黑龙江省哈尔滨市呼兰区2023-2024学年九年级上学期数学第三次月考试卷

试卷更新日期：2023-12-26 类型：月考试卷

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一、选择题（每题3分，计30分，每题只有一个正确的答案）

1. 下列函数中， $y$ 是 $x$ 的反比例函数的是（）

A、 $y = \frac{x}{2}$ B、 $y = \frac{2}{x}$ C、 $y = \frac{1}{x + 2}$ D、 $y = \frac{1}{x} + 2$

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2. 已知 $△ A B C ∽ △ D E F$ ， $A B = 2$ ， $D E = 4$ ，则 $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 的周长比值是（）

A、2 B、4 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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3. 生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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4. 反比例函数 $y = \frac{m + 2}{x}$ 的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）

A、 $m > - 2$ B、 $m \geq - 2$ C、 $m < - 2$ D、 $m \leq - 2$

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5. 如图，AB为 $⊙ O$ 的直径，点C在 $⊙ O$ 上，且 $C O ⊥ A B$ 于点O ，弦CD与AB相交于点E ，若 $∠ B E C = 70 °$ ，则 $∠ A B D$ 的度数为（）

A、20° B、30° C、25° D、35°

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6. 电路上在电压保持不变的条件下，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例关系，I与R的函数图象如图，I关于R函数解析式是（）

A、I= $\frac{220}{R}$ B、I=- $\frac{220}{R}$ C、I= $\frac{20}{R}$ D、I= $\frac{11}{R}$

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7. 如图，某学生利用标杆 $E C$ 测量一棵大树 $B D$ 的高度，如果标杆 $E C$ 的高为 $2 m$ ，并测得 $B C = 2 m$ ， $C A = 1 m$ ，那么树 $D B$ 的高度是（）

A、 $4 m$ B、 $6 m$ C、 $8 m$ D、 $10 m$

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8. 2023年是中国共产党建党102周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动，据了解，某展览中心3月份的参观人数为10万人，5月份的参观人数增加到 $12.1$ 万人，设参观人数的月平均增长率为x ，则可列方程为（）

A、 $10 (1 + x)^{2} = 12.1$ B、 $10 (1 - 2 x) = 12.1$ C、 $10 (1 + 2 x) = 12.1$ D、 $12.1 (1 - x)^{2} = 10$

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9. 如图，点F时平行四边形 $A B C D$ 的边 $C D$ 上一点，直线 $B F$ 交 $A D$ 的延长线与点E ，则下列结论错误的是（）

A、 $\frac{E D}{E A} = \frac{D F}{A B}$ B、 $\frac{D E}{B C} = \frac{E F}{F B}$ C、 $\frac{B C}{D E} = \frac{B F}{B E}$ D、 $\frac{B F}{B E} = \frac{B C}{A E}$

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10. 某星期日上午10：00，小淇从家匀速步行到附近的咖啡店看书，看完书后，他匀速跑步回家，且跑步的速度是步行速度的2倍，小淇离家的距离y（千米）与所用的时间x（分钟）之间（千米）的关系如图所示，下列说法正确的是（）

A、小淇在咖啡店看书的时间是 $70$ 分钟 B、小淇家与咖啡店的距离为4千米 C、小淇的步行速度是8千米/小时 D、小淇从咖啡厅回到家用时 $15$ 分钟

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二、填空题（每小题3分，共计30分）

11. 点 $P (2 ， 5)$ 关于原点对称的点 $Q (x ， - 5)$ ，则 $x =$ ．

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12. 函数y= $\frac{\sqrt{x}}{x + 2}$ 的自变量x的取值范围是 .

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13. 反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象经过点 $(- 3 ， 4)$ ，则k的值为．

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14. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ ，垂足为点 $E$ ，连接 $O C$ ，若 $O C = 10$ ， $A E = 4$ ，则 $C D$ 等于．

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15. 二次函数 $y = - \frac{1}{2} x^{2} - 1$ 的顶点坐标是．

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16. 如图，在平面直角坐标系中，已知 $A (1 ， 0)$ ， $D (3 ， 0)$ ，且 $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 位似，原点O是位似中心，若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3}{5}$ ，则 $△ D E F$ 的面积为．

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17. 已知扇形的圆心角度数为 $72 °$ ，弧长为 $2 π$ ，则该扇形的半径为．

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18. 一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和1红球，它们除颜色外其余都相同．从中任意摸出1个球，不放回．再摸出1个球，则两次摸到的球都是白球的概率是．

