上海市华二附中2023-2024学年高二上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2023-12-26 类型：月考试卷

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一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）

1. 抛物线 $x^{2} = y$ 的焦点坐标为．

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2. 若直线 $x + y + 1 = 0$ 是圆 ${(x - a)}^{2} + y^{2} = 1$ 的一条对称轴，则 $a =$ ．

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3. 三个平面最多将空间分成个部分．

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4. 点 $(4 ， 0)$ 到双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的一条渐近线的距离为．

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5. 若直线 $(3 - m) x + y + 1 = 0$ 与直线 $2 x - (m - 2) y + 3 = 0$ 垂直，则实数 $m =$ ．

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6. 设平面 $α$ 与平面 $β$ 相交于直线 $l$ ，直线 $a \subset α$ ，直线 $b \subset β ， a \cap b = M$ ，则 $M$ $l$ (用下列符号之一表示： $\in$ 、 $\notin$ 、 $\subset$ 、 $\subseteq)$ ．

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7. 已知 $F_{1} (- 5 ， 0)$ ， $F_{2} (5 ， 0)$ 是双曲线C的两个焦点，过 $F_{2}$ 且垂直于x轴的直线交C于A ， B两点，且 $| A B | = \frac{9}{2}$ ，则C的方程为．

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8. 若直线 $y = x + b$ 与曲线 $x = \sqrt{1 - y^{2}}$ 恰有一个公共点，则b的取值范围为．

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9. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E是BC的中点，则异面直线 $B C_{1}$ 和 $D_{1} E$ 所成角的大小为．

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10. 已知F是双曲线C： $x^{2} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ 的右焦点，P是C左支上一点， $A (0 ， 6 \sqrt{6})$ ，当△APF周长最小时，该三角形的面积为．

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11. 已知M为抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 上一点，过抛物线C的焦点F作直线 $x + (m - 1) y = 5 - 2 m$ 的垂线，垂足为N ，则 $| M F | + | M N |$ 的最小值为．

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12. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ），直线l过点 $(b ， a)$ ，不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A ， B ，线段AB的中点为M ，延长线段OM与C交于点P ，当四边形OAPB为平行四边形时，则直线l的斜率．

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二、单选题（本大题共4题，满分20发）

13. 如图，△O＇A＇B＇是水平放置的△OAB的直观图， $O' A' = 3$ ， $O' B' = 4$ ， $∠ A' O' B' = 45 °$ ，则原△AOB的面积为（）

A、6 B、 $6 \sqrt{2}$ C、12 D、24

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14. 已知圆 $x^{2} + y^{2} - 6 x = 0$ ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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15. 方程 $| y | = 1 + \sqrt{2 x - x^{2}}$ 表示的曲线为（）

A、一个圆 B、两个半圆 C、一个椭圆 D、以上结论均不对

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16. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，设直线 $a \subset$ 平面ABCD ，直线 $b \subset$ 平面 $D A B_{1} C_{1}$ ，记正方体12条棱所在直线构成的集合为 $Ω$ ．给出下列四个命题：
① $Ω$ 中可能有4条直线与a异面；
② $Ω$ 中可能有5条直线与a异面；
③ $Ω$ 中可能有8条直线与b异面；
④ $Ω$ 中可能有10条直线与b异面．
（）

A、①②③ B、①④ C、①③④ D、①②④

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三、解答题（本大题共有5题，满分76）

17. 已知直线l经过点 $P (- 2 ， 1)$ ，分别求满足下列条件的直线l的方程：

(1)、与直线 $2 x + y = 5$ 垂直；

(2)、与圆O： $x^{2} + y^{2} = 4$ 相切．

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18. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E ， F分别是 $B_{1} C_{1}$ 和 $C_{1} D_{1}$ 的中点．

(1)、证明：E ， F ， D ， B四点共面．

(2)、证明：BE ， DF ， $C C_{1}$ 三线共点．

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19. 某高校的志愿者服务小组决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图，A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号 $\frac{8}{v_{0}}$ 秒（注：信号每秒传播 $v_{0}$ 米），在时刻 $t_{0}$ 时，测得机器鼠距离O点为4米．

(1)、以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如图），求 $t_{0}$ 时机器鼠所在位置的坐标；

(2)、游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”风险，如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？

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20. 如图，四边形ABCD是矩形， $A D = 2 ， D C = 1 ， A B ⊥$ 平面BCE， $B E ⊥ E C ， E C = 1$ ．点F为线段BE的中点．

(1)、求证： $C E ⊥$ 平面ABE；

(2)、求证： $D E ∥$ 平面ACF；

(3)、求AC和平面ABE所成角的正弦值．

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21. 已知椭圆 $Γ_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的右焦点 $F_{2}$ 与抛物线 $Γ_{2}$ 的焦点重合， $Γ_{1}$ 的中心与 $Γ_{2}$ 的顶点重合，过 $F_{2}$ 且与x轴垂直的直线交 $Γ_{1}$ 于A、B两点，交 $Γ_{2}$ 于C、D两点，且 $| C D | = \frac{12}{5} | A B |$ ．

(1)、求 $Γ_{1}$ 的离心率；

(2)、设E是 $Γ_{1}$ 与 $Γ_{2}$ 的公共点，若 $| E F_{2} | = 13$ ，求 $Γ_{1}$ 与 $Γ_{2}$ 的标准方程；

(3)、直线l： $y = k x + h$ 与 $Γ_{1}$ 交于M、N ，与 $Γ_{2}$ 交于P、Q ，且在直线l上按M、P、N、Q顺序排列，若 $| M P | = | P N | = | N Q |$ ，求 $| Q F_{2} |$ ．

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