安徽省宿州市埇桥区教育集团2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-12-25 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）

1. 下列说法：
①四边相等的四边形一定是菱形
②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形
③对角线相等的四边形一定是矩形
④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分
其中正确的有（）个．

A、4 B、3 C、2 D、1

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2. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　）

A、2x+1=0 B、x²+1=0 C、y²+x=1 D、 $\frac{1}{x}$ +x²=1

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3. 若 $\frac{b}{a} = \frac{3}{5}$ ，则 $\frac{2 a - b}{a}$ 的值为（）

A、1 B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{7}{5}$ D、 $\frac{5}{8}$

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4. 一个家庭有两个孩子，两个都是男孩的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、无法确定

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5. 下列说法中，错误的是

A、所有的等边三角形都相似 B、和同一图形相似的两图形相似 C、所有的等腰直角三角形都相似 D、所有的矩形都相似

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6. 如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（）

A、 $\frac{24}{5}$ B、 $\frac{12}{5}$ C、5 D、4

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7. 若关于x的一元二次方程方程 $(k - 1) x^{2} + 4 x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）

A、 $k < 5$ B、 $k < 5$ ，且 $k \neq 1$ C、 $k \leq 5$ ，且 $k \neq 1$ D、 $k > 5$

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8. 如图，点D，E分别在 $△ A B C$ 的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：① $∠ A E D = ∠ B$ ， ② $∠ A D E = ∠ C$ ， ③ $\frac{A E}{A B} = \frac{D E}{B C}$ ， ④ $\frac{A D}{A C} = \frac{A E}{A B}$ ， ⑤ $A C^{2} = A D \cdot A E$ ，使 $△ A D E$ 与 $△ A C B$ 一定相似的有（）

A、①②④ B、②④⑤ C、①②③④ D、①②③⑤

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9. 我们知道，四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形 $A B C D$ 的边 $A B$ 在x轴上， $A B$ 的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点 $D^{'}$ 处，则点C的对应点 $C^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(\sqrt{3} ， 1)$ B、 $(2 ， 1)$ C、 $(1 ， \sqrt{3})$ D、 $(2 ， \sqrt{3})$

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10. 已知菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，M、N分别是边BC，CD的中点，P是对角线BD上一点，则 $P M + P N$ 的最小值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11. 若3是关于x的方程 $x^{2} - x + c = 0$ 的一个根，则方程的另一个根等于．

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12. 如图所示，矩形ABCD两条对角线夹角为 $60 °$ ， $A B = 6$ ，则对角线AC长为．

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13. 从 $1 ， - 1 ， 0$ 三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，则该点在坐标轴上的概率是．

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14. 四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在的直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG（点D，点F在直线CE的同侧），连接BF．
图1 图2

(1)、如图1，当点E与点A重合时， $B F =$ ；

(2)、如图2，当点E在线段AD上时， $A E = 1$ ，则 $B F =$ ．

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三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15. 解方程：

(1)、 $x^{2} + 4 x - 12 = 0$

(2)、 $x^{2} + 2 x = 2$

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D是AB上一点，且 $A D = 1$ ， $A B = 3$ ， $A C = \sqrt{3}$ ．
求证： $△ A C D ∽ △ A B C$ ．

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四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17. 如图是 $6 \times 6$ 的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹，不需要证明）．

图1 图2

(1)、如图1，在边BC上找一点P，使得 $△ A B P ∽ △ C B A$ ；

(2)、如图2，在边AC上找一点Q，使得 $△ A B Q ∽ △ A C B$ B．

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18. 已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程 $x^{2} - 8 x + 15 = 0$ 的根，求该等腰三角形的周长．

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五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19. 如图，在▱ABCD中，已知E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF．

(1)、求证：AB=CF；

(2)、当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形，并说明理由．

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20. 如图所示，已知在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 6 c m$ ， $B C = 12 c m$ ，点Q从点A开始沿AB边向点B以 $1 m / s$ 的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以 $2 m / s$ 的速度移动．

(1)、如果Q、P分别从A、B两点出发，那么几秒后， $△ P B Q$ 的面积等于 $8 c m^{2}$ ？

(2)、在（1）中， $△ P B Q$ 的面积能否等于 $10 c m^{2}$ ？试说明理由．

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六、（本题满分12分）

21. 某校在一次大课间活动中，采用了四种活动形式：A、跑步，B、跳绳，C、做操，D、游戏．全校学生都选择了一种形式参与活动，小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，绘制了不完整的统计图．
请结合统计图，回答下列问题：

(1)、本次调查学生共 ▲ 人， $a =$ ▲ ，并将条形图补充完整；

(2)、如果该校有学生2000人，请你估计该校选择“跑步”这种活动的学生约有多少人？

(3)、学校让每班在A、B、C、D四种活动形式中，随机抽取两种开展活动，请用树状图或列表的方法，求每班抽取的两种形式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率．

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七、（本题满分12分）

22. 每年某购物网站都会举办“双十一”购物活动，许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动．甲网店销售一件A商品成本为50元，网上标价80元．

(1)、“双十一”购物活动当天，甲网店连续两次降价销售A商品吸引买主，问平均每次降价率为多少，才能使这件A商品的售价为51.2元？

(2)、据媒体爆料，有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天，先提高商品的网上标价后再推出促销活动，存在欺诈行为．“双十一”活动之前，乙网店销售A商品的成本、网上标价与甲网店一致，一周可售出1000件A商品．在“双十一”购物活动这天，乙网店先将网上标价提高a%，再推出五折销售的促销活动，吸引了大量网购者，乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的A商品数量也比原来一周卖出的A商品数量增加了2a%，这样“双十一”活动当天乙网店的利润达到了2万元，求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为多少？

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八、（本题满分14分）

23. $△ A B C$ 是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合）， $△ A D E$ 是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE．
图（a）图（b）

(1)、如图（a）所示，当点D在线段BC上时．
①求证： $△ A E B ≌ △ A D C$ ；
②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；

(2)、如图（b）所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立？

(3)、在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由．

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