广西贵港市桂平市2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

试卷更新日期：2023-12-24 类型：期中考试

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一、选择题（12小题，每小题3分，共36分，每小题给出的四个选项中只有一项是正确）

1. 下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（　　）

A、3cm ， 5cm ， 10cm B、5cm ， 4cm ， 8cm C、2cm ， 4cm ， 6cm D、3cm ， 3cm ， 7cm

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2. 若分式 $\frac{1}{x + 1}$ 有意义，则x的取值范围是（　　）

A、x≠-1 B、x≠0 C、x≠1 D、x≠2

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3. 如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做蕴含的道理是（）

A、两点之间线段最短 B、三角形具有稳定性 C、经过两点有且只有一条直线 D、垂线段最短

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4. PM_2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm（1μm＝0.000001m）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有一定量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大影响，2.5μm用科学记数法可表示为（　　）

A、25×10^-⁵m B、2.5×10^-⁵m C、2.5×10^-⁶m D、0.25×10^-⁷m

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5. 下列运算正确的是（　　）

A、a+a²＝a³ B、a•a²＝a³ C、a⁶÷a²＝a³ D、（a^-¹）³＝a³

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6. 在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD ， OB＝OC ，测得AB＝5厘米，EF＝6厘米，圆形容器的壁厚是（　　）

A、5厘米 B、6厘米 C、1厘米 D、 $\frac{1}{2}$ 厘米

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7. 把分式方程 $\frac{x}{x - 2}$ +2＝ $\frac{1}{2 - x}$ 化为整式方程，正确的是（）

A、x+2＝1 B、x+2（x﹣2）＝1 C、x+2（x﹣2）＝﹣1 D、x+2＝﹣1

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8. 下列命题中，是假命题的是（）

A、三个角都是 $60 °$ 的三角形是等边三角形 B、两个锐角的和是钝角 C、若 $| a | = 3$ ，则 $a = \pm 3$ D、在同一平面内，若直线 $a ⊥ l$ ， $b ⊥ l$ ，则 $a ∥ b$

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9. 一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行81km所需的时间与逆水航行69km所需的时间相同．已知水流速度是速度2km/h ，则轮船在静水中航行的速度是（　　）

A、25km/h B、24km/h C、23km/h D、22km/h

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10. 若解分式方程 $\frac{x - 1}{x + 4}$ = $\frac{m}{x + 4}$ 产生增根，则m=（）

A、1 B、0 C、﹣4 D、﹣5

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11. 如图，△ABC中，点D ， E分别在∠ABC和∠ACB的平分线上，连接BD ， DE ， EC ，若∠D+∠E＝295°，则∠A等于（　　）

A、65° B、60° C、55° D、50°

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12. 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD＝5，点F是AD边上的动点，则BF＋EF的最小值为（）

A、7.5 B、5 C、4 D、不能确定

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二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，）

13. 当 $x =$ 时，分式 $\frac{2 x}{x + 2}$ 的值为零.

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14. 分解因式：a²+ 5a=.

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15. 如图，已知△ABC≌△ADE ， D是∠BAC平分线上一点，∠BAC＝76.6°，则∠CAE＝°．

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16. 若m、n满足|m-2|+（n-2023）²＝0，则m^-²+n⁰＝．

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17. 如图，将直角三角形纸片ABC进行折叠，使直角顶点A落在斜边BC上的点E处，并使折痕经过点C，得到折痕CD．若∠CDE=70°，则∠B=°．

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18. 如图，直线a∥b，△ABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如图①）；继续以上的平移得到图②，再继续以上的平移得到图③，…；请问在第100个图形中等边三角形的个数是．

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三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

19. 计算：（-1）×（-4）+3²÷（7-4）．

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20. 解分式方程： $\frac{3}{x - 1} = \frac{1}{x}$ ．

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21. 综合与实践

(1)、问题探究：如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在 $O A$ 和 $O B$ 上分别取点C和D，使得 $O C = O D$ ，连接 $C D$ ，以 $C D$ 为边作等边三角形 $C D E$ ，则 $O E$ 就是 $∠ A O B$ 的平分线．

请写出 $O E$ 平分 $∠ A O B$ 的依据：；

(2)、类比迁移：
小明根据以上信息研究发现： $△ C D E$ 不一定必须是等边三角形，只需 $C E = D E$ 即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在 $∠ A O B$ 的边 $O A$ ， $O B$ 上分别取 $O M = O N$ ，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线 $O C$ 是 $∠ A O B$ 的平分线，请说明此做法的理由；

(3)、拓展实践：

小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路 $A B$ 和 $A C$ ，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）

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22. 下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．
$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 6 x + 9} - \frac{2 x + 1}{2 x + 6}$ ，
＝ $\frac{(x + 3) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{2 x + 1}{2 (x + 3)}$ …第一步，
＝ $\frac{x - 3}{x + 3} - \frac{2 x + 1}{2 (x + 3)}$ …第二步，
＝ $\frac{2 （ x - 3 ）}{2 (x + 3)} - \frac{2 x + 1}{2 (x + 3)}$ …第三步，
＝ $\frac{2 x - 6 - (2 x + 1)}{2 (x + 3)}$ …第四步，
＝ $\frac{2 x - 6 - 2 x + 1}{2 x + 6}$ …第五步，
＝ $- \frac{5}{2 x + 6}$ …第六步．

(1)、任务一：填空：
①以上化简步骤中，第步是进行分式的通分，通分的依据是或填为：；
②第步开始出现错误，这一步错误的原因是；

(2)、任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果是；

(3)、任务三：根据小明同学进行分式化简的过程：完成下列分式的计算： $\frac{1}{a + 1} - \frac{a + 2}{a^{2} - 1} \cdot \frac{a^{2} - 2 a + 1}{a^{2} + 4 a + 4}$ ．

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23. 如图，△ABC为等边三角形，DE∥AC ，点O为线段BC上一点，DO的延长线与AC的延长线交于点F ， DO＝FO ．

(1)、求证：△BDE是等边三角形；

(2)、若AC＝7，FC＝3，求OC的长．

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24. 为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购买了一批书籍．其中购买A种图书花费了3000元，购买B种图书花费了1600元，A种图书的单价是B种图书的1.5倍，购买A种图书的数量比B种图书多20本．

(1)、求A和B两种图书的单价；

(2)、书店在“世界读书日”进行打折促销活动，所有图书都按8折销售学校当天购买了A种图书20本和B种图书25本，共花费多少元？

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25. 如图，已知AB＝CD ， E、F是AC上两点，且AE＝CF ， DE＝BF ，
求证：

(1)、△ABF≌△CDE ．

(2)、AD∥BC ．

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26.

(1)、组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， D、A、E三点都在直线l上，并且有 $∠ B D A = ∠ A E C = ∠ B A C = α$ ，其中α为任意锐角或钝角．请问结论 $D E = B D + C E$ 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

(2)、数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过 $△ A B C$ 的边 $A B 、 A C$ 向外作正方形 $A B D E$ 和正方形 $A C F G$ ， $A H$ 是 $B C$ 边上的高，延长 $H A$ 交 $E G$ 于点I，求证：I是 $E G$ 的中点．

(3)、某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，直线l经过点A， $B D ⊥$ 直线l， $C E ⊥$ 直线l，垂足分别为点D、E．证明： $D E = B D + C E$ ．

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