重庆市名校联盟2023-2024学年高一上学期数学第二次联考（12月）试卷

试卷更新日期：2023-12-26 类型：月考试卷

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ， $A = {1 ， 3 ， 5}$ ， $B = {2 ， 5}$ ，则 $C_{U}^{} (A ∪ B)$ =（）

A、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 6}$ B、 ${2 ， 4 ， 5 ， 6}$ C、 ${1 ， 2 ， 3 ， 5}$ D、 ${4 ， 6}$

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2. 命题“ $\forall x \in R$ ，都有 $e_{}^{x} \geq x + 1$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ，使得 $e_{}^{x} \geq x + 1$ B、 $\exists x \in R$ ，使得 $e_{}^{x} < x + 1$ C、 $\exists x \notin R$ ，使得 $e_{}^{x} < x + 1$ D、 $\exists x \in R$ ，使得 $e_{}^{x} \leq x + 1$

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3. 函数 $f (x) = l n x + \sqrt{1 - x}$ 的定义域为（）

A、 $(0 ， 1]$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(1 ， + \infty]$ D、 $(- \infty ， 0) ∪$

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4. 设 $a ， b \in R$ ，则“ $a_{}^{2} - b_{}^{2} > 0$ ”是“ $a > b > 0$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知 $s i n (\frac{π}{2} - α) = \frac{1}{2} ， α \in (0 ， π)$ ，则 $t a n α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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6. 若 $m$ 为函数 $f (x) = l o g_{2}^{} x + x - 2$ 的零点，则 $m$ 所在区间为（）

A、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ B、 $(1 ， \frac{3}{2})$ C、 $(\frac{3}{2} ， 2)$ D、 $(2 ， \frac{5}{2})$

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7. 已知函数 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x_{1}^{} ， x_{2}^{} \in (0 ， + \infty)$ 时，都有 $\frac{f (x_{1}^{}) - f (x_{2}^{})}{x_{1}^{} - x_{2}^{}} > 0$ 成立，且 $f (- 3) = 0$ ，则满足 $x f (x) \leq 0$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $[- 3 ， 0] ∪ [0 ， 3]$ B、 $(- 3 ， 3)$ C、 $[- \infty ， - 3] ∪ [3 ， + \infty]$ D、 $[- 3 ， 3]$

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8. 函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且当 $x \in$ $[0 ， + \infty)$ 时， $f (x) = a_{}^{x} (a > 1)$ ．若对 $\forall x \in [0 ， 1]$ ，使得 $f (x + t) \geq {[f (x)]}_{}^{2}$ 恒成立，则实数 $t$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， + \infty)$ B、 $(0 ， 1]$ C、 $（-∞，-3]∪[1，+∞）$ D、 $（-∞，1]$

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二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9. 已知 $s i n α + c o s α = \frac{1}{5} ， α \in (0 ， π)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ B、 $s i n α c o s α = - \frac{12}{25}$ C、 $s i n α = \frac{4}{5}$ D、 $c o s α = \frac{3}{5}$

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10. 已知 $a > 0 ， b > 0$ 且 $a + b = 4$ ，则（）

A、 $\sqrt{a b}$ 的最大值为2 B、 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值为 $\frac{9}{4}$ C、 $a_{}^{2} + b_{}^{2}$ 的最小值为8 D、 $2_{}^{a} + 2_{}^{b}$ 的最大值为 $4$

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11. 若 $l o g_{a}^{} 10 > l o g_{b}^{} 10$ ，则下列式子可能成立的是（）

A、 $1 < a < b$ B、 $1 < b < a$ C、 $0 < b < a < 1$ D、 $0 < b < 1 < a$

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12. 设函数 $f (x)$ 的定义域为，且满足 $f (x) = f (2 - x) ， f (- x) = - f (x - 2)$ ，当 $x \in$ 时， $f (x) = - x_{}^{2} + 1$ .则下列说法正确的是（）

A、 $f (x) = f (x + 8)$ B、 $f (2023) = 0$ C、 $y = f (x - 1)$ 为偶函数 D、方程 $(x + 1) f (x) = \frac{1}{2}$ 在 $[- 5 ， 5]$ 所有根之和为 $- 8$

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知一个扇形的圆心角为 $\frac{π}{2}$ ，半径为 $2$ ，则该扇形的面积为.

