四川省内江市资中县2023-2024学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-12-25 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个选项符合题意．）

1. 下列根式是最简二次根式的是（）

A、 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ B、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{50}$

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2. 把一元二次方程 $x (2 x - 1) = x - 3$ 化为一般形式，正确的是（）

A、 $2 x^{2} + 3 = 0$ B、 $2 x^{2} - 2 x - 3 = 0$ C、 $2 x^{2} - x + 2 = 0$ D、 $2 x^{2} - 2 x + 3 = 0$

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3. 下列各组中的四条线段成比例的是（）

A、 $2 c m ， 3 c m ， 4 c m ， 6 c m$ B、 $2 c m ， 3 c m ， 4 c m ， 5 c m$ C、 $1 c m ， 2 c m ， 3 c m ， 4 c m$ D、 $3 c m ， 4 c m ， 6 c m ， 9 c m$

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4. 关于x的方程 $x^{2} - 3 k x - 2 = 0$ 实数根的情况，下列判断正确的是（）

A、有两个相等实数根 B、有两个不相等实数根 C、没有实数根 D、有一个实数根

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5. 若 $\sqrt{x (x - 6)} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x - 6}$ ，则（　　）

A、 $x \geq 6$ B、 $x \geq 0$ C、 $0 \leq x \leq 6$ D、x为一切实数

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6. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点 $A$ ， $B$ ， $C$ 都在横线上 $.$ 若线段 $A C = \frac{15}{2}$ ，则线段 $A B$ 的长是（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $2$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $5$

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7. 有一个数值转换器，原理如下图所示：当输入的数是324时，输出的结果等于（）

A、3 B、18 C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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8. 已知有等腰三角形两边长为一元二次方程x²-3x+2=0的两根，则等腰三角形周长是（）

A、4 B、5 C、4或5 D、不能确定

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9. 手工兴趣小组的同学们将自己制作的书签向本组的其他成员各赠送1个，全组共互赠了30个，如果全组有x名同学，则根据题意列出的方程是（　　）

A、x（x+1）＝30 B、2x（x+1）＝30 C、x（x-1）＝30 D、x（x-1）＝30×2

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10. 已知 $\sqrt{7} = a$ ， $\sqrt{70} = b$ ，则 $\sqrt{4.9}$ 用 $a 、 b$ 表示为（）

A、 $\frac{a + b}{10}$ B、 $\frac{a - b}{10}$ C、 $\frac{b}{a}$ D、 $\frac{a b}{10}$

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11. 如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第6行从左向右数第3个数是（）

A、 $\sqrt{31}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{33}$ D、 $\sqrt{34}$

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12. 设 $x^{2} - p x + q = 0$ 的两实根为 $α$ ， $β$ ，而以 $α^{2}$ ， $β^{2}$ 为根的一元二次方程仍是 $x^{2} - p x + q = 0$ ，则数对 $(p ， q)$ 的个数是（）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $0$

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二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上．）

13. 若 $\frac{b}{a} = \frac{2}{3}$ ，则 $\frac{b}{a + b}$ 的值等于．

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14. 已知 $(a - 1) x^{a^{2} + 1} + 8 = 0$ 是关于 $x$ 的一元二次方程，则 $a$ 等于．

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15. 如图，从一个大正方形中裁去面积为27和48的两个小正方形，则剩下阴影部分的面积是．

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16. 下面这首诗生动的刻画出了周瑜的一生：
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符．(注：而立之年表示人到了30岁)
聪明的同学，你一定能算得出周瑜去世时的年龄是岁．

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三、解答题（本大题共5小题，共44分）

17.

(1)、计算： $\sqrt{3} \times \sqrt{12} + \sqrt{6} \div \sqrt{2} - \sqrt{27} + 6 \sqrt{\frac{1}{3}}$ ．

(2)、解方程： $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ ．

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18. 已知 $x = \sqrt{7} + \sqrt{3}$ ， $y = \sqrt{7} - \sqrt{3}$ ．求 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的值．

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19. 如图，直线 $l_{1} ， l_{2} ， l_{3}$ 分别交直线 $l_{4}$ 于点 $A ， B ， C$ ，交直线 $l_{5}$ 于点 $D ， E ， F$ ，且 $l_{1} ∥ l_{2} ∥ l_{3}$ ，已知 $O B = 2$ ， $O E = 3$ ．

