山西省太原市小店区2023-2024学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-12-25 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并将答题卡相应位置涂黑.

1. 一元二次方程 $x^{2} - 4 = 0$ 的解为（）

A、 $x = 2$ B、 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = - 2$ C、 $x = - 2$ D、 $x_{1} = 4$ ， $x_{2} = - 2$

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2. 若 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{3}{4} (b + d \neq 0)$ ，则 $\frac{a + c}{b + d}$ 的值为（）

A、1 B、 $\frac{9}{16}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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3. 如图，菱形ABCD的对角线 $A C = 4$ ， $B D = 6$ ，则菱形的边长为（）

A、5 B、 $\sqrt{13}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ D、13

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4. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（）

A、 $4 x^{2} + 5 x + 2 = 0$ B、 $3 {(x - 1)}^{2} = 1$ C、 $2 x^{2} - 7 x = 0$ D、 $3 x^{2} + 6 x + 3 = 0$

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5. 如图，直线m分别交直线a ， b ， c于点A ， B ， C ，直线n分别交直线a ， b ， c于点D ， E ， F.若 $\frac{A B}{B C} = \frac{3}{2}$ ， $D E = 3.6$ ，则DF的长为（）

A、2.4 B、3.6 C、6 D、7.2

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6. 某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（）

A、先后两次掷一枚之地均匀的硬币，一次正面朝上一次反面朝上 B、先后两次掷一枚之地均匀的硬币，两次都出现反面朝上 C、掷一枚之地均匀的正六面体骰子，向上面的点数是偶数 D、掷一枚之地均匀的正六面体骰子，向上面的点数是2或4

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7. 某校主教学楼示意图如下，教学楼围出一块长30m，宽20m的矩形区域，中间是绿化区域，三面有等宽的道路，矩形区域内三面道路的面积正好与绿化区域的面积相等.设道路的宽度为 $x m$ ，则可列方程为（）

A、 $(30 - x) (20 - x) = \frac{1}{2} \times 30 \times 20$ B、 $30 x + 2 \times 20 x = \frac{1}{2} \times 30 \times 20$ C、 $(30 - 2 x) (20 - x) = \frac{1}{2} \times 30 \times 20$ D、 $(30 - x) (20 - 2 x) = \frac{1}{2} \times 30 \times 20$

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8. 如图，四边形ABCD是正方形，在正方形内部作等边三角形EDC ，则 $∠ A E C$ 的度数为（）

A、 $120 °$ B、 $125 °$ C、 $130 °$ D、 $135 °$

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9. 某校矩形以《大国重器》为主题的演讲比赛，其中一个环节是即兴演讲，该环节共有三个题目，由电脑随机给每位参赛选手派发一个题目，选手根据题目对应的内容进行90秒演讲.小亮和小敏都参加了即兴演讲，则电脑给他们派发的是同一个题目的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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10. 如图，在矩形ABCD中， $A B = 6$ ， $A D = 10$ ，点E是边CD上一点，连接AE ，矩形ABCD沿AE折叠，点D的对应点恰好落在BC上的点F处.则AE的长为（）

A、 $\frac{10}{3}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、2 D、 $\frac{10 \sqrt{10}}{3}$

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二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）请将结果写在答题卡对应的横线上.

11. 五边形 $A B C D E ∽$ 五边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} E^{'}$ ，相似比为 $1 ： 3$ ，若 $A B = 2$ ，则 $A^{'} B^{'} =$ .

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12. 玉米是山西省主要农作物之一.某种业公司在选育玉米种子时，在同一条件下对某个品种的玉米种子进行了发芽试验，统计数据如下表：
试验种子粒数
100
200
500
1000
2000
5000
发芽种子粒数
92
188
476
951
1900
4752
据此估计该品种的玉米种子发芽的概率为.（结果精确到0.01）

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13. 电流通过导线时会产生热量Q（单位：J）与通过导体的电流I（单位：A）有如下关系： $Q = I^{2} R t$ ，其中R表示通电电阻（单位： $Ω$ ）、t表示通电时间（单位：s）.已知一台带有USB借口的小电风扇线圈电阻为 $1 Ω$ ，正常工作1分钟后线圈产生的热量为15J，则通过导体的电流为A.

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14. 2023杭州亚运会期间，吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”受到人们的广泛喜爱.某网店购进了一批吉祥物，由于销售火爆，销售单价经过两次调整，从每套160元上涨到每套230.4元.若销售价格每次上涨的百分率相同，则这个增长率为.

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15. 如图，在正方形ABCD中， $A B = 3$ ，点E是BC边上一点，且 $C E = 2 B E$ ，连接AE ，点F是AB边上一点，过点F作 $F G ⊥ A E$ 交CD于点G ，连接EF ， EG ， AG ，则四边形AFEG的面积为.

