山西省太原市2023-2024学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-12-25 类型：期中考试

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一、选择题(本大题共10个小题)在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将其字母序号填人下表相应位置.

1. 一元二次方程 $x^{2} = x$ 的根是（）

A、 $x_{1} = x_{2} = 1$ B、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = - 1$ C、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = 1$ D、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = - 1$

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2. 如图是2023年8月19日由中国人民银行发行的三江源国家公园纪念币银币的正反面．若视其质地均匀，小文连续掷一枚这种纪念币两次，则两次落地后都是反面朝上的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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3. 一元二次方程 $x^{2} - x + 2 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、只有一个实数根 D、没有实数根

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4. 已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，对角线AC，BD相交于点O.下列结论一定成立的是（）

A、AC⊥BD B、AC=BD C、AB=BC D、AB=AC

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5. 行道树是指种在道路两旁及分车带，给车辆和行人遮荫并构成街景的树种.国槐是我市常见的行道树品种。如图是一批国槐树苗移植成活频率的统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（）

A、0.95 B、0.90 C、0.85 D、0.80

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6. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AC=6，则矩形的边AB的长为（）

A、3 B、6 C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{5}$

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7. 在估算一元二次方程x+2x-4=0的根时，小晗列表如下：
$x$
1
1.1
1.2
1.3
1.4
$x^{2} + 2 x - 4$
-1
-0.59
-0.16
0.29
0.76
由此可估算方程 $x^{2} + 2 x - 4 = 0$ 的一个根 $x$ 的范围是（）

A、 $1 < x < 1.1$ B、 $1.1 < x < 1.2$ C、 $1.2 < x < 1.3$ D、 $1.3 < x < 1.4$

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8. 如图，已知菱形OABC的边长为3，若顶点B的坐标为(0，4)，则第一象限内的顶点C的坐标为（）

A、( $\sqrt{5}$ ， 2) B、( $\sqrt{5}$ ， 4) C、( $\sqrt{13}$ ， 2) D、( $\frac{5}{2}$ ， 2)

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9. 杭州第十九届亚洲运动会期间，小宇设计了一幅亚运会宣传画，其形状为矩形，长20cm，宽15cm.现要在其外围配置等宽的边框.使宣传画面积占加框后作品总面积的 $\frac{3}{4}$ ，若设边框的寬为xcm，则x满足的方程为（）

A、 $\frac{3}{4} (20 + x) (15 + x) = 20 \times 15$ B、 $\frac{1}{4} (20 + 2 x) (15 + 2 x) = 20 \times 15$ C、 $\frac{3}{4} (20 - 2 x) (15 - 2 x) = 20 \times 15$ D、 $\frac{3}{4} (20 + 2 x) (15 + 2 x) = 20 \times 15$

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10. 如图，点E是正方形ABCD内部的一点，△CDE为等边三角形，连接AE并延长交BD于点F，∠AFD的度数为（）

A、55° B、60° C、70° D、75°

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二、填空题(本大题共5个小题)把答案直接写在题中的横线上.

11. 将 $x (x + 4) = 3 x - 1$ 化成一元二次方程的一般形式的结果为 $x^{2}$ +=0.

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12. 小明要用如图的两个转盘做“配紫色”游戏，每个转盘均被等分成若干个扇形，他同时转动两个转盘，停止时指针所指的颜色恰好配成紫色(一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色即为配成紫色)的概率为.

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13. 我们知道，在图形从一般向特殊变化的过程中，它的组成元素及相关元素之间的关系也越来越特殊.下面是小颖从“对角线”的角度对平行四边形矩形、菱形、正方形之间关系的梳理，图中“▲”处应填写的内容是.

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14. 鸟尊是山西博物院的镇馆之宝，以鸟尊为素材的文创书签热卖.某商店六月份销售鸟尊书签300枚，八月份销售鸟尊书签432枚。该商店六月至八月鸟尊书签销售量平均每月的增占率为.

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15. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，AE是对角线AC上的一点，且BE=AB.延长BE交CD于点F.
请从下面A，B两题中任选一题作答.我选择题.
$A$ .图中CF的长为.
$B$ .图中AE的长为.

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三、解答题(本大题共8个小题)解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程.

16. 用适当的方法解下列一元二次方程：

(1)、 $x^{2} + 4 x - 2 = 0$ ；

(2)、 $x (x + 3) = 5 x + 15$ .

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17. 杭州亚运会时，小明购买了吉祥物主题邮票“宸宸”、“琼琮”、“莲莲”各一枚，他要将三枚邮票中的两枚送给好朋友小亮.小明将三枚邮票背面朝上放在桌面上(邮票背面完全相同)，洗匀后从中一次性随机抽取两枚送给小亮.请用列表或画树状图的方法求小明抽到的两枚邮票恰好是“宸宸”、“琮琮”的概率.(邮票“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”分别用字母A，B，C表示)

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18. 如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，连接BD.