(1)、若 $O C = 4$ ，求 $O F$ 的长．

(2)、若 $A B = 6$ ，求 $O D$ 的长．

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20. 随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以 $5 G$ 等为代表的战略性新兴产业，计划到2020年底，全省 $5 G$ 基站数量将达到6万座，到2022年底，全省 $5 G$ 基站数量将达到17.34万座

(1)、按照计划，求2020年底到2022年底，全省 $5 G$ 基站数量的年平均增长率；

(2)、若2023年保持前两年 $5 G$ 基站数量的年平均增长率不变，到2023年底，全省5G基站数量能否超过25万座？

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21. 换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．如：解二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 2 (x + y) + 3 (x - y) = - 2 \\ x + y - 2 (x - y) = 3 \end{array}$ ，按常规思路解方程组计算量较大．可设 $x + y = a$ ， $x - y = b$ ，那么方程组可化为 ${\begin{array}{l} 2 a + 3 b = - 2 \\ a - 2 b = 3 \end{array}$ ，从而将方程组简单化，解出 $a$ 和 $b$ 的值后，再利用 $x + y = a$ ， $x - y = b$ 解出 $x$ 和 $y$ 的值即可．用上面的思想方法解方程：

(1)、 $\frac{x^{2}}{x + 2} + \frac{2 x + 4}{x^{2}} = 3$ ；

(2)、 $x^{2} + 2 x + 4 \sqrt{x^{2} + 2 x} - 5 = 0$

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四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上．）

22. 已知，x、y是有理数，且y＝ $\sqrt{x - 2}$ + $\sqrt{2 - x}$ ﹣4，则2x+3y的立方根为．

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23. 对于实数 $p$ 、 $q$ ，且 $(p \neq q)$ ，我们用符号 $m i n {p ， q}$ 表示 $p$ 、 $q$ 两数中较小的数，如 $m i n {1 ， 2} = 1$ ．若 $m i n {1 - x ， x} = 2 x + 1$ ，则 $x =$ ．

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24. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $x^{2} - x - 2022 = 0$ 的两个实数根，则代数式 $x_{1}^{3} - 2022 x_{1} + x_{2}^{2}$ 的值是

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25. 如图是一张矩形纸片 $A B C D$ ，点 $E$ 为 $A D$ 中点，点 $F$ 在 $B C$ 上，把该纸片沿 $E F$ 折叠，点 $A ， B$ 的对应点分别为 $A^{'} ， B^{'} ， A^{'} E$ 与 $B C$ 相交于点 $G$ ， $B^{'} A^{'}$ 的延长线过点 $C$ ．若 $\frac{A D}{A B} = 2 \sqrt{2}$ ，则 $\frac{B F}{G C}$ 的值为．

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五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．解答时必须写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）

26. 巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的矩形，我们将这种宽与长的比是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形 $A B C D$ 的宽 $A B = 1$ ．

(1)、黄金矩形 $A B C D$ 的长 $B C =$ ；

(2)、如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以 $A B$ 为边的正方形 $A B E F$ ，得到新的矩形 $D C E F$ ，猜想矩形 $D C E F$ 是否为黄金矩形，并证明你的结论；

(3)、在图②中，连接 $A E$ ，求点 $D$ 到线段 $A E$ 的距离．

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27. 已知 $α$ 、 $β$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (2 m + 3) x + m^{2} = 0$ 的两个不相等的实数根．

(1)、求出 $m$ 的取值范围；

(2)、若满足 $\frac{1}{| α |} + \frac{1}{| β |} = 1$ ，求 $m$ 的值．

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28. 阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务．
材料：三角形的内角平分线定理：
如图1，在 $Δ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，交 $B C$ 于点 $D$ ，则 $\frac{A B}{A C} = \frac{B D}{C D}$ ．
下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过 $C$ 作 $C E ∥ D A$ ，交 $B A$ 的延长线于点 $E$ ．

(1)、【思路说明】请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

(2)、【直接应用】如图3， $△ A B C$ 中， $E$ 是 $B C$ 中点， $A D$ 是 $∠ B A C$ 的平分线， $E F ∥ A D$ 交 $A C$ 于 $F$ ．若 $A B = 11$ ， $A C = 15$ ，求线段 $F C$ 的长；

(3)、【拓展延伸】如图4， $△ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $B C$ 的延长线交 $△ A B C$ 外角角平分线 $A F$ 于点 $F$ ．
①找出 $A B$ 、 $A C$ 、 $B F$ 、 $C F$ 这四条线段的比例关系，并证明；
②若 $B D = 2$ ， $C F = 4$ ，求 $C D$ 的长．

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