四川省绵阳市三台县2023-2024学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-12-25 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）

1. 神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，下列航天图标是中心对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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2. 一元二次方程 $2 x^{2} + 1 = 3 x$ 的二次项系数是2，则一次项系数是（）

A、3 B、 $- 3$ C、1 D、 $- 1$

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3. 用配方法解方程 $x^{2} + 4 x + 3 = 0$ 时，配方后得到的方程为（　　）

A、 ${(x + 2)}^{2} = 1$ B、 ${(x + 2)}^{2} = 3$ C、 ${(x - 2)}^{2} = 3$ D、 ${(x - 2)}^{2} = 1$

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4. 已知 $(- 3 ， y_{1})$ ， $(- 2 ， y_{2})$ ， $(1 ， y_{3})$ 是二次函数 $y = - 2 x^{2} - 8 x + m$ 图象上的点，则（）

A、 $y_{2} > y_{1} > y_{3}$ B、 $y_{2} > y_{3} > y_{1}$ C、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ D、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$

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5. 下列一元二次方程中，两实数根之和为2的是（　　）

A、 $x^{2} + 2 x + 1 = 0$ B、 $x^{2} - 2 = 0$ C、 $- 2 x^{2} - 4 x + 3 = 0$ D、 $\frac{1}{2} x^{2} - x - \frac{3}{2} = 0$

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6. 将抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + 1$ 绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（）

A、 $y = - 2 x^{2} + 1$ B、 $y = - 2 x^{2} - 1$ C、 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 1$ D、 $y = - \frac{1}{2} x^{2} - 1$

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7. 小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数 $h = 3.5 t - 4.9 t^{2}$ （t的单位：s，h的单位：m）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（）

A、0.71s B、0.70s C、0.63s D、0.36s

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，若D是BC边上任意一点，将 $△ A B D$ 绕点A顺时针旋转得到 $△ A C E$ ，点D的对应点为点E ，连接 $D E$ ，则下列结论一定正确的是（　　）

A、 $A B = A E$ B、 $A B ∥ E C$ C、 $∠ A D E = ∠ A C E$ D、 $D E ⊥ A C$

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9. 某区今年7月份工业生产值达120亿元，7月、8月、9月三个月总产值为450亿元，求8月、9月平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为x ，根据题意得方程为（　　）

A、 $120 {(1 + x)}^{2} = 450$ B、 $120 + 120 {(1 + x)}^{2} = 450$ C、 $120 (1 + x) + 120 {(1 + x)}^{2} = 450$ D、 $120 + 120 (1 + x) + 120 {(1 + x)}^{2} = 450$

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10. 如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1，AB=10，那么直径CD的长为（）

A、12.5 B、13 C、25 D、26

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11. 一副三角板（ $△ B C M$ 和 $△ A E G$ ）如图放置，点E在 $B C$ 上滑动， $A E$ 交 $B M$ 于 $D$ ， $E G$ 交 $M C$ 于 $F$ ，且在滑动过程中始终保持 $E F = D E$ ．若 $M B = 4$ ，设 $B E = x$ ， $△ E F C$ 的面积为y ，则y关于x的函数表达式是（　　）

A、 $y = 2 \sqrt{3} x$ B、 $y = 2 \sqrt{3} x + 1$ C、 $y = x (4 \sqrt{3} - x)$ D、 $y = \frac{1}{2} x (4 \sqrt{3} - x)$

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12. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （a ， b ， c是常数， $a \neq 0$ ）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
$- 2$
$- 1$
0
1
2
…
$y = a x^{2} + b x + c$
…
t
m
$- 2$
$- 2$
n
…
且当 $x = - \frac{1}{2}$ 时，与其对应的函数值 $y > 0$ ．有下列结论：① $a b c < 0$ ；② $- 2$ 和3是关于x的方程 $a x^{2} + b x + c = t$ 的两个根；③ $0 < m + n < \frac{20}{3}$ ．其中，正确结论的个数是（　　）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）

