上海市浦东新区重点中学2023-2024学年高三上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2023-12-26 类型：月考试卷

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一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1. 已知 $A = {y | y = x^{2} + 1}$ ， $B = {x | x < 3}$ ，则 $A ∩ B =$ .

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2. 过点 $(2 ， - 3)$ 斜率为 $- \frac{1}{2}$ 的直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为.

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3. 已知 $P (5 ， 12)$ 在角 $α$ 的终边上，则 $c o s (π + α) =$ .

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4. 已知复数 $z_{1} = a + 2 i$ ， $z_{2} = 2 + 3 i$ （i是虚数单位），若 $z_{1} \cdot z_{2}$ 是纯虚数，则实数 $a =$ .

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5. 等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + a_{5} = 4$ ， $a_{3} + a_{7} = 12$ ，则 $\sum_{i = 1}^{7} a_{i} =$ .

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6. 已知函数 $f (x) = 1 + l o g_{a}^{} (2 x - 3)$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）恒过定点 $(m ， n)$ ，则 $m + n =$ ．

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7. 已知双曲线的渐近线方程为 $y = \pm x$ ，且右顶点与椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的右焦点重合，则这个双曲线的标准方程是.

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8. 已知正实数x、y满足 $x + y = 1$ ，则 $\frac{y}{x} + \frac{4}{y}$ 的最小值为.

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9. 已知抛物线的方程为 $y^{2} = 4 x$ ，过其焦点F的直线交此抛物线于M、N两点，交y轴于点E ，若 $\vec{E M} = λ_{1} \vec{M F}$ ， $\vec{E N} = λ_{2} \vec{N F}$ ，则 $λ_{1} + λ_{2} =$ .

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10. 函数y=sin2x+2sinx的最大值为．

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11. 已知等边 $△ A B C$ 的边长为 $\sqrt{3}$ ，点 $P$ 是其外接圆上的一个动点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的取值范围是.

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12. 一个“皇冠”状的空间图形（如图）由一个正方形和四个正三角形组成，并且正方形与每个正三角形所成的二面角的大小均为 $θ$ .如果把两个这样的“皇冠”倒扣在一起，可以围成一个十面体，则 $c o s θ$ 的值为.

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二、选择题（本大题共有4小题，满分18分，其中第13、14题每题4分，第14、15题每题5分）

13. 若 $a 、 b \in R$ ，则“ $a < b < 0$ ”是“ $a^{2} > b^{2}$ ”的（）条件

A、充分非必要 B、必要非充分 C、充要 D、既非充分也非必要

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14. 设 $z_{1} ， z_{2}$ 是复数，则下列命题中的假命题是（）

A、若 $| z_{1} - z_{2} | = 0$ ，则 $\bar{z_{1}} = \bar{z_{2}}$ B、若 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ ，则 $\bar{z_{1}} = z_{2}$ C、若 $| z_{1} | = | z_{2} |$ ，则 $z_{1} \cdot \bar{z_{1}} = z_{2} \cdot \bar{z_{2}}$ D、若 $| z_{1} | = | z_{2} |$ ，则 ${z_{1}}^{2} = {z_{2}}^{2}$

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15. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，给出下列四个推断：
① $A_{1} C_{1} ⊥ A D_{1}$
② $A_{1} C_{1} ⊥ B D$
③平面 $A_{1} C_{1} B / /$ 平面 $A C D_{1}$
④平面 $A_{1} C_{1} B ⊥$ 平面 $B B_{1} D_{1} D$

其中正确的推断有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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16. 已知 $x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{10}$ 均为正数，并且 $\frac{1}{1 + x_{1}} + \frac{1}{1 + x_{2}} + ⋯ + \frac{1}{1 + x_{10}} = 1$ ，给出下列2个结论：
① $x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{10}$ 中小于1的数最多只有一个；
② $x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{10}$ 中最小的数不小于 $\frac{1}{10}$ .则（）

A、①对，②错 B、①错，②对 C、①，②都错 D、①，②都对

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三、解答题（本大题共5题，满分78分）

17. 如图，在几何体 $P - A B C D$ 中，已知 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且四边形 $A B C D$ 为直角梯形， $∠ A B C = ∠ B A D = \frac{π}{2}$ ， $A D = 2$ ， $A B = B C = 1$ ．

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若PC与平面 $A B C D$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ ，求点A到平面 $P C D$ 的距离．

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18. 已知函数 $f (x) = 2 s i n \frac{x}{2} c o s \frac{x}{2} + 2 \sqrt{3} c o s^{2} \frac{x}{2} - \sqrt{3}$ ， $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ， $f (A) = \sqrt{3}$ ，且 $△ A B C$ 的外接圆的半径为 $\sqrt{3}$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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19. 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ ，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为 $l$ ，如图所示，M、N为C的两个端点，测得点M到 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 的距离分别为5千米和40千米，点N到 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 的距离分别为20千米和2.5千米，以 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 所在的直线分别为x、y轴，建立平面直角坐标系 $x O y$ ，假设曲线C符合函数 $y = \frac{a}{x^{2} + b}$ （其中a、b为常数）模型.

(1)、求a、b的值；

(2)、设公路 $l$ 与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.
①请写出公路 $l$ 长度的函数解析式 $f (t)$ ，并写出其定义域；
②当t为何值时，公路 $l$ 的长度最短?求出最短长度.

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20. 已知椭圆 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，上顶点为M ，过点M且斜率为 $- 1$ 的直线与椭圆 $Γ$ 交于另一点N ，过原点的直线 $l$ 与椭圆 $Γ$ 交于P、Q两点.

(1)、求 $△ P F_{1} F_{2}$ 周长；

(2)、是否存在这样的直线 $l$ ，使椭圆 $Γ$ 中与直线 $M N$ 平行的弦的中点都在 $l$ 上?若存在，求直线 $l$ 的方程；若不存在，请说明理由；

(3)、若直线 $l$ 与线段 $M N$ 相交，且四边形 $M P N Q$ 的面积 $S \in [\frac{108}{13} ， \frac{36 \sqrt{13}}{13}]$ ，求直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围.

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21. 设 $y = f (x)$ 是定义域为 $R$ 的函数，如果对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in R (x_{1} \neq x_{2})$ ， $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | < | x_{1} - x_{2} |$ 均成立，则称 $y = f (x)$ 是“平缓函数”.

(1)、若 $f (x) = x^{2}$ ，试判断 $y = f (x)$ 是否为“平缓函数”并说明理由；

(2)、已知 $y = f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 存在，判断下列命题的真假：若 $y = f (x)$ 是“平缓函数”，则 $| f^{'} (x) | \leq 1$ ，并说明理由.

(3)、若函数 $y = f (x)$ 是“平缓函数”，且 $y = f (x)$ 是以 $1$ 为周期的周期函数，证明：对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in R (x_{1} \neq x_{2})$ ，均有 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | < \frac{1}{2}$ .

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