重庆市三峡名校联盟2023-2024学年高一上学期数学秋季联考试卷

试卷更新日期：2023-12-26 类型：月考试卷

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一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.

1. 已知集合 $A = {x ， x^{2}}$ ，若 $1 \in A$ ，则 $x =$ （）

A、1或 $- 1$ B、1 C、 $- 1$ D、 $- 1$ 或0

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2. “xy＞0”是“x＞0，y＞0”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 函数 $f (x) = x + 2^{x}$ 的零点所在区间是（）

A、 $(- 2 ， - 1)$ B、 $(- 1 ， 0)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(1 ， 2)$

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4. 一元二次不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 $(2 ， 3)$ ，则不等式 $c x^{2} + b x + a < 0$ 的解集为（）

A、 $(- 3 ， - 2)$ B、 $(- \frac{1}{2} ， - \frac{1}{3})$ C、 $(\frac{1}{3} ， \frac{1}{2})$ D、 $(- \infty ， \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{2} ， + \infty)$

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5. 已知 $a = 3^{1.2} ， b = l o g_{3} 0.7 ， c = {(\frac{1}{3})}^{- 0.9}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系是（）

A、 $b < c < a$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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6. 著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为 $θ_{1}$ ℃，空气温度为 $θ_{0}$ ℃，则 $t$ 分钟后物体的温度 $θ$ （单位：℃)满足： $θ = θ_{0} + (θ_{1} - θ_{0}) e^{- k t}$ .若常数 $k = 0.05$ ，空气温度为 $30$ ℃，某物体的温度从 $110$ ℃下降到 $40$ ℃以下，至少大约需要的时间为（）（参考数据： $l n 2 \approx 0.69$ ）

A、40分钟 B、41分钟 C、42分钟 D、43分钟

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7. 函数 $f (x)$ 的定义域为R，对任意的 $x \in [1 ， + \infty) 、 t \in (0 ， + \infty)$ ，都有 $f (x + t) < f (x) 成立$ ，且函数 $f (x + 1)$ 为偶函数，则（）

A、 $f (1) < f (- 2) < f (3)$ B、 $f (- 2) < f (3) < f (1)$ C、 $f (- 2) < f (1) < f (3)$ D、 $f (3) < f (1) < f (- 2)$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | 2^{x} - 1 | ， x \leq 1 \\ (x - 2)^{2} ， x > 1 \end{array}$ ，函数 $y = f (x) - a$ 有四个不同的的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则（）

A、a的取值范围是(0， $\frac{1}{2}$ ) B、 $x_{2} - x_{1}$ 的取值范围是(0，1) C、 $x_{3} + x_{4} = 2$ D、 $\frac{2^{x_{1}} + 2^{x_{2}}}{x_{3} + x_{4}} = \frac{1}{2}$

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二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9. 设 $a > b$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a - c > b - c$ B、 $a^{3} > b^{3}$ C、 $| a | > | b |$ D、 $a | c | > b | c |$

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10. 下列说法正确的是（）

A、 $\frac{1}{3} \in Q$ B、若集合 $A = {\begin{array}{l} x | a x^{2} + x + 1 = 0 \end{array}}$ 中只有一个元素，则 $a = \frac{1}{4}$ C、命题“ $\exists x < 3 ， 2^{x} - x < 3$ ”的否定是“ $\forall x < 3 ， 2^{x} - x \geq 3$ ” D、若命题“ $\forall x \in [1，2] ， x^{2} - a \leq 0$ ”为假命题，则 $a < 4$

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11. 下列命题为真命题的是（）

A、 $y = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1} ， y = \sqrt{x^{2} - 1}$ 为同一函数 B、已知 $f (\sqrt{x} + 1) = x + 1$ ，则 $f (3)$ 的值为5 C、函数 $y = l o g_{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 4 x - 3)$ 的单调递减区间为 $(1 ， 2)$ D、已知 $l o g_{6} 5 = a$ ， $6^{b} = 2$ ，则 $l o g_{20} 6 =$ $\frac{1}{a + 2 b}$

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12. 任意实数 $x$ 均能写成它的整数部分 $[x]$ 与小数部分 ${x}$ 的和，即 $x = [x] + {x}$ （其中 $[x]$ 表示不超过x的最大整数）.比如： $1.7 = [1.7] + {1.7} = 1 + 0.7$ ，其中 $[1.7] = 1 ， {1.7} = 0.7$ .则下列的结论正确的是（）

A、 ${- \frac{1}{3}} = \frac{2}{3}$ B、 ${x}$ 的取值范围为 $(- 1，1)$ C、不等式 ${[x]}^{2} - [x] \leq 2$ 的解集为 ${x | - 1 \leq x < 3}$ D、已知函数 $f (x) = \frac{2^{x}}{1 + 2^{x}} - \frac{1}{4}$ ， $g (x) = [f (x)]$ 的值域是 ${- 1 ， 0}$ .

