上海市宝山区重点高中2023-2024学年高二上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2023-12-26 类型：月考试卷

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一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）

1. $- 2$ 和9的等差中项是.

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2. 抛物线 $x^{2} = 2 y$ 的焦点坐标为.

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3. 两平行直线 $l_{1} ： x + 2 y - 1 = 0 ， l_{2} ： 2 x + 4 y + 5 = 0$ 之间的距离为.

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4. 双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的一条渐近线方程为 $y = - 2 x$ ，则正实数 $b =$ .

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5. 设 $A B$ 是椭圆 $Γ$ 的长轴，点 $C$ 在 $Γ$ 上，且 $∠ C B A = \frac{π}{4}$ ，若 $A B = 4 ， B C = \sqrt{2}$ ，则 $Γ$ 的离心率为.

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6. 若双曲线 $x^{2} + m y^{2} = 1$ 的虚轴长是实轴长的2倍，则 $m =$ .

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7. “共享单车，绿色出行”是近年来火爆的广告词，现对某市10名共享单车用户一个月内使用共享单车的次数进行统计，得到数据如茎叶图所示，下列关于该组数据的说法错误的是.
①极差为36；②众数为34；③第50百分位数为27；④平均数为32.

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8. 如图在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 2 ， A D = 4$ ，点 $M$ 为 $A B$ 的中点，点 $N$ 为 $B C$ 的中点.则 $\vec{A_{1} M} \cdot \vec{B_{1} N} =$ .

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9. 四棱锥 $P - A B C D$ 中， $\vec{A B} = (2 ， - 1 ， 3) ， \vec{A D} = (- 2 ， 1 ， 0) ， \vec{A P} = (3 ， - 1 ， 4)$ ，则这个四棱锥的高是.

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10. 已知直线 $l_{1} ： m x - y = 0 ， l_{2} ： x + m y - m - 2 = 0$ .当 $m$ 在实数范围内变化时， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点 $P$ 恒在一个定圆上，则定圆方程是 .

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11. 已知圆 $M ： x^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ ，圆 $N ： x^{2} + (y + 1)^{2} = 1$ ，直线 $l_{1} ､ l_{2}$ 分别过圆心 $M ､ N$ ，且 $l_{1}$ 与圆 $M$ 相交于 $A ､ B$ 两点， $l_{2}$ 与圆 $N$ 相交于 $C ､ D$ 两点，点 $P$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 上任意一点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P C} \cdot \vec{P D}$ 的最小值为.

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12. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} ､ F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 作一直线与双曲线 $C$ 的右半支交于 $P ､ Q$ 两点，使得 $∠ F_{1} P Q = 9 0^{∘}$ ，则 $△ F_{1} P Q$ 的内切圆的半径 $r =$ .

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二、选择题（本大题共4题，满分20分）

13. 下列关于概率的说法正确的是（）

A、频率就是概率 B、任何事件的概率都是在(0，1)之间 C、概率是客观存在的，与试验次数无关 D、概率是随机的，与试验次数有关

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14. 已知空间非零向量 $\vec{a} ､ \vec{b} ､ \vec{c}$ ，则下列命题中正确的是（）

A、若 $\vec{a} ､ \vec{b} ､ \vec{c}$ 共面，那么 $\vec{a} ､ \vec{b} ､ \vec{c}$ 中至少存在一对向量共线 B、若 $\vec{a} ､ \vec{b} ､ \vec{c}$ 共面，那么存在一组实数对 $(λ ， μ)$ ，使得 $\vec{a} = λ \vec{b} + μ \vec{c}$ C、若 $\vec{a} ､ \vec{b} ､ \vec{c}$ 不共面，那么 $\vec{a} ､ \vec{b} ､ \vec{c}$ 所在直线中至少存在两条直线异面 D、若 $\vec{a} ､ \vec{b} ､ \vec{c}$ 不共面，那么 $\vec{a} ､ \vec{b} ､ \vec{c}$ 所在直线中不可能存在两条直线异面

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15. 过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点作一条直线与抛物线相交于 $A ､ B$ 两点，它们的横坐标之和等于3，则这样的直线（）

A、有且仅有一条 B、有且仅有两条 C、有无穷多条 D、不存在

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16. 在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点， $M ､ N$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 上的两个动点，动点 $P$ 满足 $\vec{O P} = 2 \vec{O M} + \vec{O N}$ ，直线 $O M$ 与直线 $O N$ 斜率之积为-2，已知平面内存在两定点 $F_{1} ､ F_{2}$ ，使得 $| P F_{1} | + | P F_{2} |$ 为定值，则该定值为（）

A、 $4 \sqrt{5}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、4 D、 $4 \sqrt{3}$

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三、解答题（本大题共有5题，满分76分）

17.

(1)、已知事件 $A$ 与 $B$ 互斥，它们都不发生的概率为 $\frac{2}{5}$ ，且 $P (A) = 2 P (B)$ ，求 $P (\bar{A})$ ；

(2)、从一副去掉大小王的52张扑克牌中随机抽取一张牌，用 $A ､ B$ 分别表示“取得的牌面数是10”和“取得的牌的花色是红桃”这两个事件.判断事件 $A ､ B$ 是否独立，说明理由.

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18. 证明圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 5 = 0$ 与圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y + 11 = 0$ 内切，并求切点坐标以及两个圆的公切线方程.

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19. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，已知 $S_{9} = - a_{5}$ ．

(1)、若 $a_{3} = 4$ ，求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $a_{1} > 0$ ，求使得 $S_{n} \geq a_{n}$ 的n的取值范围．

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20. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = A C = P C = A B = a ， P A ⊥ A B ， A C ⊥ A B$ ， $M$ 为 $A C$ 的中点.

(1)、求证： $P M ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求直线 $P B$ 和平面 $A B C$ 所成的角的大小.

(3)、求点 $A$ 到 $△ P B C$ 重心 $G$ 的距离.

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21. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $(1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，其左焦点为 $F (- \sqrt{3} ， 0)$ ，过 $F$ 点的直线 $l$ 交椭圆于 $A ､ B$ 两点，交 $y$ 轴的正半轴于点 $M$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、过点 $F$ 且与 $l$ 垂直的直线交椭圆于 $C ､ D$ 两点，若四边形 $A C B D$ 的面积为 $\frac{4}{3}$ ，求直线 $l$ 的方程；

(3)、设 $\vec{M A} = λ_{1} \vec{A F} ， \vec{M B} = λ_{2} \vec{B F}$ ，求证： $λ_{1} + λ_{2}$ 为定值.

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