广西省南宁市2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试卷

试卷更新日期：2023-12-23 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 实数 $- 2$ 的绝对值是（）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $2$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 在以下“绿色食品、响应环保、可回收物、节水”四个标志图案中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 某省有7万名学生参加初中毕业会考，要想了解7万名学生的数学成绩，从中抽取了1000名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（）

A、这1000名考生是总体的一个样本 B、本调查是全面调查 C、7万名考生是总体 D、每位考生的数学成绩是个体

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4. 在平面直角坐标系中，点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $A_{1} (3 ， - 2)$ ，则点 $A$ 的坐标为（）

A、 $(- 3 ， - 2)$ B、 $(3 ， 2)$ C、 $(3 ， - 2)$ D、 $(- 3$ 、 $2)$

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5. 不等式组 ${\begin{array}{l} 3 x + 3 \geq 0 \\ x - 2 \leq 0 \end{array}$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图， $A B ∥ C D$ ，直线 $E F$ 分别交 $A B$ ， $C D$ 于点 $M$ ， $N$ ，将一个含有 $45 °$ 角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若 $∠ B M E = 80 °$ ，则 $∠ P N M$ 等于（）

A、 $15 °$ B、 $25 °$ C、 $35 °$ D、 $45 °$

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7. 正多边形的内角和是 $1440 °$ ，则这个正多边形是（）

A、正七边形 B、正八边形 C、正九边形 D、正十边形

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8. 下列不等式变形不正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a + c > b + c$ B、若 $a < b$ ，则 $a - 1 < b - 1$ C、若 $a > b$ ，则 $3 a > 3 b$ D、若 $a < b$ ，则 $- a < - b$

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9. 如图，在已知的 $△ A B C$ 中，按以下步骤作图：
①分别以 $B$ ， $C$ 为圆心，以大于 $B C$ 的一半长为半径作弧，两弧相交于两点 $M$ ， $N$ ；
②作直线 $M N$ 交 $A B$ 于点 $D$ ，连接 $C D$ ．
若 $C D = A C$ ， $∠ A = 50 °$ ，则 $∠ A C B =$ （）

A、 $80 °$ B、 $25 °$ C、 $105 °$ D、 $95 °$

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10. 等腰三角形的周长为13 cm，其中一边长为3 cm，则该等腰三角形的底边长为（）

A、3cm B、5cm C、7cm或3cm D、8cm

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11. 中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有 $x$ 个，甜果有 $y$ 个，则可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} x + y = 1000 \\ \frac{4}{7} x + \frac{11}{9} y = 999 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x + y = 1000 \\ \frac{7}{4} x + \frac{9}{11} y = 999 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x + y = 1000 \\ 7 x + 9 y = 999 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x + y = 1000 \\ 4 x + 11 y = 999 \end{array}$

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12. 如图， $△ A B C$ 中 $∠ B A C = 60 °$ ，将 $△ A C D$ 沿 $A D$ 折叠，使得点 $C$ 落在 $A B$ 上的点 $C'$ 处，连接 $C' D$ 与 $C' C$ ， $∠ A C B$ 的角平分线交 $A D$ 于点 $E$ ；如果 $B C' = D C'$ ；那么下列结论： $① ∠ 1 = ∠ 2$ ； $② A D$ 垂直平分 $C' C$ ； $③ ∠ B = 3 ∠ B C C'$ ； $④ D C' / / E C$ ；其中正确的有个（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）

13. 27的立方根为．

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14. 若 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 1 \end{array}$ 是方程 $x - k y = 0$ 的解，则 $k =$ ．

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15. 某品牌护眼灯的进价为 $240$ 元，商店以 $320$ 元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于 $20 %$ 的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价元．

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16. 如图，已知AB=DB，只添加一个条件就能判定△ABC≌△DBC，则你添加的条件是。(写出一个即可)

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17. 在如图所示的 $3 \times 3$ 正方形网格中， $∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 =$ 度 $.$

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18. 如图， $△ A B C$ 是等腰三角形， $A B = A C$ ， $∠ A = 45 °$ ，在腰 $A B$ 上取一点 $D$ ， $D E ⊥ B C$ ，垂足为 $E$ ，另一腰 $A C$ 上的高 $B F$ 交 $D E$ 于点 $G$ ，垂足为 $F$ ，若 $B E = 3$ ，则 $D G$ 的长为．

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三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

19. 解方程组： ${\begin{cases} x + y = 7 \\ 3 x + y = 17 \end{cases}$ ；

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四、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20. 计算： $(- 5) \times \sqrt{4} - (- 3) + (- 2)^{2} \div 4$ ．

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21.
$△ A B C$ 在平面直角坐标系中的位置如图所示．
⑴作出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 各顶点的坐标；
⑵将 $△ A B C$ 向右平移 $6$ 个单位长度，作出平移后的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；
⑶观察 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 和 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，它们是否关于某直线对称？若是，请用粗线条画出这条直线．

