北京市海淀区2023-2024学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-12-25 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 一元二次方程 $x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）

A、 $1，3 ， 1$ B、 $1，3 ， - 1$ C、 $0 ， - 3，1$ D、 $0 ， - 3 ， - 1$

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2. 下列图形中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 已知点 $A (- 1 ， y_{1}) ， B (2 ， y_{2})$ 在抛物线 $y = 3 x^{2}$ 上，则 $y_{1} ， y_{2}$ 的大小关系正确的是（）

A、 $y_{1} < y_{2}$ B、 $y_{1} = y_{2}$ C、 $y_{1} > y_{2}$ D、不能确定

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4. 一元二次方程 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ 经过配方变形为 $(x - 2)^{2} = k$ ，则 $k$ 的值是（）

A、 $- 3$ B、 $- 7$ C、 $1$ D、 $7$

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5. 将抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 向下平移，关于平移前后的抛物线，下列说法正确的是（）

A、开口方向改变 B、开口大小改变 C、对称轴不变 D、顶点位置不变

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6. 陀螺是一款常见的玩具．图 $1$ 为通过折纸制作的一种陀螺，图 $2$ 为这种陀螺的示意图．若将图 $2$ 中的图案绕点 $O$ 旋转 $x^{\circ}$ 可以与自身重合，则 $x$ 的值可以是（）

A、 $30$ B、 $45$ C、 $60$ D、 $105$

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7. 小明热爱研究鸟类，每年定期去北京各个湿地公园观鸟．从他的观鸟记录年度总结中摘取部分数据如下：
观鸟记录年度总结

$2020$ 年：观测鸟类 $150$ 种
$2021$ 年：观测鸟类
$2022$ 年：观测鸟类 $216$ 种

设小明从 $2020$ 年到 $2022$ 年观测鸟类种类数量的年平均增长率为 $x$ ，则下列方程正确的是（）

A、 $2 \times 150 x = 216$ B、 $150 x^{2} = 216$ C、 $150 + 150 x^{2} = 216$ D、 $150 {(1 + x)}^{2} = 216$

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8. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A C$ 为对角线，将 $A C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $α (0^{\circ} < α ⩽ 90^{\circ})$ ，得到线段 $A E$ ，连接 $C E .$ 设 $A B = a ， C E = b$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $α = 30^{\circ}$ ，则 $b = \frac{1}{2} a$ B、若 $a = 45^{\circ}$ ，则 $b = \sqrt{2} a$ C、若 $α = 60^{\circ}$ ，则 $b = a$ D、若 $α = 90^{\circ}$ ，则 $b = 2 a$

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二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9. 方程 $x^{2} - 4 = 0$ 的解是．

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10. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (3，4)$ 与点 $B$ 关于原点对称，则点 $B$ 的坐标是．

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11. 请写出一个顶点在原点且开口向下的抛物线解析式．

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12. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 有两个相等的实数根，则实数 $m$ 的值为．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ B A C = 50^{\circ}$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转到 $△ A D E .$ 若 $A D ⊥ B C$ ，则旋转角的度数是．

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14. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以某点为中心，将右上方图形“
”旋转到图中左下方的位置，则旋转中心的坐标是．

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15. 如图，二次函数 $y = 2 {(x - 1)}^{2} + k$ 的图象与 $y$ 轴的交点坐标为 $(0，1)$ ，若函数值 $y < 1$ ，则自变量 $x$ 的取值范围是．

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16. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P$ 的坐标为 $(m ， n)$ ，称关于 $x$ 的方程 $x^{2} + m x + n = 0$ 为点 $P$ 的对应方程．如图，点 $A (- 1，0)$ ，点 $B (1，1)$ ，点 $C (- 2，2)$ ．
给出下面三个结论：
$①$ 点 $A$ 的对应方程有两个相等的实数根；
$②$ 在图示网格中，若点 $P (m ， n) (m ， n$ 均为整数 $)$ 的对应方程有两个相等的实数根，则满足条件的点 $P$ 有 $3$ 个；
$③$ 线段 $B C$ 上任意点的对应方程都没有实数根．
上述结论中，所有正确结论的序号是．

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三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 解方程： $x^{2} - 6 x + 2 = 0$ ．

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18. 如图， $▱ A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 交于点 $O ， E F$ 过点 $O$ 且分别与 $A D ， B C$ 交于点 $E ， F$ ．

(1)、求证： $△ A O E ≌ △ C O F$ ；

(2)、记四边形 $A B F E$ 的面积为 $S_{1}$ ，平行四边形 $A B C D$ 的面积为 $S_{2}$ ，用等式表示 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ 的关系．

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19. 已知 $m$ 是方程 $x^{2} - x - 2 = 0$ 的根，求代数式 $m (m - 1) + 5$ 的值．

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20. 已知二次函数 $y = x^{2} - 2 x$ ．

(1)、在下图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；

(2)、点 $P (- 2，7)$ 该函数的图象上 $($ 填“在”或“不在” $)$ ．

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21. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (m - 1) x + m - 2 = 0$ ．

