上海市浦东新区华二附中2023-2024学年高一上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2023-12-26 类型：月考试卷

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一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）

1. 已知 $a > 0$ ，用有理数指数幂的形式表示 $\sqrt[3]{a \sqrt{a}} =$ .

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2. 已知“ $x > 1$ ”是“ $x > a$ ”的充分非必要条件，则实数 $a$ 的取值范围是.

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3. 已知 $0 < a < 1$ ， $s > 0$ ，则 $a^{s}$ 1（填“ $>$ ”或“ $<$ ”）

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4. 函数 $y = x + \frac{1}{x}$ ， $x \in (\frac{1}{2} ， 2]$ 的值域为.

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5. 集合 $A = {x | y = \frac{1}{\sqrt{4 - x^{2}}} ， x \in Z}$ ，则 $A$ 的子集的个数是.

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6. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{x^{3}} + a x^{3} - b x - 5$ ，且 $f (- 2) = 2$ ，则 $f (2) =$ .

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7. 已知 $l o g_{a} x + l o g_{a} y = 2$ （a为常数， $a > 0$ ， $a \neq 1$ ），则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值是.

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8. 若 $l n 3 = a$ ，则 $l o g_{9} e =$ .

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9. 2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则年我国人口将超过20亿（ $l g 2 \approx 0.3010$ ， $l g 3 \approx 0.4771$ ， $l g 7 \approx 0.8451$ ）

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10. 设 $x \in R$ ， $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，例如： $[π] = 3$ ， $[- 1.2] = - 2$ ， $[0.5] = 0$ ，则使 $[| x - 1 |] = 3$ 成立的x的取值范围是.

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11. 已知函数 $f (x) = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + k \cdot (x + \frac{1}{x})$ ， $x \in (0 ， + \infty)$ ，若关于x的方程 $f (x) = - 11$ 恰有两个不同的实根，则实数 $k$ 的取值范围是.

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12. 已知实数x、y满足 $x^{2} + y^{2} = 1$ ，若 $| x + 2 y - a | + | a + 6 - x - 2 y |$ 的值与x ， y无关，则实数a的取值范围是.

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二、选择题（本大题共4题.满分20分）

13. 用二分法求函数 $f (x) = x^{3} + x^{2} - 2 x - 2$ 的一个零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据： $f (1) = - 2$ ， $f (1.5) = 0.625$ ， $f (1.25) = - 0.984$ ， $f (1.375) = - 0.260$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在 $(1.25 ， 1.5)$ 上不一定有零点 B、已经达到精确度，可以取1.375作为近似值 C、没有达到精确度，应该接着计算 $f (1.3125)$ D、没有达到精确度，应该接着计算 $f (1.4375)$

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14. 已知 $f (x)$ 是定义在 $[0 ， + \infty)$ 上的函数，根据下列条件，可以断定 $f (x)$ 是严格增函数的是（）

A、对任意 $x > 0$ ，都有 $f (x) > f (0)$ B、对任意 $x \geq 0$ ，都有 $f (x + 1) > f (x)$ C、对任意 $x_{1}$ 、 $x_{2} \in [0 ， + \infty)$ ，且 $x_{1} \geq x_{2}$ ，都有 $f (x_{1}) \geq f (x_{2})$ D、对任意 $x_{1}$ 、 $x_{2} \in [0 ， + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$

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15. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - x + 1$ ， $g (x) = {\begin{array}{l} - 1 ， x \leq - 1 \\ x ， - 1 < x < 1 \\ 1 ， x \geq 1 \end{array}$ ，若函数 $y = f (x) - g (x)$ 恰有两个零点，则实数a的取值范围是（）

A、 $(0 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 0) ∪ (0 ， 1)$ C、 $(- \infty ， - \frac{1}{2}) ∪ (1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 0) ∪ (0 ， 2)$

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16. 若定义域为 $[0 ， + \infty)$ 的函数 $f (x)$ 同时满足以下两个条件：（1）对任意的 $x \in [0 ， + \infty)$ ，恒有 $f (x) \geq 0$ ；（2）若 $x \geq 0$ ， $y \geq 0$ ，则有 $f (x + y) \geq f (x) + f (y)$ 成立，我们就称 $f (x)$ 为“ $Ω$ 函数”.现有下列判断：
①若 $f (x)$ 为“ $Ω$ 函数”，则 $f (0) = 0$ ；
②若 $f (x)$ 为“ $Ω$ 函数”，则 $f (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上为严格增函数；
③函数 $g (x) = {\begin{array}{l} 0 ， x \in Q \\ 1 ， x \notin Q \end{array}$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上是“ $Ω$ 函数”；
④函数 $g (x) = x^{2} + x$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上是“ $Ω$ 函数”
其中，正确结论的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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三、解答题（本大题共有5题，满分76分）

17.

(1)、已知正数a满足 $a^{2 m} = 16$ ， $a^{n} = 9$ ，求 $a^{\frac{m - n}{2}}$ 的值；

(2)、已知a、b、c均为正数，且 $3^{a} = 4^{b} = 6^{c}$ ，求 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} - \frac{2}{c}$ 的值.

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18. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $[- 3 ， 3]$ 上的奇函数，当 $0 < x \leq 3$ 时， $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (a + 1) + f (2 a - 1) > 0$ ，求实数a的取值范围.

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19. 如图，建立平面直角坐标 $x O y$ 系，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程 $y = k x - \frac{1}{20} (1 + k^{2}) x^{2} (k > 0)$ 表示的曲线上，其中k与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.

(1)、求炮的最大射程；

(2)、设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，若炮弹可以击中它，求k的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = x^{2} + \frac{a}{x}$ （ $x \neq 0$ ，常数 $a \in R$ ）.

(1)、求函数 $f (x)$ 的零点；

(2)、根据a的不同取值，判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(3)、若函数 $f (x)$ 在 $[1 ， 2]$ 上单调递减，求实数a的取值范围，证明函数 $y = f (x) + a$ 在 $(- \infty ， 0)$ 上有且仅有1个零点.

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21. 对于在某个区间 $[a ， + \infty)$ 上有意义的函数 $f (x)$ ，如果存在一次函数 $g (x) = k x + b$ 使得对于任意的 $x \in [a ， + \infty)$ ，有 $| f (x) - g (x) | \leq 1$ 恒成立，则称函数 $g (x)$ 是函数 $f (x)$ 在区间 $[a ， + \infty)$ 上的弱渐近函数．

(1)、判断 $g (x) = x$ 是否是函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ 在区间 $[1 ， + \infty)$ 上的弱渐近函数，并说明理由．

(2)、若函数 $g (x) = 3 x + 1$ 是函数 $f (x) = 3 x + \frac{m}{x}$ 在区间 $[4 ， + \infty)$ 上的弱渐近函数，求实数m的取值范围；

(3)、是否存在函数 $g (x) = k x$ ，使得 $g (x)$ 是函数 $f (x) = \sqrt{x}$ 在区间 $[1 ， + \infty)$ 上的弱渐近函数？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，说明理由．

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