山西省吕梁市交城县2023-2024学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-12-25 类型：期中考试

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一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分)

1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 一元二次方程 $x_{}^{2} + 2 x + 5 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、只有一个实数根 D、没有实数根

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3. 如图，从正面看碗的轮廓近似一条抛物线，以顶点C为原点建立平面直角坐标系，若AB=16，CD=5，则此抛物线的解析式为（）

A、 $y = \frac{5}{16} x_{}^{2}$ B、 $y = \frac{5}{64} x_{}^{2}$ C、 $y = - \frac{5}{64} x_{}^{2}$ D、 $y = - \frac{5}{16} x_{}^{2}$

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4. 在足球联赛中，每两支足球队之间要进行一次主场比赛和一次客场比赛，共进行了20场比赛，请问共有多少支足球队参加了足球联赛？（）

A、10 B、6 C、5 D、4

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5. 已知A（1，2）是抛物线 $y = x_{}^{2} + 4 x - m$ 上的一点，点A与点B关于对称轴对称，则点B的坐标为（）

A、（-2，2） B、（-4，2） C、（-5，2） D、（-5， $m$ ）

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6. 将抛物线 $y = - 2 （ x - 3)_{}^{2} - 2$ 向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后的抛物线顶点坐标为（）

A、（-4，-5） B、（-2，5） C、（-5，2） D、（2，-5）

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7. 如图，AB是⊙O的直径，∠ABC=55°，则∠CDB的度数是（）

A、20° B、30° C、35° D、55°

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8. 某工厂生产一种产品，第一季度生产了10万件，由于市场供不应求，该工厂加大了产量，此后两个季度产量逐季度增加，前三个季度共生产36.4万件.已知第二季度和第三季度的增长率相同.设第二季度和第三季度的增长率为 $x$ ，则可列正确的方程为（）

A、 $10 （ 1 + x ）_{}^{2} = 36.4$ B、 $10 + 10 （ 1 + x ）_{}^{2} = 36.4$ C、 $10 + 10 （ 1 + x ） + 10 （ 1 + 2 x ） = 36.4$ D、 $10 + 10 （ 1 + x ） + 10 （ 1 + x ）_{}^{2} = 36.4$

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9. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，连接CE，四边形ACED是平行四边形，若∠ACB=30°，则∠AEC的度数为（）

A、45° B、60° C、75° D、90°

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10. 如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，以AC为直径作⊙O，交AB于点D，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{13 \sqrt{3}}{4} - \frac{π}{2}$ B、 $\frac{5 \sqrt{3}}{4} - \frac{π}{2}$ C、 $\frac{5 \sqrt{3}}{4} - π$ D、 $\frac{5 \sqrt{3}}{2} - \frac{π}{2}$

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二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分)

11. 把二次函数 $y = x_{}^{2} - 4 x + 5$ 化为顶点式为.

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12. 如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕着原点O逆时针旋转90°得到△A′B′O，则点A的对应点A′的坐标为.

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13. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD=AE=8cm，则OC的长为cm.

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14. 已知点A $(- 3 ， y_{1}^{})$ ， B $(- 1 ， y_{2}^{})$ ， C $(5 ， y_{3}^{})$ 三点在抛物线 $y = 3 x_{}^{2} - 6 x + c$ 上，则 $y_{1}^{}$ ， $y_{2}^{}$ ， $y_{3}^{}$ 的大小关系是为 .

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15. 我们约定： $(a ， b ， c)$ 为函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的关联数，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”，若关联数为 $(m ， - m - 2 ， 2)$ 的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为.

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三、解答题(本大题共8个小题，共75分)

16. 按要求解下列方程：

(1)、 $2 x_{}^{2} - 6 x - 5 = 0$ （公式法）

(2)、 $3 x (4 - x) = 2 （ x - 4 ）$ （因式分解法）

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17. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(x - 1)_{}^{2} + k (x - 1) = 0$ .

(1)、求证：该一元二次方程总有实数根；

(2)、若该方程的两个根为 $x_{1}^{}$ ， $x_{2}^{}$ ，并且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 7 - x_{1}^{} x_{2}^{}$ ，试求 $k$ 的值.

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18. 为了喜迎杭州第十九届亚运会，某学校计划对一块宽为20m，长为32m的矩形荒地进行改造，要求修筑同样宽鹅卵石小路，余下的部分种上草坪（阴影部分），并使草坪的面积为540㎡.现在邀请全校同学参与设计，下面是三位同学分别设计的方案，请你选择一种方案，求出道路的宽为多少米？（根据需要精确到0.1米）

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19. 一次函数 $y = x + 1$ 的图象与二次函数 $y = a x_{}^{2} + b x - 3$ 的图象交于点A（4，5），B（-1，0）.

(1)、确定二次函数的表达式；

(2)、请在如图所示的网格中画出二次函数 $y = a x_{}^{2} + b x - 3$ 的图象；

(3)、根据函数的图象直接写出不等式 $x + 1 \geq a x_{}^{2} + b x - 3$ 的解集.

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20. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D是AB同侧圆上两点，AC=BD，AD与BC交于点E，延长AD到F使DF=DE，连接BF.

(1)、求证：CE=DE；

(2)、若AD平分∠BAC，求证：BF为⊙O的切线.

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21. 五一商场经销一种商品，每千克成本为50元.经销售发现，该种商品每天销售量 $y$ （千克）与销售单价 $x$ （元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量满足的四组值如下：
销售单价 $x$ （元/千克）
55
60
65
70
销售量 $y$ （千克）
70
60
50
40

(1)、请确定 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、当销售单价定为多少元时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少元？

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22. 综合与实践
【问题情境】
如图1，有两张等腰三角形纸片ABC和AEF，其中AB=AC，AE=AF，∠BAC+∠EAF=180°.△AEF绕着A顺时针旋转，旋转角为 $α$ （ $0 ° \leq α < 180 °$ ），点M为BF的中点.
【特例感知】

(1)、如图1，当 $α = 0 °$ 时，AM和CE的数量关系是；

(2)、如图2，当 $α = 90 °$ 时，连接AM，CE，请判断AM和CE的数量关系，并说明理由；

(3)、【深入探究】
如图3，当 $α$ 为任意锐角时，连接AM，CE，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

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23. 如图1，二次函数 $y = x_{}^{2} - 2 x - 3$ 的图象交 $x$ 轴于点A，点B，交 $y$ 轴于点C，过点A的直线AD与抛物线交于点D（4，5）.

(1)、请确定直线AD的解析式；

(2)、连接BC，点P是抛物线上的一个动点，过点P作 $y$ 轴的平行线交直线AD于点E，交线段BC于点F.
①如果点P在第四象限的抛物线上运动，当PE=3PF时，求点P的坐标；
②设直线AD与 $y$ 轴的交点为G，如图2，在点P运动的过程中是否存在以点C，G，E，P为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

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销售单价 $x$ （元/千克）	55	60	65	70
销售量 $y$ （千克）	70	60	50	40