重庆市拔尖强基联盟2023-2024学年高三上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2023-12-26 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知复数 $z = (1 + 2 i) (i - 1)$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{3}$

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2. 已知圆 $E ： x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y = 0$ ，圆 $F ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 4 = 0$ ，则这两圆的位置关系为（）

A、内含 B、相切 C、相交 D、外离

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3. 在首项为1的数列 ${a_{n}}$ 中，满足 $a_{n + 1} = \frac{- a_{n} - 3}{a_{n} + 2}$ ，则 $a_{520} =$ （）

A、 $- \frac{5}{2}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、0 D、1

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4. 若 $3^{a} = 4^{b} = m$ 且 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 1 (a ， b ， m \in R)$ ，则 $m =$ （）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、6 C、36 D、12

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5. 已知点M为 $R t △ A B C$ 外接圆O上的任意一点， $∠ A B C = 90 ° ， A B = 1 ， B C = \sqrt{3}$ ，则 $(\vec{O A} - \vec{O B}) \cdot \vec{B M}$ 的最大值为（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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6. 在平面直角坐标系中，集合 $A = {(x ， y) | k x - y + k = 0}$ ，集合 $B = {(x ， y) | y = k x - 1}$ ，已知点 $M \in A$ ，点 $N \in B$ ，记 $d$ 表示线段 $M N$ 长度的最小值，则 $d$ 的最大值为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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7. 设 $a = e^{- 10} ， b = \frac{1}{11} ， c = l n \frac{11}{10}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < c < a$ D、 $c < b < a$

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8. 点 $M 、 N$ 为正四面体 $A B C D$ 的内切球球面上的两个动点， $T$ 为棱 $A B$ 上的一动点，则当 $∠ M T N$ 取最大值时， $t a n ∠ M T N =$ （）

A、 $- \sqrt{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 如图，在正四棱柱 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中， $A A^{'} = 2 A B = 4$ ， O为此正四棱柱的外接球球心，下列说法正确的是（）

A、 $B C ⊥ A B^{'}$ B、球 $O$ 的表面积为 $20 π$ C、点 $O$ 到 $A D$ 的距离为 $\sqrt{5}$ D、四棱锥 $O - A B C D$ 的表面积为 $4 + 4 \sqrt{5}$

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10. 已知圆 $G ： (x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 3$ ，直线 $l ： m x - n y = 0$ （ $m ， n \in R$ 且 $m ， n$ 不同时为0），下列说法正确的是（）

A、当直线 $l$ 经过 $(- 1 ， 1)$ 时，直线 $l$ 与圆 $G$ 相交所得弦长为 $\sqrt{10}$ B、当 $m = 0$ 时，直线 $l^{'}$ 与 $l$ 关于点 $G$ 对称，则 $l^{'}$ 的方程为： $y = 4$ C、当 $n = 0$ 时，圆 $G$ 上存在4个点到直线 $l$ 的距离为 $\sqrt{2}$ D、过点 $G$ 与 $l$ 平行的直线方程为： $m x - n y - m - 2 n = 0$

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11. 已知函数 $f (x) = - 2 c o s x c o s (x + 3 φ) - 1$ 是偶函数，其中 $φ \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，若函数 $g (x) = s i n (2 x - φ)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $φ = \frac{π}{3}$ B、 $g (x)$ 的图象可由函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度得到 C、 $g (x)$ 的一个单调递增区间是 $(- \frac{π}{12} ， \frac{π}{2})$ D、若关于 $x$ 的方程 $g (x) - m = 0$ 在 $(\frac{π}{2} ， π)$ 上有两个不同的实根，则 $m$ 的取值范围是 $(- 1 ， - \frac{\sqrt{3}}{2})$

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12. 定义在 $[0 ， 1]$ 上的函数 $f (x)$ 同时满足以下条件：
① $f (1) = 1$ ② $\forall x \in [0 ， 1] ， f (x) = 1 - f (1 - x)$
③ $\forall x_{1} ， x_{2} \in [0 ， 1] ， (x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] \geq 0$ ④ $\forall x \in [0 ， 1] f (x) = 2 f (\frac{x}{3})$
则下列说法正确的有（）

