广东省韶关市新丰县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-12-23 类型：期中考试

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一、选择题：本大题共计10小题，每小题 3 分，共计30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 下列关于 $x$ 的方程中，一定是一元二次方程的是（）

A、 $x - 1 = 0$ B、 $x^{3} + x = 3$ C、 $x^{2} + 3 x - 5 = 0$ D、 $a x^{2} + b x + c = 0$

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2. 二次函数 $y = x^{2} - 2 x - 1$ 的图象与x轴的交点个数是（）．

A、0个 B、1个 C、2个 D、不能确定

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3. 下列正多边形，绕其中心旋转 $7 2^{∘}$ 后，能和自身重合的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 为丰富乡村文本生活，某区准备组织首届“美丽乡村”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，设邀请 $x$ 个球队参加比赛，可列方程得（）

A、 $\frac{1}{2} x (x - 1) = 28$ B、 $\frac{1}{2} x (x + 1) = 28$ C、 $x (x - 1) = 28$ D、 $x (x + 1) = 28$

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5. 将抛物线 $y = x^{2}$ 通过一次平移可得抛物线 $y = x^{2} - 5$ ，对此平移过程描述正确的是（）

A、向上平移5个单位长度 B、向下平移5个单位长度 C、向左平移5个单位长度 D、向右平移5个单位长度

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6. 关于 $y = 2 {(x - 3)}^{2} + 2$ 的图象，下列叙述正确的是（）

A、其图像开口向下 B、其最小值为2 C、当 $x > 3$ 时 $y$ 随 $x$ 增大而减小 D、其图像的对称轴为直线 $x$ =-3

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7. 已知点 $(- 4 ， y_{1})$ 、 $(- 1 ， y_{2})$ 、 $(2 ， y_{3})$ 都在函数 $y = - x^{2} + 5$ 的图象上，则 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 、 $y_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ B、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$ C、 $y_{2} > y_{3} > y_{1}$ D、 $y_{3} > y_{1} > y_{2}$

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8. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，则函数值 $y < 0$ 时x的取值范围是（）

A、 $x < - 1$ B、x＞3 C、－1＜x＜3 D、 $x < - 1$ 或x＞3

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9. 三角形两边长分别为2和4，第三边是方程 $x^{2} - 11 x + 30 = 0$ 的解，则这个三角形的周长是（）

A、11 B、11或12 C、12 D、10

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10. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的对称轴为直线 $x = 1$ ，则下列结论中，错误的是（　　）　

A、 $a c < 0$ B、 $2 a - b = 0$ C、 $b^{2} - 4 a c > 0$ D、 $a - b + c = 0$

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二、填空题：本大题共计5小题，每小题3分，共计15分．

11. 一元二次方程 $x^{2} - 3 = 0$ 的解为．

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12. 如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为．

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13. 关于x的一元二次方程 $x^{2} + m x - 6 = 0$ 的一个根为2，则另一个根是．

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14. 若抛物线 $y = x^{2} - x + k$ 与x轴只有一个交点，则k的值为.

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15. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A B = 5 ， B C = 3$ ，将 $△ A B C$ 绕A点按顺时针旋转 $60 °$ ，得到 $△ A B^{'} C^{'}$ ，则 $C C^{'} =$ ．

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三、解答题（一）：本大题共计3小题，每小题8分，共计24分．

16. 求二次函数 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 图象的顶点坐标和对称轴．

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17. 按要求解下列方程：

(1)、 $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ ；（配方法）

(2)、 $2 x^{2} + 4 x - 3 = 0$ ．（公式法）

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18. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x$ 经过 $(1 ， 3)$ 和 $(- 1 ， - 1)$ 两点．

(1)、求此抛物线的函数表达式；

(2)、判断点 $B (2 ， 6)$ 是否在此抛物线上．

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四、解答题（二）：本大题共计3小题，每小题9分，共计27分．

19. 某西瓜地种植一种优质无籽西瓜，随着种植技术的改进，产量从 $2021$ 的 $20 t$ 增加到 $2023$ 年的 $28.8 t$ ．

(1)、求这种无籽西瓜平均每年增产的百分率；

(2)、若平均每年增产率不变， $2025$ 年该西瓜地的无籽西瓜产量能突破 $40 t$ 吗？

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20. 某公路有一个抛物线形状的隧道ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y＝- $\frac{1}{10}$ x²+c且过顶点C（0，5）.（长度单位：m）

(1)、直接写出c＝；

(2)、求该隧道截面的最大跨度（即AB的长度）是多少米？

(3)、该隧道为双向车道，现有一辆运货卡车高4米、宽3米，问这辆卡车能否顺利通过隧道？请说明理由.

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21. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨x（ $0 < x \leq 20$ ）元．

(1)、售价上涨x元后，该商场平均每月可售出个台灯（用含x的代数式表示）；

(2)、为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？

(3)、台灯售价定为多少元时，每月销售利润最大？

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五、解答题（三）：本大题共计2小题，每小题12分，共计24分．

22. 请阅读下列解方程 $x^{4} - 2 x^{2} - 3 = 0$ 的过程．
解：设 $x^{2} = t$ ，则原方程可变形为 $t^{2} - 2 t - 3 = 0$ ，即 $(t - 3) (t + 1) = 0$ ，得 $t_{1} = 3$ ， $t_{2} = - 1$ ．
当 $t = 3$ ， $x^{2} = 3$ ， ∴ $x_{1} = \sqrt{3}$ ， $x_{2} = - \sqrt{3}$ ，当 $t = - 1$ ， $x^{2} = - 1$ ，无解．
所以，原方程的解为 $x_{1} = \sqrt{3}$ ， $x_{2} = - \sqrt{3}$ ．
这种解方程的方法叫做换元法．
用上述方法解下面两个方程：

(1)、 $x^{4} - x^{2} - 6 = 0$ ；

(2)、 ${(x^{2} + 2 x)}^{2} - 2 (x^{2} + 2 x) - 3 = 0$ ．

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23. 综合与探究
如图，经过 $B (3 ， 0)$ ， $C (0 ， - 3)$ 两点的抛物线 $y = x^{2} - b x + c$ 与 $x$ 轴的另一个交点为 $A$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点 $D$ 在抛物线的对称轴上，当 $△ A C D$ 的周长最小时，求 $D$ 的坐标；

(3)、已知点 $M$ 在抛物线上，求 $S_{△ A B M} = 8$ 时的点 $M$ 坐标；

(4)、已知 $E (2 ， - 3)$ ，请直接写出能以点 $A$ ， $B$ ， $E$ ， $P$ 为顶点的四边形是平行四边形的点 $P$ 坐标．

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广东省韶关市新丰县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

一、选择题：本大题共计10小题，每小题 3 分，共计30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

二、填空题：本大题共计5小题，每小题3分 ，共计15分．

三、解答题（一）：本大题共计3小题，每小题8分，共计24分．

四、解答题（二）：本大题共计3小题，每小题9分，共计27分．

五、解答题（三）：本大题共计2小题，每小题12分，共计24分．

二、填空题：本大题共计5小题，每小题3分，共计15分．