山西省朔州市右玉县2023－2024学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-12-25 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑．

1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出3个球，下列事件是必然事件的是（）

A、至少有一个黑球 B、至少有一个白球 C、至少有两个黑球 D、至少有两个白球

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3. 如图，四边形 $A B C D$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形， $∠ B = 128 °$ ，则 $∠ A O C$ 的度数是（）

A、 $100 °$
B、 $128 °$
C、 $104 °$
D、 $124 °$

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4. 如图所示，一圆弧过方格的格点 $A B$ ，试在方格中建立平面直角坐标系，使点 $A$ 的坐标为 $(0 ， 4)$ ，则该圆弧所在圆的圆心坐标是（　　）

A、 $(- 1 ， 2)$ B、 $(1 ， - 1)$ C、 $(- 1 ， 1)$ D、 $(2 ， 1)$

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5. 将抛物线 $y = {(x - 1)}^{2} + 5$ 通过平移后，得到抛物线的解析式为 $y = x^{2} + 2 x + 3$ ，则平移的方向和距离是（）

A、向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B、向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C、向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D、向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度

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6. 已知正多边形的一个外角为72°，则该正多边形的边数是（）

A、5 B、6 C、8 D、10

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7. “敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德．小刚、小强计划利用暑期从 $A$ ， $B$ ， $C$ 三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{2}{9}$

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8. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $P A$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $A$ ， $∠ A B C = 20 °$ ， $O C$ 的延长线交 $P A$ 于点 $P$ ，则 $∠ P$ 的度数是（）

A、 $20 °$ B、 $40 °$ C、 $50 °$ D、 $60 °$

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9. 某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（）

A、 $150 (1 - x^{2}) = 96$ B、 $150 (1 - x) = 96$ C、 $150 (1 - x)^{2} = 96$ D、 $150 (1 - 2 x) = 96$

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10. 如图，四边形 $A B C D$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形， $∠ B = 58 °$ ， $∠ A C D = 40 °$ ．若 $⊙ O$ 的半径为5，则 $\overset{⌢}{D C}$ 的长为（　　）

A、 $\frac{13}{3} π$ B、 $\frac{10}{9} π$ C、 $π$ D、 $\frac{1}{2} π$

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二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11. 若点M(a，－2)，N(3，b)关于原点对称，则a＋b＝

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12. 若关于x的一元二次方程 $(k - 1) x^{2} + x + 1 = 0$ 有实数根，则k的取值范围是．

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13. 如图，四边形 $A B C D$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形， $B C$ 是 $⊙ O$ 的直径， $B C = 2 C D$ ，则 $∠ B A D$ 的度数是 $°$ ．

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14. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，分别以四个顶点为圆心，以边长的一半为半径画圆弧，若随机向正方形 $A B C D$ 内投一粒米 $($ 米粒大小忽略不计 $)$ ，则米粒落在图中阴影部分的概率为．

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15. 《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆，径几何？”译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步．问这个直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长．用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径．根据以上方法，求得该直径等于步．（注：“步”为长度单位）

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三、解答题（本大题共8个小题，共75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16. 解方程：

(1)、 $x^{2} + 8 x - 9 = 0$

(2)、 $x (x - 1) + 3 (x - 1) = 0$

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17. 我市某中学举行“中国梦·我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．

(1)、参加比赛的学生人数共有名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为度，图中m的值为；

(2)、补全条形统计图；

(3)、组委会决定从本次比赛获得A等级的学生中，选出两名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生只有1名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰好是一男一女的概率．

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18. 在长度均为1的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知点A、B、C的坐标分别为 $(1 ， 0) 、 (4 ， 2) 、 (2 ， 4)$ ．

(1)、将 $△ A B C$ 沿着x轴向左平移5个单位后得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，请在图中画出平移后的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、将 $△ A B C$ 绕着O顺时针旋转 $90 °$ 后得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，请在图中画出旋转后的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(3)、将线段 $A B$ 绕着某个定点旋转 $180 °$ 后得到 $B_{1} A_{1}$ （其中点A的对应点为点 $B_{1}$ ，点B的对应点为点 $A_{1}$ ），则这个定点的坐标是．

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19. 为了解我国的数学文化，小明和小红从《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》(依次用A、B、C表示)三本书中随机抽取一本进行阅读，小明先随机抽取一本，小红再从剩下的两本中随机抽取一本．请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果．并求抽取两本书中有《九章算术》的概率．

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20. 日晷仪也称日晷，是观测日影记时的仪器，它是根据日影的位置，指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器，小东为了探究日晷的奥秘，在不同时刻对日晷进行了观察，如图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段BC是日晷的底座，点D为日晷与底座的接触点（即 $B C$ 与 $⊙ O$ 相切于点D），点在 $⊙ O$ 上，O为某一时刻晷针的影长，O的延长线与 $⊙ O$ 交于点E ，与 $B C$ 交于点B ，连接C ， $O C ， C E$ ， $B D = C D = 3$ dm， $O A ⊥ A C$ .

(1)、求证： $∠ B = ∠ A C O$ ；

(2)、求 $C E$ 的长．

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21. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点C ， D是 $⊙ O$ 上 $A B$ 异侧的两点， $D E ⊥ C B$ ，交 $C B$ 的延长线于点E ，且 $B D$ 平分 $∠ A B E$ ．

(1)、求证： $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线．

(2)、若 $∠ A B C = 60 °$ ， $A B = 4$ ，求图中阴影部分的面积．

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22. 教材中有这样一道题：如图1，四边形 $A B C D$ 是正方形，G是 $B C$ 上的任意一点， $D E ⊥ A G$ 于点E， $B F ∥ D E$ ，且交 $A G$ 于点F．求证： $A F - B F = E F$ ．

小明通过证明 $△ A E D ≌ △ B F A$ 解决了问题，在此基础上他进一步提出了以下以下回题，请你解答．

(1)、若图1中的点G为 $C B$ 延长线上一点，其余条件不变，如图2所示，猜想此时 $A F$ ， $B F$ ， $E F$ 之间的数量关系，并证明你的结论．

(2)、将图1中的 $△ A B F$ 绕点A逆时针旋转，使得 $A B$ 与 $A D$ 重合，记此时点F的对应点为点 $F^{'}$ ，如图3所示，若正方形的边长为3，求 $E F^{'}$ 的长度．

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23. 在平面直角坐标系中，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图像与 $x$ 轴的交点为 $A (- 3 ， 0)$ ， $B (1 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C (0 ， - 3)$ ，顶点为 $D$ ，其对称轴与 $x$ 轴交于点 $E$ ．

(1)、求二次函数解析式；

(2)、连接 $A C$ ， $A D$ ， $C D$ ，试判断 $△ A D C$ 的形状，并说明理由；

(3)、点 $P$ 为第三象限内抛物线上一点， $△ A P C$ 的面积记为 $S$ ，求 $S$ 的最大值及此时点 $P$ 的坐标；

(4)、在线段 $A C$ 上，是否存在点 $F$ ，使 $△ A E F$ 为等腰三角形？若存在，直接写出点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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