A、若 $x \in [\frac{1}{3} ， \frac{2}{3}]$ ，则 $f (x) = \frac{1}{2}$ B、方程 $f (x) = \frac{3}{8}$ 在 $x \in [0 ， 1]$ 上无实数解 C、若 $k \in N^{*}$ ，则 $f (\frac{3^{k} - 1}{3^{k}}) = \frac{2^{k} - 1}{2^{k}}$ D、 $f (\frac{1}{41}) = \frac{1}{16}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列， $S_{n}$ 表示数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{7} = 4$ ，则 $S_{13} =$ ；

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14. 若 $c o s (θ + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，则 $s i n 2 θ =$ ．

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15. 设椭圆 $E$ 的两个焦点是 $F_{1} ， F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 的直线与椭圆 $E$ 交于点 $A ， B$ ，若 $| A F_{1} | = | F_{1} F_{2} |$ ，且 $| A F_{2} | = 2 | B F_{2} |$ ，则椭圆 $E$ 的离心率是．

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16. 若 $α + β - s i n γ = 0$ ，则 $\sqrt{α} + \sqrt{β} - \sqrt{c o s γ}$ 的最大值为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + a_{6} = - 7 ， a_{2} + a_{3} + a_{5} = a_{4} + a_{6}$ ，等比数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{3}^{2} = b_{5}$ ， $b_{27} = 3 b_{26}$

(1)、求数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = | a_{n} | \times b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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18. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，满足 $b = a - 2 b c o s C$

(1)、求证： $C = 2 B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $2 s i n C + c o s B - s i n B$ 的最大值．

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19. 五棱锥 $P - A B C F E$ 中， $A B / / C F$ ， $A E / / B C$ ， $P E ⊥ P F$ ， $A B ⊥ B C$ ， $P E = P F = A E = 2$ ， $F C = B C = 4$ ， $A B = 6$ ，平面 $P E F ⊥$ 平面 $A B C F E$ ， $M$ 为 $P B$ 的中点，

(1)、求证： $E M / /$ 平面 $P C F$ ；

(2)、求直线 $A M$ 与平面 $P C F$ 所成角的正弦值．

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20. 研究表明，学生的学习成绩y（分）与每天投入的课后学习时间x（分钟）有较强的线性相关性．某校数学小组为了研究如何高效利用自己的学习时间，收集了该校高三（1）班学生9个月内在某学科（满分100分）所投入的课后学习时间和月考成绩的相关数据，下图是该小组制作的原始数据与统计图（散点图）．
月次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
某科课后投入时间 $x$ （分钟）
20
25
30
35
40
45
50
55
60
高三（1）班某科平均分 $y$ （分）
65
68
75
72
73
73
73
73.5
73

(1)、当 $x \leq 40$ 时，该小组建立了 $y$ 与 $x$ 的线性回归模型，求其经验回归方程；

(2)、当 $x \leq 40$ 时，由图中观察到，第3个月的数据点明显偏离回归直线 $l$ ，若剔除第3个月数据点后，用余下的4个散点做线性回归分析，得到新回归直线 $l^{'}$ ，证明： $l ∥ l^{'}$ ；

(3)、当 $x > 40$ 时，该小组确定了 $y$ 与 $x$ 满足的线性回归方程为： $\hat{y} = 0.01 x + 72.6$ ，该数学小组建议该班在该学科投入课后学习时间为40分钟，请结合第（1）（2）问的结论说明该建议的合理性．
附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$

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21. 已知点 $P (0 ， 1) ， Q (0 ， - 1)$ 为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = m$ 内的两点，在椭圆 $C$ 上存在两点 $A$ ， $B$ 满足 $\vec{A P} = 2 \vec{P B}$ ，直线 $A Q$ 交椭圆 $C$ 于点 $M$ （点 $M$ 异于点 $A$ ）．

(1)、当 $m = 2$ 时，求点 $B$ 的纵坐标；

(2)、求点 $B$ ， $M$ 横坐标乘积的最大值．

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22. 已知函数 $f (x) = 3 e^{x} (x - 2) - a {(x - 1)}^{3}$ ，其中 $x \in R$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 单调递增，求a的取值范围；

(2)、若 $f (x)$ 有三个极值点，记为 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ ，且 $x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{1} \in [8 l n 2 + 6 ， 9 + \frac{5}{e - 1}]$ ，求 $\frac{x_{3} - x_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 的取值范围．

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月次	1	2	3	4	5	6	7	8	9
某科课后投入时间 $x$ （分钟）	20	25	30	35	40	45	50	55	60
高三（1）班某科平均分 $y$ （分）	65	68	75	72	73	73	73	73.5	73