(1)、求证：该方程总有两个实数根；

(2)、若该方程有一个根是正数，求 $m$ 的取值范围．

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22. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (- 2，4) ， B (- 2，0)$ ，将 $△ O A B$ 绕原点 $O$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$ 得到 $∆ O A' B' (A' ， B'$ 分别是 $A$ ， $B$ 的对应点 $)$ ．

(1)、在图中画出 $△ O A^{'} B^{'}$ ，点 $A ^{'}$ 的坐标为；

(2)、若点 $M (m ， 2)$ 位于 $△ O A B$ 内 $($ 不含边界 $)$ ，点 $M'$ 为点 $M$ 绕原点 $O$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$ 的对应点，直接写出 $M'$ 的纵坐标 $n$ 的取值范围．

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23. 阅读下面的材料并完成解答．
$《$ 田亩比类乘除捷法 $》$ 是我国南宋数学家杨辉的著作，其中记载了这样一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，欲先求阔步，得几何？”意思是：一块矩形田地的面积为 $864$ 平方步，只知道它的长与宽之和为 $60$ 步，问它的宽是多少步？书中记载了这个问题的几何解法：

(1)、将四个完全相同的面积为 $864$ 平方步的矩形，按如图所示的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长为步；

(2)、中间小正方形的面积为平方步；

(3)、若设矩形田地的宽为 $x$ 步，则小正方形的面积可用含 $x$ 的代数式表示为；

(4)、由 $② ③$ 可得关于 $x$ 的方程，进而解得矩形田地的宽为 $24$ 步．

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24. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象经过点 $(1，0) ， (3，0)$ ．

(1)、求该二次函数的解析式；

(2)、当 $x > 3$ 时，对于 $x$ 的每一个值，函数 $y = x + n$ 的值小于二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的值，直接写出 $n$ 的取值范围．

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25. 在投掷实心球时，球以一定的速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系 $x O y$ ，实心球从出手到落地的过程中，它的竖直高度 $y ($ 单位： $m)$ 与水平距离 $x ($ 单位： $m)$ 近似满足二次函数关系，记出手点与着陆点的水平距离为投掷距离．
小刚第一次投掷时水平距离 $x$ 与竖直高度 $y$ 的几组数据如下：
水平距离 $x / m$
$0$
$1$
$2$
$3$
$4$
竖直高度 $y / m$
$1.6$
$2.1$
$2.4$
$2.5$
$2.4$

(1)、根据上述数据，实心球运行的竖直高度的最大值为 $m$ ；

(2)、 $①$ 求小刚第一次的投掷距离；
$②$ 已知第二次投掷出手点竖直高度与第一次相同，且实心球达到最高点时水平距离与第一次也相同．若小刚第二次投掷距离比第一次远，则实心球第二次运行过程中竖直高度的最大值比第一次 $($ 填“大”或“小” $)$ ．

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26. 已知二次函数 $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + 1$ ．

(1)、若 $b = - 1$ ，求该二次函数图象的对称轴及最小值；

(2)、若对于任意的 $0 ⩽ x ⩽ 2$ ，都有 $y ⩾ - 1$ ，求 $b$ 的取值范围．

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27. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C ， ∠ A C B = 90^{\circ}$ ，点 $D$ 在 $A B$ 上 $(B D < A D)$ ，过点 $D$ 作 $D E ⊥ B C$ 于点 $E$ ，连接 $A E$ ，将线段 $E A$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$ ，得到线段 $E F$ ，连接 $D F$ ．

(1)、依题意补全图形；

(2)、求证： $F D = A B$ ；

(3)、 $D F$ 交 $B C$ 于点 $G$ ，用等式表示线段 $C E$ 和 $F G$ 的数量关系，并证明．

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28. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $M$ 不与原点重合．对于点 $P$ 给出如下定义：点 $P$ 关于点 $M$ 的对称点为 $P'$ ，点 $P'$ 关于直线 $O M$ 的对称点为 $Q$ ，称点 $Q$ 是点 $P$ 关于点 $M$ 的“转称点”．

(1)、如图，已知点 $M (t ， 0) ， P (t + 1，1)$ ，点 $Q$ 是点 $P$ 关于点 $M$ 的“转称点”．
$①$ 当 $t = 2$ 时，在图中画出点 $Q$ 的位置，并直接写出点 $Q$ 的坐标；
$② P Q$ 的长度是否与 $t$ 有关 $?$ 若无关，求 $P Q$ 的长；若有关，说明理由；

(2)、已知点 $A (3，4) ， △ A B C$ 是边长为 $2$ 的等边三角形 $($ 点 $A ， B ， C$ 按逆时针方向排列 $)$ ，点 $N$ 是点 $B$ 关于点 $C$ 的“转称点”，在 $△ A B C$ 绕点 $A$ 旋转的过程中，当 $B N$ 最大时，直接写出此时 $O B$ 的长．

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水平距离 $x / m$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
竖直高度 $y / m$	$1.6$	$2.1$	$2.4$	$2.5$	$2.4$