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.其中第16题第一空2分，第二空3分.请把答案填在答题卡的相应位置上.

13. 若幂函数 $f (x) = (m^{2} + m - 1) x^{m + 1}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上是减函数，则m= ．

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14. $16_{}^{\frac{3}{4}} + {l o g}_{\frac{1}{2}}^{} {12 -}_{} {l o g}_{\frac{1}{2}}^{} 3_{=}$ ．

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15. 函数 $f (x) = l o g_{a} (2 x - 3) + 1$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象恒过定点 $A (m ， n)$ ，若对任意正数 $x$ 、 $y$ 都有 $m x + n y = 4$ ，则 $\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{y}$ 的最小值是．

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{x + 1}{x^{2}}$ ，其中 $x \in [1 ， 2]$ ，则 $f (x)$ 的值域是；若 $g (x) = x + m - 1$ 且对任意 $x_{1} ， x_{2} \in [1 ， 2]$ ，总存在 $x_{3} \in [1 ， 3]$ ，使得 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| = g (x_{3})$ ，则 $m$ 的取值范围是．

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四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.

17. 已知集合 $A = {x | - 1 \leq x \leq 5}$ ， $B = {x | m - 3 < x < 3 m}$ ．

(1)、当 $m = 3$ 时，求 $A \cup B$ ；

(2)、若 $B \cup (∁_{R}^{} A) = R$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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18.

(1)、已知 $1 < a < 6$ ， $3 < b < 4$ ，求 $2 a - b$ ， $\frac{a}{b}$ 的取值范围

(2)、已知 $a ， b ， x ， y \in (0 ， + \infty)$ ，且 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ， $x > y$ ，试比较 $\frac{x}{x + a}$ 与 $\frac{y}{y + b}$ 的大小.

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19. 设不等式 $\frac{2 x - 5}{x - 4} \leq 1$ 的解集为 $A$ ，关于x的不等式 $(x - 2) (x - a) \leq 0$ 的解集为 $B$ ．

(1)、求集合 $A$ ；

(2)、若“ $x ∈ A$ ”是“ $x ∈ B$ ”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

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20. 某企业开发、生产了一款新型节能环保产品，对市场需求调研后，决定提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前n年（ $n \in N^{*}$ ）的材料费、维修费、人工工资等共 $(\frac{5}{2} n^{2} + 5 n)$ 万元，每年的销售收入为55万元，设使用该设备前n年的总盈利额为 $f (n)$ 万元.

(1)、写出 $f (n)$ 关于 $n$ 的函数关系式，并计算该设备从第几年开始使企业盈利；

(2)、使用若干年后，对该设备的处理方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理.问选择哪种处理方案更合适？说明理由.

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21. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， + \infty) ， f (x y) - f (x) = f (y) + 1$ ，当 $x > 1$ 时， $f (x) < - 1$ ．

(1)、求 $f (1)$ 的值；

(2)、证明：函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上为单调减函数；

(3)、解不等式 $f (x - 2) + f (x) > - 2$ ．

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22. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = m \cdot 4^{x} - 2^{x + 1} + 1 - m (m \in R)$ ．

(1)、已知当 $m > 0$ 时，函数 $f (x)$ 在 $[0，2]$ 上的最大值为8，求实数 $m$ 的值；

(2)、若函数 $y = g (x)$ 的定义域内存在 $x_{0}$ ，使得 $g (a + x_{0}) + g (a - x_{0}) = 2 b$ 成立，则称 $g (x)$ 为局部对称函数，其中 $(a ， b)$ 为函数 $g (x)$ 的局部对称点．若 $(1 ， 0)$ 是 $f (x)$ 的局部对称点，求实数 $m$ 的取值范围．

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