重庆市沙坪坝区第七名校2023-2024学年高一上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2023-12-26 类型：月考试卷

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一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知α是第四象限角，cosα＝ $\frac{12}{13}$ ，则sinα等于（）

A、 $\frac{5}{13}$ B、－ $\frac{5}{13}$ C、 $\frac{5}{12}$ D、－ $\frac{5}{12}$

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2. 函数 $f (x) = 2^{x} + 2 x$ 的零点所在的区间为（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 0)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(2 ， 3)$

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3. 直角坐标平面上将函数 $f (x) = a^{x + 1} - 2$ （ $a > 0$ ， $a \neq 1$ ）的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则所得新函数 $g (x)$ 的图像恒过定点（）

A、 $(- 2 ， 0)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(2 ， - 1)$ D、 $(0 ， - 1)$

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4. 扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐的成为主流如图，该折扇扇面画的外弧长为24，内弧长为10，且该扇面所在扇形的圆心角约为120°，则该扇面画的面积约为（）（ $π \approx 3$ ）

A、185 B、180 C、119 D、120

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5. 若不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 ${x | 2 < x < 5}$ ，则不等式 $c x^{2} + b x + a > 0$ 的（）

A、 ${x ∣ - \frac{1}{2} < x < - \frac{1}{5}}$ B、 ${x ∣ x < - \frac{1}{2}$ 或 $x > - \frac{1}{5}}$ C、 ${x ∣ \frac{1}{5} < x < \frac{1}{2}}$ D、 ${x ∣ x < \frac{1}{5}$ 或 $x > \frac{1}{2}}$

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6. 有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为 $50 %$ .有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾将以此增长率持续增长.请预测，从（）年开始，快递业产生的包装垃圾将超过4000万吨.（参考数据： $l g 2 \approx 0.3010$ ， $l g 3 \approx 0.4771$ ）

A、2018 B、2019 C、2020 D、2021

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7. 若关于 $x$ 的不等式 $3 x^{2} - (a + 2) x - 3 > 0$ 在区间 $[\frac{1}{3} ， 2]$ 内有解，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 10 ， \frac{5}{2})$ B、 $(- \infty ， - 10)$ C、 $(- \infty ， - 2)$ D、 $(- \infty ， \frac{5}{2})$

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8. 已知函数 $f (x)$ 在 $[- 1 ， + \infty)$ 是增函数， $y = f (x - 1)$ 关于 $y$ 轴对称， $f (m - 1) - f (2 m + 1) < 0$ 成立，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 2) ∪ (0 ， + \infty)$ B、 $(- 2 ， 0)$ C、 $(- 2 ， - \frac{2}{3})$ D、 $(- \infty ， - 2) ∪ (- \frac{2}{3} ， + \infty)$

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二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）

9. 下列说法正确的是（）

A、“ $a > b$ "是“| $a | > | b ∣$ ”的充分不必要条件 B、命题“ $\exists x \in (- 3 ， + ∞) ， x^{2} ⩽ 9$ ”的否定是“ $\forall x \in (- 3 ， + ∞) ， x^{2} > 9 "$ C、设 $x ， y \in R$ ，则“ $x ⩾ 2$ 且 $y ⩾ 2$ ”是“ $x + y ⩾ 4$ ”的必要不充分条件 D、“ $m ⩽ 1$ "是“关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 有实根”的充要条件

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10. 下列对应关系是从 $A$ 到 $B$ 的函数的是（）

A、 $A = Z$ ， $B = Z$ ， $f ： x \to y = x^{2}$ B、 $A = R$ ， $B = {x | x > 0}$ ， $f ： x \to y = | x |$ C、 $A = Z$ ， $B = Z$ ， $f ： x \to y = \sqrt{x}$ D、 $A = {x | - 1 \leq x \leq 1}$ ， $B = {1}$ ， $f ： x \to y = 1$

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1}$ ，下面说法正确的有（）

A、 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 B、 $f (x)$ 的图象关于原点对称 C、 $f (x)$ 的值域为 $(- 1 ， 1)$ D、 $\forall x_{1} ， x_{2} \in R$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ， $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ 恒成立

