山西省长治市潞州区2023-2024学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-12-25 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）

1. 若二次根式 $\sqrt{x - 3}$ 有意义，则x的取值范围是（）

A、x≥3 B、x≤3 C、x>3 D、x<3

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2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{0.5}$ B、 $\sqrt{\frac{3}{2}}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{8}$

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3. 如图， $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 关于点 $O$ 位似，且相似比为 $3 ： 4$ ，则 $A B$ 与 $D E$ 的比为（）

A、 $3 ： 4$ B、 $2 ： 7$ C、 $9 ： 16$ D、 $4 ： 3$

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4. 若 $\frac{a}{a + b} = \frac{3}{4}$ ，则 $\frac{a}{b}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、3 C、4 D、 $\frac{1}{4}$

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5. 如图， $A B ∥ C D ∥ E F$ ，直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 与这三条平行线分别交于点A ， C ， F和点B ， D ， E ．若 $\frac{B D}{D E} = \frac{2}{3}$ ，则 $\frac{A C}{A F}$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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6. 一元二次方程 $2 x^{2} - 3 x + 2 = 0$ 的根的情况为（）

A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根 C、没有实数根 D、有一个实数根

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7. 如图， $B D$ 是 $△ A B C$ 的中线，E、F分别是 $B D$ ， $B C$ 的中点，连结 $E F$ ．若 $A D = 6$ ，则 $E F$ 的长为（）

A、4 B、3 C、6 D、5

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8. 将关于x的一元二次方程 $x^{2} - p x + q = 0$ 变形为 $x^{2} = p x - q$ ，就可以将 $x^{2}$ 表示为关于x的一次多项式，也可以将 $x^{3}$ 表示为 $x \cdot x^{2} = x (p x - q) =$ …，从而达到“降次”的目的，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．若 $x^{2} + x - 1 = 0$ ，则 $x^{3} + 2 x^{2} + 2023$ 的值为（）

A、2025 B、2024 C、2023 D、2022

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9. 在设计人体雕像时，如果使雕像上部（腰部以上）与雕像下部（腰部以下）的高度比等于雕像下部与雕像全部的高度比，那么就可以增加视觉美感．若按此比例设计一座如图所示的高度为 $3 m$ 的雷锋雕像，则该雕像上部的高度（结果精确到 $0.01 m$ ；参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ， $\sqrt{5} \approx 2.236$ ）约为（）

A、 $1.13 m$ B、 $1.14 m$ C、 $1.15 m$ D、 $1.16 m$

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10. 如图，一张底边长为 $20 c m$ 、底边上的高为 $30 c m$ 的等腰三角形纸片，沿底边依次从下往上裁剪宽度均为 $4 c m$ 的矩形纸条．若剪得的纸条是一张正方形，则这张正方形纸条是（）

A、第4张 B、第5张 C、第6张 D、第7张

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二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应的位置）

11. 计算 $\sqrt{2} \times \sqrt{3}$ =.

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12. 全世界大约有14000余种蝴蝶，大部分分布在美洲，尤其在亚马孙河流域品种最多，在世界其他地区除了南北极寒冷地带以外都有分布．如图是一只蝴蝶标本，将其放在适当的平面直角坐标系中，若翅膀两端B，C两点的坐标分别为 $(- 1 ， 3)$ ， $(3 ， 0)$ ，则蝴蝶“尾部”点A的坐标为．

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13. 如图，某景区计划在一块长 $60 m$ 、宽 $30 m$ 的矩形空地上修建一个停车场，在停车场中修建四块大小相同的矩形停车区域，使停车区域的面积之和为 $880 m^{2}$ ．若四块停车区域之间以及周边留有宽度相同的行车通道，则行车通道的宽度为多少？设行车通道的宽度为 $x m$ ，根据题意可列方程为．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是边 $B C$ 上一点，连结 $A D$ ．若 $A B = 9$ ， $A D = 3$ ， $∠ D A C = ∠ B$ ， $△ A B C$ 的面积为 $15$ ，则 $△ A B D$ 的面积为．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中，D是 $A C$ 的中点，过点C作 $C E ⊥ B C$ 交BD的延长线于点E ，连结 $A E$ ．若 $A B = A C = 5$ ， $B C = 6$ ，则 $A E$ 的长为．

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三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16. 计算：

(1)、 $| - \sqrt{12} | - 4 \sqrt{\frac{1}{27}} + 3 \sqrt{48}$ ；

(2)、 ${(\sqrt{3} - 1)}^{2} - (2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})$

