黑龙江省哈尔滨市2023-2024学年八年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-12-26 类型：期中考试

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一、选择题（每小题3分，共24分）

1. 下列汉字是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P (- 3 ， - 5)$ 关于 $y$ 轴对称的点的坐标为（）

A、 $(- 3 ， - 5)$ B、 $(3 ， 5)$ C、 $(3 ， - 5)$ D、 $(5 ， - 3)$

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 $a^{3} \div a = a^{3}$ C、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ D、 ${(a^{2} b)}^{2} = a^{4} b^{2}$

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4. 下列各式能用平方差公式计算的是（）

A、 $(- a + b) (a - b)$ B、 $(x + 2) (2 + x)$ C、 $(x - 2) (x + 1)$ D、 $(\frac{1}{3} x + y) (y - \frac{1}{3} x)$

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5. 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.下列作图正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 计算： $(a + b - c) (a - b - c)$ 下列步骤出现错误的是（）
① $(a - c + b) (a - c - b)$ ② $[(a - c) + b] [(a - c) - b]$
③ ${(a - c)}^{2} - b^{2}$ ④ $a^{2} - 2 a c - c^{2} - b^{2}$

A、① B、② C、③ D、④

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7. 下列三角形：①有两个角等于 $60 °$ 的三角形；②有一个角等于 $60 °$ 的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形.其中是等边三角形的有（）

A、①②③ B、①②④ C、①③ D、①②③④

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8. 在实数范围内定义一种新运算“*”，其规则是 $a * b = a^{2} - b^{2}$ ，如果 $(x + 2) * 5 = (x - 5) (5 + x)$ ，那么 $x$ 的值是（）

A、 $x = - 1$ B、 $x = 1$ C、 $x = 46$ D、 $x = - 46$

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二、填空题（每小题3分，共24分）

9. 计算： ${(- 2 b)}^{3} =$ .

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10. 分解因式： $x^{2} - 9 =$ .

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11. 若等腰三角形的底角为 $40 °$ ，则它的顶角角度为.

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12. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 120 °$ ，过点 $A$ 作 $A B$ 的垂线交 $B C$ 于 $D$ ， $B C = 6$ ，则 $A D$ 的长为.

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13. 若 $2^{m} = 5$ ， $2^{n} = 6$ ，则 $2^{m + n} =$ .

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14. 已知 $a - b = 8$ ， $a b = - 15$ ，则 $a^{2} + b^{2} =$ .

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15. 已知 $y^{2} + m y + 9$ 是完全平方式，则 $m =$ .

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B A = B C = 5$ ， $A C = 6$ ， $B H$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于点 $H$ ，点 $P$ ， $D$ 分别是 $B H$ 和 $A B$ 上的动点，设 $P A + P D = m$ ，若 $B H = 4$ ，则 $m$ 的最小值是.

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三、解答题（17-18题各6分，19-23题各3分，24-25题各10分，共72分）

17. 计算：

(1)、 $3 a (5 a - 2 b)$

(2)、 $(12 a^{3} - 6 a^{2} + 3 a) \div 3 a$

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18. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点坐标分别为 $A (- 3 ， 2)$ ， $B (- 4 ， - 3)$ ， $C (- 1 ， - 1)$ .

(1)、画出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 先化简，再求值： ${(2 x + 3 y)}^{2} - (2 x + y) (2 x - y)$ ，其中 $x = \frac{1}{3}$ ， $y = - \frac{1}{2}$ ．

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20. 如图， $△ A B C$ 是等腰三角形， $A B = A C$ ，点 $D$ 是 $A B$ 上一点，过点 $D$ 作 $D E ⊥ B C$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，交 $C A$ 的延长线于点 $F$ .

(1)、证明： $△ A D F$ 是等腰三角形.

(2)、若 $∠ B = 60 °$ ， $B D = 4$ ， $A D = 2$ ，求 $E C$ 的长.

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21. 小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张.

(1)、他用1张1号、1张2号和2张3号纸片拼出一个新的图形（如图②）.根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是.

(2)、如果要拼成一个长为 $(a + 2 b)$ ，宽为 $(a + b)$ 的大长方形，则需要2号纸片张，3号纸片张；

(3)、当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积，可以把多项式 $a^{2} + 3 a b + 2 b^{2}$ 分解因式，其结果是；

(4)、动手操作，请你依照小刚的方法，利用拼图分解因式 $a^{2} + 5 a b + 6 b^{2} =$ .