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{cases} x^{3} + 1 ， x \leq 0 \\ l o g_{\frac{1}{3}} x ， x > 0 \end{cases}$ ，若 $f (a) = 2$ ，则实数 $a =$ .

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15. 若函数 $f (x) = x_{}^{2} - 2 a x + 1$ 的单调递增区间为 $[3 ， + \infty ）$ ，且函数 $g (x) = {(\frac{1}{2})}_{}^{(x - a) (x + 1)}$ 的单调递减区间为 $[m ， + \infty ）$ ，则实数 $m =$ .

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16. 已知函数 $f (x) = | l o g_{2}^{} x |$ ，若 $a < b$ 时，使得 $f (a) = f (b)$ ，则 ${[f (a)]}_{}^{2} - f (4 b)$ 的最小值为.

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四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. 用相关公式或运算性质对下列式子进行必要的化简并求值.

(1)、 $(l g 25 + 2 l g 2) \cdot 2_{}^{- \frac{1}{2}}$

(2)、已知 $t a n α = 2$ ，求 $\frac{s i n (π - α) + c o s α}{c o s α + s i n (- α)}$

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18. 已知集合 $A = {x | x (x - 7) \leq 0}$ ，集合 $B = {x | m - 2 \leq x \leq 2 m + 1}$ ．

(1)、若 $m = 0$ ，求 $A ∩ B$ ；

(2)、若 $A ∪ B = A$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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19. 已知关于 $x$ 的不等式 $(x + 2) (x - a) \geq 0$ ．

(1)、若 $b < 1$ ，且不等式的解集为 $(-∞，b]∪[1，+∞)$ ，求实数 $a + b$ 的值；

(2)、若 $a \in R$ ，求不等式的解集．

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20. 已知函数 $f (x) = 1 - \frac{m + 1}{2_{}^{x} + 1}$ 为奇函数．

(1)、求实数 $m$ 的值及函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、若 $f (2 t + 1) + f (t - 4) < 0$ ，求实数 $t$ 的取值范围．

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21. 国内某大型机械加工企业在过去的一个月内（共计 $30$ 天，包括第 $30$ 天），其主营产品在第 $x$ 天的指导价为每件 $P (x)$ （元），且满足 $P (x) = {\begin{cases} x + 40 ， 1 \leq x \leq 20 \\ 80 - x ， 20 < x \leq 30 \end{cases} (x \in N)$ ，第 $x$ 天的日交易量 $Q (x)$ （万件）的部分数据如下表：
第 $x$ 天
1
2
5
10
$Q (x)$ （万件）
14.01
12
10.8
10.38

(1)、给出以下两种函数模型：① $Q (x) = a + 2_{}^{x + b}$ ， ② $Q (x) = a + \frac{b}{x}$ ，其中 $a ， b$ 为常数.请你根据上表中的数据，从①②中选择你认为最合适的一种函数模型来拟合该产品日交易量 $Q (x)$ （万件）的函数关系；并且从四组数据中选择你认为最简洁合理的两组数据进行合理的推理和运算，求出 $Q (x)$ 的函数关系式；

(2)、若该企业在未来一个月（共计 $30$ 天，包括第 $30$ 天）的生产经营水平维持上个月的水平基本不变，由(1)预测并求出该企业在未来一个月内第 $x$ 天的日交易额 $f (x)$ 的函数关系式，并确定 $f (x)$ 取得最小值时对应的 $x$ .

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22. 已知函数 $f (x) = l n (e_{}^{2 x} + 1) + k x$ 是偶函数.

(1)、求实数 $k$ 的值；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = l n [m (e_{}^{x} - 1)]$ 有且仅有一个实数根，求实数 $m$ 的取值范围.

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第 $x$ 天	1	2	5	10
$Q (x)$ （万件）	14.01	12	10.8	10.38