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17. 解下列方程：

(1)、 $x^{2} - 2 x - 24 = 0$ ；（用配方法求解）

(2)、 $3 x^{2} + 2 x - 3 = 0 .$

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18. 在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别是 $A (- 1 ， 3)$ ， $B (- 4 ， 1)$ ， $C (- 1 ， 1)$ ．
⑴画出 $△ A B C$ 于y轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并直接写出点 $B_{1}$ 的坐标．
⑵画出 $△ A B C$ 以点 $O$ 为位似中心，相似比为 $1 ： 2$ 的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，并直接写出点 $C_{2}$ 的坐标．

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19. 阅读材料，并回答下列问题

观察方程及其根的特征：

①方程 $39 x^{2} + 2 x - \frac{1}{13} = 0$ 的根是 $x_{1} = - \frac{1}{13}$ ， $x_{2} = \frac{1}{39}$ ；

方程 $y^{2} + 2 y - 3 = 0$ 的根是 $y_{1} = - 3$ ， $y_{2} = 1$ ．

②方程 $56 x^{2} + 2 x - \frac{1}{7} = 0$ 的根是 $x_{1} = - \frac{1}{14}$ ， $x_{2} = \frac{1}{28}$

方程 $y^{2} + 2 y - 8 = 0$ 的根是 $y_{1} = - 4$ ， $y_{2} = 2$ ．

……

猜想：方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的根与方程 $y^{2} + b y + a c = 0$ 的根之间的关系是 $x = \frac{y}{a}$ ．

(1)、请你证明材料中的猜想

(2)、依照材料中的解题方法，解方程：

30 x^{2} - 3 x + \frac{1}{15} = 0

．

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20. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，过点 $A$ 的直线交 $B C$ 的延长线于点 $E$ ，分别交 $B D$ ， $C D$ 于点 $F$ ， $G$ ．

(1)、若 $A B = 3$ ， $B C = 4$ ， $C E = 2$ ，求 $D G$ 的长．

(2)、在（1）的条件下，若 $∠ B A E = 90 °$ ，求 $F G$ 的长．

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21. 近年来，电商直播带货成了一个火热的职业．某电商在抖音平台上对一款成本为60元/件的服装进行直播销售，如果按每件100元销售，那么每天可售出20件．经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件，设每件服装降价x元（降价后不得低于成本）．

(1)、平均每天销售量增加件，每件服装盈利元．（用含x的代数式表示）

(2)、当每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？

(3)、商家平均每天盈利能达到1350元吗？请说明理由．

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22. 鹳雀楼（如图1）位于山西省永济市蒲州古城西面的黄河东岸，始建于北周时期，是现存最大的仿唐建筑．某校数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量鹳雀楼的高度．如图2，该小组成员选取与底端B在同一水平地面上的E ， G两点，分别垂直地面竖立两根高为 $2 m$ 的标杆 $E F$ 和 $G H$ ，两标杆间隔 $E G$ 约为 $54 m$ ．从标杆 $E F$ 后退 $1.5 m$ 到点D处（即 $E D = 1.5 m$ ），从点D处观察顶端A处，使A ， F ， D三点共线；从标杆 $G H$ 后退 $3 m$ 到点C处（即 $C G = 3 m$ ），从点C处观察顶端A处，使A ， H ， C三点共线，其中点A ， B ， C ， D ， E ， F ， G ， H均在同一平面内．请根据上述测量数据，求鹳雀楼 $A B$ 的高度．

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23. 综合与实践
问题情境：
在“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图 $1$ ，在矩形纸片 $A B C$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 3$ ，将矩形纸片沿对角线 $A C$ 剪开，得到两个全等的直角三角形纸片 $△ A B C$ 和 $△ A C D$ ，将 $△ A C D$ 固定不动， $△ A B C$ 绕点 $C$ 按顺时针方向旋转一定角度，得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，其中点 $A$ 的对应点为点 $A^{'}$ ，点 $B$ 的对应点为点 $B^{'}$ ．如图 $2$ ，当点 $B^{'}$ 落在 $C D$ 边上时，连结 $A B^{'}$ ，求 $A B^{'}$ 的长．

(1)、数学思考：
请你解答老师提出的问题．

(2)、深入探究：
老师将图2中的 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 绕点C继续按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，让同学们提出新的问题
①“善思小组”提出问题：如图3，当点 $A^{'}$ 落在 $B C$ 的延长线上时，连结 $A B^{'}$ ，求 $A B^{'}$ 的长；
②“智慧小组”提出问题：如图4，当点 $A^{'}$ 落在 $A D$ 的延长线上时，连结 $A B^{'}$ ，求 $A B^{'}$ 的长．

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