安徽省黄山地区2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2023-12-25 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分.）

1. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 若 $y = (m - 2) x^{m^{2} - 2} - x - 3$ 是二次函数，则 $m$ 的值是（）

A、 $- 2$ 或2 B、4 C、2 D、 $- 2$

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3. 将抛物线 $y = - 2 {(x - 1)}^{2} - 3$ 向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（）

A、 $y = - 2 {(x - 3)}^{2} + 2$ B、 $y = - 2 （ x + 2 ）^{2} - 1$ C、 $y = - 2 {(x - 4)}^{2} - 5$ D、 $y = - 2 （ x + 2 ）^{2} - 5$

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4. 某企业2022年底获利润300万元，到2024年底计划利润达到507万元．设这两年的年利润平均增长率为x．应列方程是（）

A、 $300 (1 + x) = 507$ B、 $300 {(1 + x)}^{2} = 507$ C、 $300 (1 + x) + 300 {(1 + x)}^{2} = 507$ D、 $300 + 300 (1 + x) + 300 {(1 + x)}^{2} = 507$

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5. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20° ，则∠ADC的度数是（）．

A、55° B、60° C、65° D、70°

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6. 如下表中列出了二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的一些对应值，则一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的其中一个近似解 $x_{1}$ 的范围是（）
x
…
$- 3$
$- 2$
$- 1$
0
1
…
y
…
$- 11$
$- 5$
$- 1$
1
1
…

A、 $- 3 ＜ x_{1} ＜ - 2$ B、 $- 2 ＜ x_{1} ＜ - 1$ C、 $- 1 ＜ x_{1} ＜ 0$ D、 $0 ＜ x_{1} ＜ 1$

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7. 若抛物线 $y = - 2 {(x + m - 1)}^{2} - 3 m + 6$ 的顶点在第二象限，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m < 1$ B、 $m < 2$ C、 $m > 1$ D、 $1 < m < 2$

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8. 已知一元二次方程 $x^{2} - 2 x - a = 0$ ，使方程无实数解的a的值可以是（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、0

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9. 如图，抛物线 $y_{1} = x^{2} - 2 x (0 \leq x \leq 2)$ 交x轴于O、A两点；将抛物线 $y_{1}$ 绕点A旋转180°得到抛物线 $y_{2}$ ，交x轴于A₁；将抛物线 $y_{2}$ 绕点A₁旋转180°得到抛物线 $y_{3}$ ，交x轴于A₂；…，如此进行下去，则抛物线 $y_{10}$ 的解析式是（）

A、 $y_{10} = - x^{2} + 38 x - 360$ B、 $y_{10} = - x^{2} + 34 x - 288$ C、 $y_{10} = x^{2} - 36 x + 288$ D、 $y_{10} = - x^{2} + 38 x + 360$

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10. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象经过点 $A (- 1 ， 0)$ 、点 $B (3 ， 0)$ ，交y轴于点C，给出下列结论：
① $a ： b ： c = - 1 ： 2 ： 3$ ；②若 $0 ＜ x ＜ 4$ ，则 $5 a ＜ y ＜ - 3 a$ ；③当 $x = 1$ 时，该二次函数有
最大值；④一元二次方程 $c x^{2} + b x + a = 0$ 的两根为 $- 1$ 和 $\frac{1}{3}$ .其中正确的结论是（）

A、①②③④ B、①③ C、②③④ D、①③④

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二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）

11. 点 $A (- 4 ， 3)$ 关于原点对称的点的坐标为．

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12. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是： $h = 30 t - 5 t^{2}$ ，这个函数图象如图所示，则小球从第3s到第5s下降的高度为m.

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13. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染给个人.

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14. 已知二次函数 $y = - x^{2} + (m - 1) x + m$ （m为常数）.

(1)、该函数的图象与x轴的公共点的个数是；

(2)、当 $- 5 \leq m \leq 0$ 时，该函数图象的顶点纵坐标k的取值范围是.