(1)、尺规作图：分别以点B，C为圆心，BD，CD长为半径画弧，两弧在BC下方交于点E，连接BE，CE；(不写作法，保留作图痕迹)

(2)、求证：四边形DBEC是菱形.

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19. 如图是2024年1月的日历，1月1日下方标有“元旦”二字。“元旦"意为“初始之日”。中国历史上的“元旦”指的是农历“正月初一”，1949年中华人民共和国以公历1月1日为元旦.在如图的日历中，用“日”形框框住任意6个数，若其中最小数与最大数的乘积为100，求这个最小数.

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20. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是BC的中点，在OE的延长线上取点F，使EF=OE，连接BF，CF.判断四边形OBFC的形状并说明理由.

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21. 2023年10月11日，第七届平遥国际电影展在山西省晋中市平遥古城拉开帷幕，特产“平遥牛肉”深受外国友人喜爱.某超市购进一批“平遥牛肉”，进价为每盒100元.调查发现，当销售单价为每盒170元时，平均每天能售出80盒，而当销售单价每降价10元，平均每天能多售出20盒.

(1)、设每盒降价x元，实际售价为元/盒，平均每天售出盒(用含x的代数式表示)；

(2)、若超市每天销售这种“平遥牛肉”的利润要达到6000元，则每盒应降价多少元?

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22. 阅读下列材料，完成相应的任务：

课堂上，老师让同学们复习一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的多种解法，在讨论这些解法之间的关系时，小组同学发言如下：

小彬：分解因式法可以解特殊结构的一元二次方程，基本思路是通过分解因式将方程变形为 $(m x + n) (p x + q) = 0$ 的形式(其中m，p均不为零)，这样就可以将原方程化为两个一元一次方程 $m x + n = 0$ 或

$p x + q = 0$ ，依据是____，进而得到原方程的根为 $x_{1} = \frac{n}{m}$ ， $x_{2} = - \frac{q}{p}$ .

小文：既然能用分解因式法求解关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，那么，能否运用一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，将多项式 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 分解因式呢?

小颖：可以!例如 $a = 1$ 时，如果方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 的两个根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，逆推回去可得两个一元一次方程是 $x - x_{1} = 0$ 或 $x - x_{2} = 0$ ，则原方程即可表示为 $(x - x_{1}) (x - x_{2}) = 0$ ，这样就可得到多项式 $x^{2} + b x + c$ 分解因式的结果为 $(x - x_{1}) (x - x_{2})$ !

例如：已知方程 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ 的两根为 $x_{1} = 3$ ， $x_{2} = - 1$ ，则 $x^{2} - 2 x - 3$ 分解因式为 $(x - 3) (x + 1)$ ；

已知方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两根为 $x_{1} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ ， $x_{2} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ .则 $x^{2} - x - 1 = 0$ 分解因式为 $(x_{1} - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}) (x_{2} - \frac{1 - \sqrt{5}}{2})$ .

任务：

(1)、上述材料中“▲”处的依据为(填写字母序号即可)；

$A$ ：若 $a = 0$ 或 $b = 0$ ，则 $a b = 0$ .

$B$ ：若 $a b = 0$ ，则 $a = 0$ 或 $b = 0$ .

(2)、已知方程

x^{2} - 5 x + 6 = 0

的两个根为

x_{1} = 2

，

x_{2} = 3

，则多项式

x^{2} - 5 x + 6

分解因式的结果为；

(3)、请从下面

A

，

B

两题中任选一题作答.我选择 ▲ 题.

$A$ ：根据材料中的思路，直接写出多项式 $x^{2} - 6 x + 2$ 分解因式的结果.

$B$ ：根据材料中的思路，直接写出多项式 $2 x^{2} - 6 x + 2$ 分解因式的结果.

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23. 综合与实践
问题情境：数学课上，同学们以特殊四边形为基本图形，添加一些几何元素后探究图形中存在的结论.已知在□ABCD中，AB<BC，∠ABC的平分线交AD边于点E，交CD边的延长线于点F，以DE，DF为邻边作□DEGF.

(1)、特例探究：如图1，“创思”小组的同学研究了四边形ABCD为矩形时的情形，发现四边形DEGF是正方形，请你证明这一结论；

(2)、“敏学”小组的同学在图1基础上连接BG，AC，得到图2，发现图2中线段BG与AC之间存在特定的数量关系，请你帮他们写出结论并说明理由；

(3)、拓展延伸：“善问"小组的同学计划对□ABCD展开类似研究.如图3，在□ABCD中，∠ABC=60.
请从下面 $A$ ， $B$ 两题中任选一题作答.我选择 ▲ 题.
$A$ ：当AB=4，BC=6时，请补全图形，并直接写出A，G两点之间的距离.
$B$ ：当BC=6时，请补全图形，并直接写出以A，C，G为顶点的三角形面积的最小值.

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$x$	1	1.1	1.2	1.3	1.4
$x^{2} + 2 x - 4$	-1	-0.59	-0.16	0.29	0.76