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22.
近年来，太原市各中小学对劳动教育日益重视，许多学校因地制宜，创造条件，精心设计花样劳动作业，让学生们多参与劳动，形成家校共育，为培养学生的自主意识，提高学生的劳动本领，某校组织全校学生开展了劳动技能大赛，通过以赛促学、以赛促育的方式，感受劳动之趣，体验劳动之美，赛后从中随机抽取了部分学生进行了问卷调查，所有问卷全部收回，并将结果绘制成如图所示的统计图和统计表：
组别
成绩 $x ($ 分 $)$
频率
$A$
$90 \leq x \leq 100$
$0.4$
$B$
$80 \leq x < 90$
$0.2$
$C$
$70 \leq x < 80$
$0.24$
$D$
$60 \leq x < 70$
$0.16$
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、小明说频数分布直方图中有一组的数据画错了，你知道是哪一组吗？该组正确的数据应该是多少？

(2)、参与本次问卷调查的总人数为名；

(3)、若该校共有 $2800$ 名学生，请估计本次劳动技能大赛中成绩在 $80$ 分及以上的学生人数；

(4)、针对此次劳动技能大赛，请结合上述调查数据，写出一条你获取的信息．

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23.
综合与实践

(1)、【动手实验】数学课上，老师带领同学们对角的平分线的性质进行探究：
同学们任意作一个 $∠ A O B$ ，作出 $∠ A O B$ 的平分线 $O C .$ 在 $O C$ 上任取一点 $P$ ，过点 $P$ 画出 $O A$ ， $O B$ 的垂线，分别记垂足为 $D$ ， $E$ ，测量 $P D$ ， $P E .$ 第一小组的测量结果如下：
学生
$P D (c m)$
$P E (c m)$
学生
$P D (c m)$
$P E (c m)$
小明
$0.5$
$0.5$
小刚
$1.1$
$1.1$
小红
$0.8$
$0.8$
小丽
$1.3$
$1.3$
通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？

(2)、【推理证明】请结合图 $1$ ，利用三角形全等证明这个性质．
如图1，已知： $∠ A O C = ∠ B O C$ ，点 $P$ 在 $O C$ 上， $P D ⊥ O A$ ， $P E ⊥ O B$ ，垂足分别为 $D$ ， $E .$ 求证： $P D = P E$ ．

(3)、【定理应用】如图2，点 $P$ 是 $∠ A O C$ 的角平分线上一点， $P D ⊥ O A$ ，垂足为点 $D$ ，且 $P D = 3$ ，点 $M$ 是射线 $O C$ 上一动点，求 $P M$ 的最小值．

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24. 某企业有 $20$ 个车间，计划为每个车间各配 $4$ 副乒乓球拍和 $m (m > 100)$ 个乒乓球 $.$ 工会人员经过市场走访，发现甲、乙两个文体用品商店销售同一款乒乓球拍和乒乓球，且售价均相同 $.$ 经过询问，工会人员发现购买 $2$ 副乒乓球拍和 $10$ 个乒乓球需支付 $110$ 元；购买 $3$ 副乒乓球拍和 $20$ 个乒乓球需支付 $170$ 元．

(1)、求乒乓球拍和乒乓球的单价．

(2)、为了促销，甲、乙两个商店均提出优惠方案：
优惠方案
甲商店：买一副乒乓球拍送 $10$ 个乒乓球；
乙商店：乒乓球拍和乒乓球均按售价的九折出售．
若工会人员只在一个商店购买，试说明在哪个商店购买更划算．

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25. 已知：如图，
四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = ∠ B C D$ ， $∠ A B C + ∠ A D C = 180 °$ ．

(1)、如图 $1$ ，求 $∠ B C D$ 的度数；

(2)、如图 $2$ ，若 $∠ A C B = 50 °$ ， $∠ B A E + ∠ D A C = ∠ D F C$ ，求 $∠ G$ 的度数；

(3)、如图 $3$ ，在 $(2)$ 的条件下，若 $A G = A C$ ， $S_{△ A C D}$ ： $S_{△ A D G} = 3$ ： $7$ ， $2 ∠ A D G + ∠ C D G = 180 °$ ， $D C = 5$ ，求 $D G$ 的长.

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26. 在平面直角坐标系中有一等腰三角形 $A B C$ ，点 $A$ 在 $y$ 轴正半轴上，点 $B$ 在 $x$ 轴负半轴上．

(1)、如图 $1$ ，点 $C$ 在第一象限，若 $∠ B A C = 90 °$ ， $A$ 、 $B$ 两点的坐标分别是 $A (0 ， 4)$ ， $B (- 2 ， 0)$ ，求 $C$ 点的坐标；

(2)、如图 $2$ ，点 $C$ 在 $x$ 正半轴上，点 $E$ 、 $F$ 分别是边 $B C$ 、 $A B$ 上的点， $∠ A E F = ∠ A C B = 2 ∠ O A E .$ 求证： $B F = C E$ ；

(3)、如图 $3$ ，点 $C$ 与点 $O$ 重合时点 $E$ 在第三象限， $B E ⊥ A E$ ，连接 $O E$ ，求 $∠ B E O$ 的度数．

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组别	成绩 $x ($ 分 $)$	频率
$A$	$90 \leq x \leq 100$	$0.4$
$B$	$80 \leq x < 90$	$0.2$
$C$	$70 \leq x < 80$	$0.24$
$D$	$60 \leq x < 70$	$0.16$

学生	$P D (c m)$	$P E (c m)$	学生	$P D (c m)$	$P E (c m)$
小明	$0.5$	$0.5$	小刚	$1.1$	$1.1$
小红	$0.8$	$0.8$	小丽	$1.3$	$1.3$