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三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分.）

15. 解方程 $x^{2} - 4 x + 1 = 0$

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16. 二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 的图象经过 $(1 ， 0) ， (2 ， - 1)$ 两点.

(1)、求此二次函数的解析式；

(2)、判断点 $A (- 2 ， - 1)$ 是否在这个二次函数的图象上.

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四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分.）

17. 已知关于x的方程 $x^{2} + 2 (m - 1) x + m^{2} + 5 = 0$ 有两个不相等的实数根，化简： $| 1 - m | + \sqrt{m^{2} + 4 m + 4}$ ．

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18. 如图，已知Rt△ABC中， $∠ A = 90 °$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△EBD，连接CD.求证： $C D = 2 A B$ ．

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五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分.）

19. 如图，利用一面墙（墙的长度不超过45米），用75米长的篱笆围成一个矩形场地ABCD，与墙相对的一面AB留有1米宽的一扇门方便出入．

(1)、怎样围才能使矩形场地的面积为690平方米？

(2)、能否围成800平方米的矩形场地？若能，该怎么围；若不能，请说明理由．

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20. 如图，平面直角坐标系中，点D坐标为 $(1 ， 1)$ ，每个小正方形网格的顶点叫做格点，平行四边形ABCD的顶点均在格点上．
⑴将线段AD绕点A逆时针旋转90°，画出对应线段AE，并直接写出点E的坐标；
⑵过（1）中点E画一条直线把平行四边形ABCD分成面积相等的两部分；
⑶在图中找一个格点F，使得CF⊥AD，并直接写出点F的坐标 ▲ ．

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六、（本大题满分12分.）

21. 某服装店购进一批秋衣，价格为每件30元．物价部门规定其销售单价不高于每件60元，经市场调研发现：日销售量y（件）是销售单价x（元）的一次函数，且当 $x = 60$ 时， $y = 80$ ； $x = 50$ 时， $y = 100$ ．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．

(1)、求出y与x的函数关系式，若每件售价不低于30元，请直接写出自变量x的取值范围；

(2)、求该服装店销售这批秋衣的日获利W（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

(3)、当销售单价为多少元时，该服装店日获利最大？最大日获利是多少元？

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七、（本大题满分12分.）

22. 平面直角坐标系中，四边形 $A O B C$ 是矩形，点 $O (0 ， 0)$ 、 $A (6 ， 0)$ 、 $B (0 ， 8)$ ．以点 $A$ 为中心，顺时针旋转矩形 $A O B C$ ，得到矩形 $A D E F$ ，点 $O$ ， $B$ ， $C$ 的对应点分别为 $D$ ， $E$ ， $F$ ，记旋转角为 $α$ ．

(1)、如图①，当 $α = 30 °$ 时，求点 $D$ 的坐标；

(2)、如图②，当点 $E$ 落在 $A C$ 的延长线上时，求点 $D$ 的坐标.

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八、（本大题满分14分.）

23. 定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．
例如： $y = {(x - 1)}^{2} - 2$ 的“同轴对称抛物线”为 $y = - {(x - 1)}^{2} + 2$ ．

(1)、抛物线 $y = - \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} + \frac{3}{2}$ 的顶点坐标为，它的“同轴对称抛物线”为；

(2)、如图，在平面直角坐标系中，第四象限的点B是抛物线 $y = a x^{2} - 4 a x + 1$ 上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线 $y = a x^{2} - 4 a x + 1$ 的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线 $y = a x^{2} - 4 a x + 1$ 的对称轴对称的点 $B^{'}$ 、 $C^{'}$ ，连接BC、 $C C^{'}$ 、 $C^{'} B^{'}$ 、 $B^{'} B$ ．当四边形 $B C C^{'} B^{'}$ 为正方形时，求a的值．

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x	…	$- 3$	$- 2$	$- 1$	0	1	…
y	…	$- 11$	$- 5$	$- 1$	1	1	…