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三、解答题（本大题含8个小题，共75分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

16. 解一元二次方程：

(1)、 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$

(2)、 $2 x^{2} - 5 x + 3 = 0$

(3)、 $x (x - 3) = 2 x - 6$

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D是AB边上的一点， $A D = 2 B D$ .

(1)、尺规作图：作直线 $D E ∥ B C$ 交AC于点E；（不写作法，保留作图痕迹）

(2)、在（1）的条件下，若 $A C = 6$ ，求AE的长.

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18. 2023中国人工智能大会于10月14日至15日在太原举办.哥哥和弟弟都想去，但他们只有一张主题展览门票，两人商量才去转转盘（如图，转盘盘面被分为面积相等且标有数字1，2，3，4的4个扇形区域）的游戏方式决定谁去参观.规则如下：两人各转动转盘一次，若两次转出的数字之和为奇数，则哥哥去；若两次数字之和为偶数，则弟弟去，该游戏是否公平？请用列表或画树状图的方法说明理由.

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19. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC ， BD相交于点O ，延长BC至点E使得 $C E = B C$ ，延长DC至点F使得 $C F = D C$ ，依次连接BF ， FE ， ED.

(1)、判断四边形BFED的形状并说明理由；

(2)、若 $A C = 4$ ， $B D = 8$ ，求四边形BFED的面积.

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20. 山西隰县玉露香梨多汁、酥脆、含糖高，享誉全国.某水果店销售玉露香梨，进价为2元/斤，按4.5元/斤出售，每天可卖出200斤.经市场调查发现，这种玉露香梨每斤的售价每降低0.1元，每天可多卖出20斤.若该水果店想要每天销售玉露香梨盈利600元，且尽可能让利于顾客，售价应定为多少？

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21. 阅读下列材料，并完成相应的任务.

一元二次方程的几何解法

通过学习，我们知道可以用配方法、提公因式法、公式法等求解一元二次方程，但在数学史上人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月.下面是9世纪阿拉伯数学家阿尔·花拉子米利用几何法求解 $x^{2} + 10 x = 39$ 的过程.

解：如图，构造一个以未知数x为边长的正方形，在某四条边上向外作长和宽分别x和 $\frac{5}{2}$ 的矩形，再把这个图补成边长为 $x + 5$ 的正方形.

于是大正方形的面积为： $x^{2} + 4 \times \frac{5}{2} x + 4 \times {(\frac{5}{2})}^{2} = x^{2} + 10 x + 25$ ，

又已知 $x^{2} + 10 x = 39$ ，所以大正方形的面积为 $39 + 25 = 64$ ，

于是大正方形的边长为8，因此： $x = 8 - \frac{5}{2} - \frac{5}{2} = 3$ .

几何法求解一元二次方程，只能得到正数解.

任务：根据上述材料请你用几何方法求方程 $x^{2} + 4 x = 32$ 的正数解.要求如下：

(1)、在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度.

(2)、根据（1）所画图形直接写出方程

x^{2} + 4 x = 32

的正数解.

(3)、这种构造图形解一元二次方程的方法体现的数学思想是▲ .（填写字母序号即可）

$A$ . 分类讨论思想 $B$ . 数形结合思想 $C$ . 公理化思想

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22. 综合实践——用矩形纸板制作长方体盒子
如图1，有一块矩形纸板，长为30cm，宽为16cm，要将其余四角各剪去一个同样大小的正方形，折成图2所示的底面积为 $240 c m^{2}$ 的无盖长方体盒子.（纸板厚度忽略不计）

(1)、求将要剪去的正方形的边长；

(2)、如图3，小明先在原矩形纸板的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子.
①请你在图3的矩形纸板中画出示意图（用阴影表示将要剪去的矩形并用虚线表示折痕）；
②若折成的有盖长方体盒子的表面积为 $412 c m^{2}$ ，请计算剪去的正方形的边长.

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23. 综合与探究
问题情境：数学课上，老师引导同学们以“正方形中线段的旋转”为主题开展数学活动.已知正方形ABCD中， $A B = 2$ ，点E是射线CD上一点（不与点C重合），连接BE ，将BE绕点E顺时针旋转 $90 °$ 得到FE ，连接DF.

(1)、特例分析：如图1，当点E与点D重合时，求 $∠ A D F$ 的度数；

(2)、深入谈及：当点E不与点D重合时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请在图2与图3中选择一种情况进行证明；若不成立，请说明理由；

(3)、问题解决：如图4，当点E在线段CD上，且 $D F = D A$ 时，请直接写出线段BF的长.

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试验种子粒数	100	200	500	1000	2000	5000
发芽种子粒数	92	188	476	951	1900	4752