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12. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，下列命题中正确的是（）

A、若 $a + b = 2$ ，则 $l g a + l g b \leq 0$ B、若 $a b - a - 2 b = 0$ ，则 $a + 2 b \geq 9$ C、若 $a + b = 2$ ，则 $\frac{a}{b} + \frac{1}{a b} - \frac{1}{2} \geq \frac{\sqrt{5}}{2}$ D、若 $\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 2} = \frac{1}{3}$ ，则 $a b + a + b \geq 14 + 6 \sqrt{6}$

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三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知角 $θ$ 的终边经过点 $(- \frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{1}{2}) ，$ 那么 $t a n θ$ 的值是.

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14. 已知幂函数 $f (x)$ 满足以下条件：
① $f (x)$ 是奇函数；② $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 是增函数；③ $f (2) > 3$ .
写出一个满足条件①②③的函数 $f (x)$ 的一个解析式 $f (x) =$ .

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15. 计算 $l o g_{3} \sqrt{27} + l g 25 + l g 4 - 7^{l o g_{7} 2} + l o g_{3} 8 \cdot l o g_{4} \sqrt[3]{3} =$ .

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16. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 4 x + 3 ， x \leq 0 \\ 1 + l o g_{3} x ， x > 0 \end{array}$ ，给出下列四个结论：
①对 $\forall t > 0$ ，方程 $f (x) = t$ 都有3个实数根；
② $\exists x_{0} \in (0 ， + \infty)$ ，使得 $f (- x_{0}) = f (x_{0})$ ；
③若互不相等的实数 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ 满足 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3})$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ 的取值范围是 $(- \frac{35}{9} ， 5]$ .
其中所有正确结论的序号是.

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四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.

(1)、已知实数x ， y满足 $- 2 \leq x \leq - 1$ ， $2 \leq y \leq 3$ ，求 $3 x - 2 y$ 的取值范围；

(2)、已知实数 $x > 1$ ，求 $x + \frac{2}{x - 1}$ 的最小值.

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18. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 4 - x^{2} ， x > 0 \\ 2 ， x = 0 \\ 1 + 2 x ， x < 0 \end{array}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的零点；

(2)、当 $- 4 \leq x < 3$ 时，求 $f (x)$ 的值域.

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19. 已知函数 $f (x) = a^{x} (a > 0 ， a \neq 1)$ .

(1)、若 $f (- 1) = 2$ ，求 $f (2) + f (- 2)$ 的值.

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $[- 1 ， 1]$ 上的最大值与最小值的差为 $\frac{8}{3}$ ，求实数 $a$ 的值.

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20. 已知集合 $A = {x | l o g_{2} (x + 1) < 2}$ ， $B = {x | 4^{x} > 8}$ ， $C = {x | x^{2} - (2 a + 1) x + a^{2} + a = 0 ， x \in A}$ .

(1)、计算 $A \cap B$ ；

(2)、若集合 $C$ 是单元素集，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x)$ 的定义域是 $(0 ， + ∞)$ ，当 $x > 1$ 时， $f (x) > 0$ ，且 $f (\frac{x}{y}) = f (x) - f (y)$ .

(1)、求 $f (1)$ 的值，并证明 $f (x)$ 在定义域上是增函数；

(2)、若 $f (\frac{1}{2}) = - 1$ 的值，解不等式 $f (x + 1) + f (\frac{1}{x}) \geq 2$ .

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22. 已知函数 $f (x) = \log_{4} (4^{x} + 1) - \frac{1}{2} x$ ， $x \in R$ .

(1)、证明： $f (x)$ 为偶函数；

(2)、若函数 $f (x)$ 的图象与直线 $y = \frac{1}{2} x + a$ 没有公共点，求a的取值范围；

(3)、若函数 $g (x) = 4^{f (x) + \frac{x}{2}} + m \cdot 2^{x} - 1 ， x \in [0 ， \log_{2} 3]$ ，是否存在m，使 $g (x)$ 最小值为0.若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.

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