山西省大同市2023-2024学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-12-25 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1. 山西省第十六届运动会于2023年8月8日在大同体育中心开幕，下列用篆书描绘的体育图标中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - b x + 4 = 0$ 的一个根是 $x = 1$ ，另一个根是（）

A、 $x = 4$ B、 $x = 3$ C、 $x = 2$ D、 $x = 1$

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3. 关于二次函数 $y = 2 x^{2} - 8$ ，下列叙述正确的是（）

A、函数的图象开口向下 B、对称轴是 $y$ 轴 C、当 $x = 0$ 时， $y$ 有最大值 $- 8$ D、当 $x < 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大

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4. 用配方法解一元二次方程 $x^{2} + 2 x - 15 = 0$ ，下列变形正确的是（）

A、 ${(x + 1)}^{2} = 16$ B、 ${(x - 1)}^{2} = - 14$ C、 ${(x + 1)}^{2} = - 14$ D、 ${(x + 1)}^{2} = 16$

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5. 如图，将 $△ O A B$ 绕着点 $O$ 逆时针旋转至 $△ O A^{'} B^{'}$ ，使点 $B$ 恰好落在线段 $A^{'} B^{'}$ 上，若 $∠ A O A^{'} = 32 °$ ，则 $∠ B^{'}$ 的度数为（）

A、 $58 °$ B、 $64 °$ C、 $74 °$ D、 $78 °$

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6. 将地物线 $y = - 2 x^{2} - 3$ 向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线为（）

A、 $y = - 2 {(x + 1)}^{2} - 5$ B、 $y = - 2 {(x - 1)}^{2} - 5$ C、 $y = - 2 {(x + 1)}^{2} - 1$ D、 $y = - 2 {(x - 1)}^{2} - 1$

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7. “绿色电力，与你同行”，根据中国汽车工业协会发布的数据显示，我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计2022年新能源汽车年销售量为 $700$ 万辆，预计2024年新能源汽车年销售量将达到 $1372$ 万辆．则这两年新能源汽车销售量年平均增长率为（）

A、 $55 %$ B、 $50 %$ C、 $45 %$ D、 $40 %$

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8. 若 $A (- 4 ， y_{1})$ ， $B (- 2 ， y_{2})$ ， $C (1 ， y_{3})$ 为二次函数 $y = x^{2} + 4 x - 3$ 的图象上的三点，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ C、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ D、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$

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9. 如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，点C是 $\overset{⌢}{D B}$ 的中点，如果∠DAB＝70°，则∠ABC的度数等于（　　）

A、55° B、60° C、65° D、70°

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10. 下图是一次函数 $y = a b x + c$ 的图象，则二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 在平面直角坐标系中的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11. 若点 $A (m ， 5)$ 与点 $B (- 2 ， n)$ 关于原点对称，则 $2 m + n$ 的值为．

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12. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} + 2 x + k = 0$ 有两个相等的实数根，则k的值是．

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13. 如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为．

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14. 已知二次函数 $y = x^{2} - 4 x + 1 (1 \leq x \leq 4)$ 的图象如图所示．则 $y$ 的取值范围是．

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15. 如图，将 $△ A C P$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $9 0^{∘}$ 得到 $△ B C M$ ，点A ， $P$ ， $Q$ ， $B$ 在同一直线上，连接 $Q M$ ，若 $∠ P C Q = 45 °$ ， $A P = 4$ ， $Q B = 3$ ，则 $P Q =$ ．

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三、解答题（本大题共8个小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16. 解方程：

(1)、 $2 x^{2} - 7 x + 3 = 0$

(2)、 ${(x + 3)}^{2} = 2 x + 6$

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17. 如图，在斗面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形；
⑴ $△ A B C$ 与 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 关于原点 $O$ 对称，画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，写出 $B_{1}$ 的坐标；
⑵以 $O$ 为旋转中心将 $△ A B C$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，画出 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；
⑶)直接写出点 $B$ 旋转到 $B_{2}$ 所经过的路径的长度．