13. 把如图所示五角星图案，绕着它的中心O旋转，若旋转后的五角星能与自身重合，则旋转的度数至少为．

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14. 已知m为方程 $x^{2} + 3 x - 2022 = 0$ 的根，那么 $m^{3} + 4 m^{2} - 2019 m - 2023$ 的值为．

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15. 已知如图：抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与直线 $y = k x + n$ 相交于点 $A (- \frac{5}{2} ， \frac{7}{4})$ 、 $B (0 ， 3)$ 两点，则关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c ＜ k x + n$ 的解集是

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16. 若实数x满足 $3 {(x^{2} + x)}^{2} - x^{2} - x - 4 = 0$ ，则 $x^{2} + x$ ＝．

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17. 已知 $△ A B C$ 的三个顶点都在圆O上，点O到 $A B$ 的距离为3， $A B = 8$ 且 $C A = C B$ ，则 $△ A B C$ 的面积= ．

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18. 如图，在△ABC中，AB=AC=4，将△ABC绕点A顺时针旋转30°，得到△ACD，延长AD交BC的延长线于点E，则DE的长为

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三、解答题（本大题共7个小题，共90分）

19.

(1)、解方程： $x^{2} - 4 x - 1 = 0$ ；

(2)、先化简，再求值： $\frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 1} \div (x - 1 - \frac{2 x - 1}{x + 1})$ ，其中x是方程 $y^{2} - 4 y - 5 = 0$ 的解．

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20. 已知关于x的方程 $x^{2} - 2 (k - 1) x + k^{2} = 0$ 有两个实数根x₁ ， x₂.

(1)、求k的取值范围；

(2)、若 $x_{1} + x_{2} = 1 - x_{1} x_{2}$ ，求k的值.

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21. 一次足球训练中，小明从球门正前方 $12 m$ 的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为 $8 m$ 时，球达到最高点，此时球离地面 $4 m$ ．已知球门高 $O B$ 为 $2.58 m$ ，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．

(1)、求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；

(2)、对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方 $2.56 m$ 处？

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22. 已知如图： $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 、点 $D$ 在 $⊙ O$ 上， $O C ⊥ B D$ 于点 $E$ ，连接 $B C$ 、 $C D$ 、 $A D$ ， $∠ A D B = 90 °$ ， $C D =$ $2 \sqrt{5}$ ， $O E = 3$

(1)、求 $A B$ 的长

(2)、求四边形 $A B C D$ 的面积

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23. 某商场将进价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查发现，售价在40元至70元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就减少10个．为了实现每月获得最大的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？最大利润为多少元？

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24. 已知如图1：矩形 $A B C D$ ，对角线 $A C = 8 ， B C = 4 \sqrt{3}$ ，以 $A B$ 为边作正方形 $B E F G$ （点A与点E重合），将正方形 $B E F G$ 绕点B旋转

(1)、如图2，当点E落在对角线 $A C$ 上时， $E F$ 交 $B C$ 于点M ，求证： $E M = C M$

(2)、如图3，当边 $F G$ 交对角线 $A C$ 于点N且 $F N = G N$ 时，求 $C N$ 的长

(3)、如图4，点H为 $E G$ 的中点，请直接写出 $D H$ 的最大值

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25. 已知如图：抛物线交 $x$ 轴于点 $B (1 ， 0)$ 、点 $C (5 ， 0)$ ，交 $y$ 轴于点 $A (0 ， 5)$ ，点 $B$ 、点 $D$ 关于 $y$ 轴对称．

(1)、求抛物线解析式．

(2)、点 $P$ 是抛物线上对称轴右侧一点，连接 $A D$ ， $△ A D P$ 面积最大时，求出 $△ A D P$ 最大面积和此时点 $P$ 的坐标．

(3)、点 $M$ 在对称轴上，点 $Q$ 是第一象限内一点，以点 $A$ 、 $D$ 、 $M$ 、 $Q$ 为顶点的四边形是菱形时，直接写出点 $Q$ 的坐标．

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x	…	$- 2$	$- 1$	0	1	2	…
$y = a x^{2} + b x + c$	…	t	m	$- 2$	$- 2$	n	…