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19. 矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $F$ 在矩形 $A B C D$ 边上，连接 $O F$ ．若 $∠ A D B = 38 °$ ， $∠ B O F = 30 °$ ，则 $∠ A O F =$ ．

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20. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点E ， F分别是 $A D ， B C$ 上的点， $D F ， C E$ 相交于点L ， $D F = C E$ ， G为 $A B$ 上一点，H为 $G F$ 的中点．若 $B G = 4$ ， $A G = 2$ ，连接 $H L$ ，则线段 $H L$ 的长度为．

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三、解答题：（共60分）

21. 先化简，再求值： $\frac{x - 2}{x^{2} - 1} \div \frac{x - 2}{x^{2} + 2 x + 1} - \frac{x}{x - 1}$ ，其中 $x = {(\sqrt{3})}^{- 1} + 202 3^{0}$ ．

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22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段 $A B$ 和线段 $C D$ 的端点均在小正方形的顶点上．
⑴在图中画出以 $A B$ 为边的菱形 $A B E F$ ，点E、F在小正方形的顶点上；
⑵在图中画出以 $C D$ 为边的等腰三角形 $△ C D G$ ，点G在小正方形的顶点上，且 $△ C D G$ 的周长为 $10 + \sqrt{10}$ ．连接 $E G$ ，请直接写出线段 $E G$ 的长．

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23. 如图，一次函数 $y = k x + b$ 的图象与x轴、y轴分别交于点A ， B ，与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (x > 0)$ 的图象交于点 $C (1 ， 2)$ ， $D (2 ， n)$ ．

(1)、求出反比例函数的解析式与n的值；

(2)、连接 $O D$ ，求 $△ B O D$ 的面积．

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24. 如图1，已知四边形 $A B C D$ 是菱形，点E在对角线 $B D$ 上，点F在 $B C$ 上，连接 $A E ， E F$ ， $B E = A B$ ， $D E = B F$ ．

(1)、求证： $△ A D E ≌ △ E B F$ ；

(2)、如图2，连接CE ，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中四个角（ $∠ B A E$ 除外），使写出的每个角都与 $∠ B A E$ 相等．

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25. 某书店在图书批发中心选购A ， B两种科普书，A种科普书每本进价比B种科普书每本进价多20元，若用4800元购进A种科普书的数量是用1900元购进B种科普书数量的2倍．

(1)、求A、B两种科普书每本进价各是多少元？

(2)、该书店计划购进A、B两种科普书共60本，其中A种科普书每本售价为126元，B种科普书每本售价为85元，若A、B两种科普书全部售出，使总获利超过1380元，则至少购进A种科普书多少本？

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26. 如图1， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A D ⊥ B C$ 于点D ．

(1)、连接 $A O$ ， $B O$ ，求证： $∠ A O B + 2 ∠ D A C = 180 °$ ；

(2)、如图2，若点E为弧 $A C$ 上一点，连接 $B E$ 交 $A D$ 于点F ，若 $∠ B A D = 2 ∠ C A D$ ， $∠ F B D = 90 ° - 4 ∠ C A D$ ，连接 $O F$ ，求证： $O F$ 平分 $∠ A F B$ ；

(3)、在（2）的条件下，如图3，点G为 $B C$ 上一点，连接 $E G$ ， $∠ B G E = 2 ∠ C$ ，若 $A D = \sqrt{6}$ ， $B D + E G = 3$ ，求线段 $D F$ 的长．

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27. 如图 $1$ ，在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，已知抛物线 $y = {(x - h)}^{2} + k$ 的顶点 $A$ 的坐标为 $(1 ， 0)$ 与 $y$ 轴交点 $B$ 的坐标为 $(0 ， 1)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图 $2$ ，点 $C$ 为抛物线对称轴右侧抛物线上一点，连接 $B C$ ， $A C$ ， $A B$ ，若设 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，点 $C$ 的横坐标为 $t$ ，求 $S$ 与 $t$ 的函数关系式（不要求写出自变量 $t$ 的取值范围）；

(3)、在（2）的条件下，如图 $3$ ，对称轴 $A E$ 交 $B C$ 于点 $E$ ， $C D ⊥ x$ 轴交 $B A$ 延长线于点 $D$ ，垂足为 $H$ ，连接 $D E$ 交 $x$ 轴于点 $F$ ，在 $D E$ 的延长线上取点 $G$ ，连接 $C G$ 使 $∠ G C E = ∠ A C B$ ，若 $S_{△ A C D} = 2 S_{△ B D E}$ ，求点 $G$ 的坐标．

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