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18. 如图，矩形 $A B C D$ 为大同古城管理部门计划在古城东南邑围建的一个小型表演场地，其中两边靠墙（墙足够长），另外两边用长为 $30 m$ 的隔离带（虚线部分）围成，求所围成矩形 $A B C D$ 的最大面积．

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19. 如图，在 $⊙ O$ 中，弦 $B D$ 交半径 $O E$ 于点 $C$ ，连接 $O D$ ，过点 $B$ 作 $⊙ O$ 的切线，交 $O E$ 的延长线于点 $A$ ．若 $A B = A C$ ，试判断 $O D$ 与 $O E$ 的位置关系，并说明理由．

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20. 东方甄选是浙东方推出的直播新平台，今年5月，随看“东方甄选山西行”系列直播活动的完美收官，各类“山西好物”的总销售额也突破亿元大关．我市某公司在直播中推出的一款“忘忧”产品礼盒，每盒的成本为100元，若按每盒150元销售，则同时段每小时可售出40盒．为了让利全国网友，公司决定降价销售，经核算，发现销售价每降低1元，同时段每小时的销量就增加2盒．设该礼盒售价为每盒 $x$ 元 $(x \geq 100)$ ，同时段每小时的销售量为 $y$ 盒，每小时的销售利润为 $w$ 元．

(1)、写出 $y$ 与 $x$ 及 $w$ 与 $x$ 的函数表达式．

(2)、直播间在让利顾客的前提下，要使一小时的销售利润达到2400元，销售价应定为每盒多少元？

(3)、当销售价定为多少元时每小时的利润最大？并求出最大利润．

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21. 阅读以下材料，并完成相应的任务：

定义：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．

下面是该定理的部分证明过程：

已知：如图， $A B$ 与 $⊙ O$ 相切于点A ，点 $C$ ， $D$ 在 $⊙ O$ 上，连接 $A C$ ， $C D$ ， $A D$ ．

求证： $∠ C A B = ∠ D$ ．

证明：连接 $A O$ 并延长，交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，连接 $C E$ ．

$∵ A B$ 与 $⊙ O$ 相切于点A

$∴ ∠ E A B = 9 0^{∘}$ （依据1）

$∴ ∠ E A C + ∠ C A B = 90 °$

$∵ A E$ 是 $⊙ O$ 的直径

$∴ ∠ E C A = 90 °$ （依据2）

$∴ ∠ E + ∠ E A C = 90 °$

任务：

(1)、上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？

依据1：

依据2：

(2)、请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分．

(3)、已知图中

⊙ O

的半径2，弦切角

∠ C A B = 30 °

，直接写出

A C

的长．

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22. 综合与实践
问题情境：如图1，正方形 $A B C D$ 和正方形 $A B_{1} C_{1} D_{1}$ 有公共顶点 $A$ ， $A B = 2 \sqrt{2} + 2$ ， $A B_{1} = 2$ ，现将正方形 $A B_{1} C_{1} D_{1}$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转，旋转角为 $α (0 ° < α < 360 °)$ ，连接 $D D_{1}$ ， $B B_{1}$ ．

图1图2图3

(1)、猜想证明：猜想图2中 $D D_{1}$ 与 $B B_{1}$ 的数量关系并证明；

(2)、探究发现：如图3，当 $α = 90 °$ 时，连接 $B D$ ，延长 $D D_{1}$ 交 $B B_{1}$ 于点 $E$ ，求证： $D E$ 垂直平分 $B B_{1}$ ；

(3)、拓展延伸：在旋转过程中，当 $△ B B_{1} D$ 的面积最大时，直接写出此时旋转角 $α$ 的度数和 $△ B B_{1} D$ 的面积．

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23. 综合与探究
如图，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 交 $x$ 轴于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (6 ， 0)$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ，连接 $B C$ ， $A C$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点 $P$ 是第四象限内抛物线上的一个动点，连接 $P B$ ， $P C$ ，求 $△ P B C$ 面积的最大值，并求出此时点 $P$ 的坐标；

(3)、点 $Q$ 为抛物线对称轴上一点，是否存在点 $Q$ ，使 $△ B C Q$ 为直角三角形？若存在，请直接写出 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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