山东省威海市乳山市2023-2024九年级上学期数学期中考试试卷（五四学制）

试卷更新日期：2023-12-25 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分）

1. 抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 1$ 的顶点坐标是（）

A、 $(- 3 ， \frac{7}{2})$ B、 $(3 ， - \frac{7}{2})$ C、 $(3 ， \frac{7}{2})$ D、 $(- 3 ， - \frac{7}{2})$

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2. 关于反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 的图象性质，下列说法不正确的是（）

A、图象经过点 $(1 ， 2)$ B、图象位于第一、三象限 C、当 $x > 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大 D、图象关于原点成中心对称

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3. 在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $t a n A = \frac{1}{2}$ ，则 $c o s B$ 的值是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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4. 若点 $A (2 ， 4)$ ， $B (- 2 ， a)$ 都在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图像上，则 $a =$ （）

A、 $4$ B、 $- 4$ C、 $2$ D、 $- 2$

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5. 如图，点 $A$ 是函数 $y = \frac{6}{x} (x > 0)$ 图象上的一点，过点 $A$ 分别向 $x$ 轴， $y$ 轴作垂线，垂足为点 $B$ ， $C$ ，则四边形 $A B O C$ 的面积是（）

A、3 B、6 C、12 D、24

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6. 下表是满足二次函数y＝ax²＋bx＋c的五组数据，x₁是方程ax²＋bx＋c＝0的一个解，则下列选项中正确的是（）
x
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
y
－0.80
－0.54
－0.20
0.22
0.72

A、1.6＜x₁＜1.8 B、2.0＜x₁＜2.2 C、1.8＜x₁＜2.0 D、2.2＜x₁＜2.4

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7. 如图，小明在M处用高 $1.5 m$ （即 $C M = 1.5 m$ ）的测角仪测得旗杆 $A B$ 顶端B的仰角为 $30 °$ ，将测角仪沿旗杆方向前进 $20 m$ 到N处，测得旗杆顶端B的仰角为 $60 °$ ，则旗杆 $A B$ 的高度为（）

A、 $11.5 m$ B、 $20 m$ C、 $10 \sqrt{3} m$ D、 $(10 \sqrt{3} + 1.5) m$

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8. 反比例函数 $y_{1} = \frac{k_{1}}{x}$ ， $y_{2} = \frac{k_{2}}{x}$ ， $y_{3} = \frac{k_{3}}{x}$ 在同一坐标系中的图象如图所示，则 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $k_{3} > k_{1} > k_{2}$ B、 $k_{1} > k_{3} > k_{2}$ C、 $k_{3} > k_{2} > k_{1}$ D、 $k_{2} > k_{1} > k_{3}$

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9. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的对称轴是直线 $x = \frac{1}{2}$ ，且经过点 $A (3 ， 0)$ ，则 $4 a - 2 b + c$ 的值为（）

A、0 B、 $- 1$ C、 $- 2$ D、 $- 3$

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10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（4，0），∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M，N（点M在点N的上方），若△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t 秒（0≤t≤4），则能大致反映S与t的函数关系的图象是（　　）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只要求填出最后结果）

11. 若函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象过点 $(\frac{1}{2} ， \frac{4}{3})$ ，则此函数图象位于第象限．

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12. 如图，点A ， B ， C在正方形网格的格点上，则 $s i n ∠ B A C =$

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13. 如图，抛物线 $y = x^{2} + 2 x$ 与直线 $y = 3$ 交于A ， B两点，与x轴负半轴交于点C ，则四边形 $A C O B$ 的面积是．

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14. 如图，在等腰 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A C = 6 ， D$ 是 $B C$ 上一点，若 $t a n ∠ B A D = \frac{1}{5}$ ，则 $B D$ 的长为．

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15. 如图，点A在第一象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴的正半轴交于点B ，对称轴为直线 $x = 1$ ，点C在抛物线上，且位于点A ， O之间（点C与A ， O不重合），若 $△ A O C$ 的周长为m ，则四边形 $A C O B$ 的周长为．

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16. 如图，点A ， B是第一象限内双曲线 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0 ， x > 0)$ 上的点（点B在点A的左侧），若B点的纵坐标为1， $△ O A B$ 为等边三角形，则k的值是．