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22. 数学课上，刘老师出示了如下的题目：如图1，在等边 $△ A B C$ 中，点 $E$ 在 $A B$ 上，点 $D$ 在 $C B$ 的延长线上，且 $E D = E C$ ，试确定线段 $A E$ 与 $D B$ 的大小关系，并说明理由.
小敏与同桌小聪探究解答的思路如下：

(1)、特殊情况，探索结论：
当点 $E$ 为 $A B$ 的中点时，如图2，确定线段 $A E$ 与 $B D$ 的大小关系，请你直接写出结论： $A E$ $D B$ （填“>”或填“<”或填“=”）

(2)、特例启发，解答题目：
解：题目中， $A E$ 与 $D B$ 的大小关系是： $A E$ $D B$ （填“>”或填“<”或填“=”）.
理由如下：如图3，过点 $E$ 作 $E F ∥ B C$ ，交 $A C$ 于点 $F$ .（请你补充完成解答过程）

(3)、拓展结论，设计新题：
小敏解答后，提出了新的问题：在等边 $△ A B C$ 中，点 $E$ 在直线 $A B$ 上，点 $D$ 在直线 $C B$ 上，且 $E D = E C$ ，已知 $△ A B C$ 的边长为3， $A E = 1$ ，则 $C D$ 的长=（请直接写出结果，备用图供选用）.

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23. 阅读下列材料，回答问题.

(1)、形如 $x^{2} + (p + q) x + p q$ 型的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和.
把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解：
$x^{2} + (p + q) x + p q$
$= x^{2} + p x + q x + p q$
$= (x^{2} + p x) + (q x + p q)$
$= x (x + p) q (x + p)$
$= (x + p) (x + q)$ .
因此，可以得 $x^{2} + (p + q) x + p q =$ .
利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式；

(2)、利用（1）中的结论，分解因式：
① $m^{2} + 7 m - 18 =$ ；
② $x^{2} - 2 x - 8 =$ ；
③ $x^{2} y^{2} - 7 x y + 10 =$ .

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24. 已知：在平面直角坐标系中，点 $A (2 ， 0)$ ，点 $B (0 ， 2)$ .

(1)、如图1，连接 $A B$ ， $O H ⊥ A B$ 于点 $H$ ， $O H = m$ ，求出 $A B$ 的长度.（面积法）

(2)、如图2，点 $P$ 从点 $B$ 出发，沿射线 $B A$ 以每秒 $\sqrt{2}$ 个单位的速度运动，运动时间为 $t$ 秒，设 $△ A O P$ 的面积为 $S$ （平方单位），试用含 $t$ 的式子表示 $S$ .

(3)、当 $S = 1$ ，且点 $P$ 在线段 $B A$ 的延长线上时，在 $y$ 轴上是否存在一点 $Q$ ，使得 $△ B P Q$ 为等腰三角形？若存在，请直接写出 $Q$ 点坐标；若不存在，请说明理由.

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25. 已知， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ .

(1)、填表：
$∠ B A C$
$20 °$
$100 °$
$60 ° + 2 α$
$∠ A B C$
$80 °$
$30 ° - α$

(2)、如图1， $∠ B A C = 90 °$ ，点 $D$ 在线段 $A B$ 上，点 $E$ 在线段 $B A$ 的延长线上， $∠ A C E = 2 ∠ B C D = 2 α$ ，求证： $E C = E D$ ；

(3)、如图2， $∠ B A C = 90 °$ ，点 $D$ 在线段 $A B$ 上，作 $B M ⊥ A B$ ，且 $∠ M = 2 ∠ A C D = 2 β$ ，若 $B M = 3$ ， $A D = 2$ ，求 $A M$ 的长；

(4)、如图3，点 $P$ 在 $B A$ 的延长线上，连接 $C P$ ，点 $Q$ 为 $C P$ 上一点，连接 $B Q$ 交 $A C$ 于点 $R$ ， $∠ A C P = 2 ∠ P B Q = 2 γ$ ，当 $2 ∠ B R C + ∠ P = 180 °$ 时，若 $A R = 1$ ， $P Q = 2$ ，求 $A P$ 的长.

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$∠ B A C$	$20 °$	$100 °$		$60 ° + 2 α$
$∠ A B C$	$80 °$		$30 ° - α$