四川省巴中市恩阳区2023-2024学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-12-25 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共有12个小题，每题4分，共48分）

1. 要使式子 $\sqrt{x - 3}$ 有意义，则x可取的数是（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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2. A、B两地的实际距离是400m，画在地图上的距离为2cm，则这幅地图的比例尺是（　　）

A、1：20 B、1：200 C、1：2000 D、1：20000

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3. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{24}$ B、 $\sqrt{36}$ C、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ D、 $\sqrt{5}$

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4. 已知 $a = 3$ ， $b = 27$ ， $c$ 是 $a$ ， $b$ 的比例中项，那么 $c$ 为（）

A、 $10$ B、 $9$ C、 $- 9$ D、 $\pm 9$

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5. 方程 ${(x - 2)}^{2} = 3 (x - 2)$ 的根是（　　）

A、2 B、－2 C、2或－2 D、2或5

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6. 如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 一次同学聚会，每两人都相互握了一次手，小芳统计一共握了190次手，这次聚会的人数是（）

A、19人 B、20人 C、21人 D、10人

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8. 下列线段能成比例线段的是（）

A、1 $c m$ ， 2 $c m$ ， 3 $c m$ ， 4 $c m$ B、1 $c m$ ， $\sqrt{2} c m$ ， $2 \sqrt{2} c m$ ， 4 $c m$ C、 $\sqrt{2} c m$ ， $\sqrt{5} c m$ ， $\sqrt{3} c m$ ， 1 $c m$ D、2 $c m$ ， 5 $c m$ ， 3 $c m$ ， 4 $c m$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 中， $\frac{A B}{A E} = \frac{B C}{E D}$ ，要使 $△ A B C$ 与 $△ A D E$ 相似，还需要添加一个条件，这个条件是（）

A、 $∠ B = ∠ D$ B、 $∠ B = ∠ E$ C、 $A D = A B$ D、 $A C = B C$

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10. 如图是小阳设计利用光线来测量某古城墙 $C D$ 高度的示意图，如果镜子P与古城墙的距离 $P D = 12$ 米，镜子P与小明的距离 $B P = 1.5$ 米，小明刚好从镜子中看到古城墙顶端点C ，小明眼睛距地面的高度 $A B = 1.2$ 米，解决本题应用什么光学知识，该古城墙的高度是（）

A、光的反射， $9.6$ 米 B、光的折射， $9.6$ 米 C、光沿直线传播，8米 D、光的反射，24米

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11.
如图：把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC面积的一半，若AB= $\sqrt{2}$ ，则此三角形移动的距离AA′是（　）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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12. 若 $c$ 为实数，方程 $x^{2} - 3 x + c = 0$ 的一个根的相反数是方程 $x^{2} + 3 x - c = 0$ 的一个根，那么方程 $x^{2} - 3 x + c = 0$ 的根是（）

A、1，2 B、0，3 C、-1，-2 D、0，-3

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二、填空题（每小题3分，共18分）

13. 黄金分割在我们生活中应用广泛，如主持人站在舞台的黄点分割位置会更自然得体．已知线段 $A B$ 长为8，C是 $A B$ 上的一个黄金分割点，且 $A C > B C$ ，则AC的值为．

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14. 已知 $y \neq 0$ ，且 $3 x^{2} - 2 x y - 8 y^{2} = 0$ ，求 $\frac{x}{y} =$ ．

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15. 若对任何实数a，关于x的方程x²-2ax-a+2b＝0都有实数根，求实数b的取值范围．

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16. 在 $R t △ A B C$ 中， $C D ⊥ A B$ ， D为垂足，且 $A D = 3$ ， $A C = 3 \sqrt{5}$ ，则斜边 $A B$ 的长为

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17. 如图，梯形 $A B C D$ 的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为 $p^{2} 、 q^{2}$ ，则梯形的面积为．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 120 °$ ， AD平分 $∠ B A C$ 交BC于点D ， $A B = 15$ ， $A C = 30$ 则 $A D =$

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三、解答题

19. 计算

(1)、 $3 \sqrt{3} + \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}$

(2)、 $(1 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$

(3)、已知 $x = \sqrt{2} + 1$ ，求 $(\frac{x + 1}{x^{2} - x} - \frac{x}{x^{2} - 2 x + 1}) \div \frac{1}{x}$ 的值．

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20. 解下方程

(1)、 $4 {(3 x + 2)}^{2} = 25$

(2)、 $2 x^{2} - 14 x - 16 = 0$ ．

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21. 某商店以2400元购进某种盒装茶叶，第一个月每盒按进价增加 $20 %$ 作为售价，售出50盒，第二个月每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的茶叶．在整个买卖过程中盈利350元，求每盒茶叶的进价．

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22. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + (m + 3) x + m + 1 = 0$ ．

(1)、求证：无论 $m$ 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；

(2)、若 $x_{1} ， x_{2}$ 是原方程的两根，且 $| x_{1} - x_{2} | = 2 \sqrt{5}$ ，求 $m$ 的值．

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23. 已知：如图， $A B$ 和 $D E$ 是直立在地面上的两根立柱， $A B = 5 m$ ，某一时刻， $A B$ 在阳光下的投影 $B C = 4 m$ ．

(1)、请你在图中画出此时 $D E$ 在阳光下的投影，并简述画图步骤和说明作图依据了太阳光线的哪一性质；

(2)、在测量 $A B$ 的投影长时，同时测出 $D E$ 在阳光下的投影长为 $7.5 m$ ，请你计算 $D E$ 的长．

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24. 已知：如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， M是BC的中点， $D M ⊥ B C$ 于点E ，交BA的延长交于点D ．
求证：

(1)、 $M A^{2} = M D \cdot M E$ ；

(2)、 $\frac{A E^{2}}{A D^{2}} = \frac{M E}{M D}$

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25. 如图，已知，在 $△ A B C$ 中， $B A = B C = 40 c m$ ， $A C = 60 c m$ ，点P从A点出发，沿 $A B$ 以 $4 c m / s$ 的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿 $C A$ 以 $3 c m / s$ 的速度向A点运动，到达A点停止，设运动时间为x ，

(1)、当x为何值时， $P Q ∥ B C$ ；

(2)、当 $S_{△ B C Q} ： S_{△ A B C} = 1 ： 3$ 时，求 $S_{△ B P Q} ： S_{△ A B C}$ 的值；

(3)、 $△ A P Q$ 能否与 $△ C Q B$ 相似，若能，求出AP的长，若不能，请说明理由．

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