1)$ 的定义域为（）

A、 $(- 1 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 1)$ C、 $(0 ， + ∞)$ D、 $(- ∞ ， 0)$

查看试题解析
6. 小明使用一架两臂不等长的天平称黄金.小明先将 $10 g$ 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将 $10 g$ 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，你认为小明两次称得的黄金总重量（）（附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有 $m_{1} L_{1} = m_{2} L_{2}$ ，其中 $m_{1} ， m_{2}$ 分别为左右盘中物体质量， $L_{1} ， L_{2}$ 分别为左右横梁臂长）.

A、等于 $20 g$ B、小于 $20 g$ C、大于 $20 g$ D、与左右臂的长度有关

查看试题解析
7. 若函数 $f (x) = l o g_{2 a} (3 x - a x^{2})$ 在 $(0 ， 1)$ 上有意义且不单调，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{3}{2} ， + \infty)$ B、 $(\frac{1}{2} ， \frac{3}{2})$ C、 $(\frac{3}{2} ， 3)$ D、 $(\frac{3}{2} ， 3]$

查看试题解析
8. 若函数 $f (x) = m^{x} + n^{x} (m > 0 ， n > 0 ， m \neq 1 ， n \neq 1)$ 是偶函数，则 $\frac{n - 2}{m}$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1 ， + \infty)$ B、 $(- 2 ， - 1)$ C、 $(- 1 ， + \infty)$ D、 $(- 1 ， 0) \cup (0 ， + \infty)$

查看试题解析

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列大小关系正确的是（）

A、 $2^{0.3} < 2^{0.4}$ B、 $3^{0.2} < 4^{0.2}$ C、 $l o g_{2} 3 < l o g_{4} 8$ D、 $l o g_{2} 3 > l o g_{3} 2$

查看试题解析
10. 若“ $\exists x \in R ， a x^{2} + a x + 1 \leq 0$ ”为假命题，则 $a$ 的值可能为（）

A、 $- 1$ B、0 C、2 D、4

查看试题解析
11. 函数 $f (x) = \frac{a x + 1}{x^{2} + a}$ 的大致图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} + 1 ， x \leq 0 \\ | l o g_{2} x | - 1 ， x > 0 \end{array}$ ，则下列选项正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的值域为 $[- 1 ， + \infty)$ B、方程 $f (x) = 2$ 有两个不等的实数解 C、不等式 $f (f (x)) > 0$ 的解集为 $(0 ， \frac{1}{8}) ∪ (\frac{\sqrt{2}}{4} ， 2 \sqrt{2}) ∪ (8 ， + ∞)$ D、关于 $x$ 的方程 $f^{2} (x) - 2 f (x) = 1 - a^{2}$ 的解的个数可能为 $2 ， 4 ， 5$

查看试题解析

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ 在 $[2 ， 3]$ 上有一个零点，用二分法求零点的近似值（精确度为0.1 $)$ 时，至少需要进行次函数值的计算.

查看试题解析
14. 已知 $3^{x} = 4^{y} = 6$ ，则 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} =$ ．

查看试题解析
15. 若函数 $f (x) = x^{2} + (a - 2) x + a - 4$ 在 $(0 ， 1)$ 上只有一个零点，则实数 $a$ 的取值范围是.

查看试题解析
16. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 2}{2^{x} + 2}$ ，若 $f (a^{2} - 2) + f (a - 2) > 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围为.

查看试题解析

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知集合 $A = {x | | x - a | > 2}$ ，集合 $B = {x | \frac{2 x - 1}{x + 2} \leq 1}$ .

(1)、若 $a = 2$ ，求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $A \cup B = R$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

查看试题解析
18. 已知函数 $f (x) = m x^{2} + 4 m x + 3$ .

(1)、若 $f (x) \leq 0$ 的解集为 ${x ∣ - 3 \leq x \leq - 1}$ ，求实数 $m$ 的值；

(2)、若 $m > 0$ ，求不等式 $f (x) \leq 0$ 的解集.

查看试题解析
19. 塑料袋给我们生活带来了方便，但对环境造成了巨大危害.某品牌塑料袋经自然降解后残留量 $y$ 与时间 $t$ 年之间的关系为 $y = y_{0} \cdot e^{- \frac{r}{v} t} ， y_{0}$ 为初始量， $r$ 为光解系数（与光照强度､湿度及氧气浓度有关）， $v$ 为塑料分子聚态结构系数.（参考数据： $l n 5 \approx 1.6 ， l g 2 \approx 0.3$ ）

(1)、已知塑料分子聚态结构系数是光解系数的90倍，若塑料自然降解到残留量为初始量的 $20 %$ 时，大约需要多少年？

(2)、为了缩短降解时间，该品牌改变了塑料分子聚态结构，其他条件不变.已知2年就可降解初始量的 $20 %$ .要使残留量不超过初始量的5%，至少需要多少年？

查看试题解析
20. 已知函数 $f (l o g_{2} x) = (3 - a) x - a$ ，函数 $g (x) = 4^{x}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $y = f (x)$ 图象恒在 $y = g (x)$ 图象的下方，求实数 $a$ 的取值范围.

查看试题解析
21. 已知定义在 $(- ∞ ， 0) ∪ (0 ， + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x y) + 1 = f (x) + f (y)$ ，且当 $x > 1$ 时， $f (x) > 1$ .

(1)、证明函数 $f (x)$ 是偶函数；

(2)、证明函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上的单调性；

(3)、若 $f (2) = 2$ ，解不等式 $2 f (x) > f (x^{2} - 1) + 3$ .

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的定义域分别为 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ ，若对任意 $x_{0} \in D_{1}$ ，恰好存在 $n$ 个不同的实数 $x_{1} ， x_{2} ⋯ ， x_{n} \in D_{2}$ ，使得 $g (x_{i}) = f (x_{0})$ （其中 $i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ， n \in N^{*}$ ），则称 $g (x)$ 为 $f (x)$ 的“ $n$ 重覆盖函数”.

(1)、判断 $g (x) = x (x \in [0 ， 4])$ 是否为 $f (x) = x + 2 (x \in [0 ， 1])$ 的“ $n$ 重覆盖函数”，如果是，求出 $n$ 的值；如果不是，说明理由.

(2)、若 $g (x) = {\begin{array}{l} a x^{2} + (2 a - 3) x + 1 ， - 2 \leq x \leq 1 \\ l n x ， x > 1 \end{array}$ 为 $f (x) = l o g_{2} \frac{e^{x} + 2}{e^{x} + 1}$ 的“2重覆盖函数”，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、函数 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[1.2] = 1 ， [2] = 2 ， [- 1.2] = - 2$ .若 $g (x) = a x - [a x] (x \in [0 ， 2))$ 为 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1} (x \in [0 ， 2))$ 的“5重覆盖函数”，求正实数 $a$ 的取值范围.

查看试题解析