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三、解答题（本大题共8小题，共72分，写出必要的运算、推理过程）

17. 计算： $\frac{\sqrt{3}}{2} t a n 60 ° - \frac{c o s 30 ° - s i n 45 °}{s i n 60 ° - c o s 45 °}$ ．

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18. 如图，函数 $y_{1} = \frac{k}{x}$ 与 $y_{2} = x + b$ 的图象交于点A ， $B (- 1 ， 3)$ ，连接 $O A ， O B$ ．

(1)、直接写出k和b的值： $k =$ ， $b =$ ；

(2)、若 $y_{1} > y_{2}$ ，求x的取值范围；

(3)、在函数 $y_{1}$ 的图象上存在点P ，使得直线 $O P$ 能将 $△ O A B$ 的面积二等分，直接写出点P的坐标：．

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19. 商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式扶梯改造成斜坡式扶梯．如图，已知原阶梯式扶梯 $A B$ 长为 $10 m$ ，坡角 $∠ A B D = 45 °$ ，改造后的斜坡式扶梯的坡角 $∠ A C B = 15 °$ ，求改造后的斜坡式扶梯水平距离增加的长度 $B C$ ．（结果精确到 $1 m$ ，参考数据： $s i n 1 5^{°} \approx 0.26$ ， $c o s 1 5^{°} \approx 0.97$ ， $t a n 1 5^{°} \approx 0.27$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ）

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20. 某班同学参加社会行业体验及公益活动，准备以每斤6元的价格购进一批水果进行销售，并将所得利润捐给孤寡老人．所购水果每天的销售量y（斤）与销售单价x（元/斤）间的关系如下表：
x
10
11
12
13
14
…
y
200
180
160
140
120
…

(1)、求每天销售利润W（元）与销售单价x（元/斤）间的函数表达式；

(2)、若水果的进货成本每天不超过960元，每天还要获得最大利润，求水果的销售单价及最大利润．

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21. 已知关于x的二次函数 $y = x^{2} - (m - 2) x - 3$ ．

(1)、若该函数图象与x轴交于点A ， B（点A在点B左侧），与y轴交于点C ，且经过点 $D (2 ， 3)$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若将这个二次函数的图象沿x轴平移，使其顶点恰好落在y轴上，请直接写出平移后的函数表达式．

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22. 为进行技术转型，某企业从今年 $1$ 月开始对车间的生产线进行为期 $5$ 个月的技术升级改造．改造期间的月利润与时间成反比例函数，到今年 $5$ 月底开始恢复全面生产后，企业的月利润都会比前一个月增加 $10$ 万元．设今年 $1$ 月为第 $1$ 个月，第 $x$ 个月的利润为 $y$ 万元，利润与时间的图像如图所示．

(1)、分别求出生产线升级改造前后， $y$ 与 $x$ 的函数表达式．

(2)、已知月利润少于 $50$ 万元时，为企业的资金紧张期，求资金紧张期共有几个月．

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23. 如图，直线 $y = 3 x - 3$ 与x ， y轴分别交于点A ， B ，过A ， B两点的抛物线 $y = a (x + 1)^{2} + k$ 与x轴交于另一点C ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点M是直线 $B C$ 上一动点，过点M作y轴的平行线与抛物线交于点D ，若以M ， D ， O ， B为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标．

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24. 如图1，一次函数 $y = k x - 2 (k \neq 0)$ 的图像与y轴交于点A ，与反比例函数 $y = - \frac{3}{x} (x < 0)$ 的图像交于点 $B (- 3 ， b)$ ，连接 $O B$ ．

(1)、 $b =$ ， $k =$ ．

(2)、若点P在第三象限内，是否存在点P使得 $△ O B P$ 是以 $O B$ 为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)、如图2，C是线段 $A B$ 上一点（不与点A ， B重合），过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图象于点D ，连接 $O C$ ， $O D$ ， $B D$ ．若四边形 $O C B D$ 的面积为3，求点C的坐标．

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x	1.6	1.8	2.0	2.2	2.4
y	－0.80	－0.54	－0.20	0.22	0.72

x	10	11	12	13	14	…
y	200	180	160	140	120	…