广西壮族自治区来宾市兴宾区2023-2024学年八年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-12-23 类型：期中考试

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一、选择题（共12小题，每题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的.）

1. 下列代数式中，是分式的是（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{x + 1}{2}$ C、 $\frac{2}{x + 1}$ D、 $x - 1$

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2. 下列每组数分别表示三根木棒的长度，能摆成三角形的一组是（）

A、2、3、6 B、2、3、5 C、2、4、7 D、3、4、5

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3. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有 $0.00003 k g$ 左右，0.00003用科学记数法可表示为（　　）

A、 $3 \times 1 0^{- 5}$ B、 $3 \times 1 0^{- 4}$ C、 $0.3 \times 1 0^{- 4}$ D、 $0.3 \times 1 0^{- 5}$

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4. 分式 $\frac{1}{2 x}$ 与 $\frac{2}{3 x^{2}}$ 的最简公分母是（　　）

A、 $5 x^{2}$ B、 $5 x^{3}$ C、 $6 x^{2}$ D、 $6 x^{3}$

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5. 若式子 $\frac{| x | - 3}{x + 3}$ 的值为 $0$ ，则 $x$ 的值是（）

A、 $3$ B、 $- 3$ C、 $\pm 3$ D、 $0$

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6. 计算： ${(- 2 x)}^{- 2}$ 的结果为（　　）

A、 $\frac{1}{4 x^{2}}$ B、 $\frac{4}{x^{2}}$ C、 $\frac{1}{4 x^{2}}$ D、 $- \frac{4}{x^{2}}$

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7. 下列命题中，是真命题的是（　　）

A、相等的角是对顶角 B、垂线段最短 C、三角形的外角和等于 $180 °$ D、三角形的外角大于它的内角

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8. 如图，已知 $∠ A B C = ∠ B A D$ ，下列条件中，不能作为判定 $△ A B C ≌ △ A B C$ 的条件是（　　）

A、 $A C = D B$ B、 $B C = A D$ C、 $∠ C = ∠ D$ D、 $∠ B A C = ∠ A B D$

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9. 下列等式中，错误的是（　　）

A、 $202 3^{0} \times 1^{2023} = 2023$ B、 ${(a^{- 3})}^{-}^{2} = a^{6}$ C、 $4^{- 1} = \frac{1}{4}$ D、 $\frac{0.7 a + b}{0.2 a - 0.3 b} = \frac{7 a + 10 b}{2 a - 3 b}$

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10. 如图，等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 10$ ， $B C = 5$ ， AB的垂直平分线DE交AB于点D ，交AC于点E ，则 $△ B E C$ 的周长为（　　）

A、12 B、8 C、15 D、13

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11. 某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书.若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（）

A、 $\frac{1080}{x} = \frac{1080}{x - 15} + 6$ B、 $\frac{1080}{x} = \frac{1080}{x - 15} - 6$ C、 $\frac{1080}{x + 15} = \frac{1080}{x} - 6$ D、 $\frac{1080}{x + 15} = \frac{1080}{x} + 6$

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12. 如图， $A D 、 B E$ 是 $△ A B C$ 的中线，则下列结论中，正确的个数有（　　）

(1)、 $S_{△ A O E} = S_{△ C O E}$ ；（2） $S_{△ A O B} = S_{四边形 E O D C}$ ；（3） $S_{△ B O C} = 2 S_{△ C O E}$ ；（4） $S_{△ A B C} = 4 S_{△ B O C}$ ．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.）

13. 要使分式 $\frac{2 - x}{x - 1}$ 有意义，则x的取值范围是．

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14. 计算： $m^{6} n^{2} \div m^{2} n =$ ．

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15. 如图，上午9时，一艘船从A处出发，以每小时20海里的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A ， B两点观望灯塔C ，测得 $∠ D A C = 42 ° ， ∠ D B C = 84 °$ ，则从B处到灯塔C的距离为海里．

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16. 命题“绝对值相等的两个数互为相反数”．写成“如果⋯，那么⋯”的形式为

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17. 如图，在△ABC中，点D在BC边上，BD＝AD＝AC ， E为CD的中点．若∠CAE＝18°，则∠B为．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 为 $B C$ 边的中线，E为 $A D$ 上一点，连接 $B E$ 并延长交 $A C$ 于点F，若 $∠ A E F = ∠ F A E$ ， $B E = 4$ ， $E F = 1.6$ ，则 $C F$ 的长为.

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三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

19. 解方程：

(1)、 $\frac{2 x + 1}{3 - x} = - 1$ ；

(2)、 $\frac{2}{x^{2} - 1} - \frac{1}{x^{2} + x} = 0$ ．

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20. 先化简，再求值： $\frac{x^{2} - 4 x + 4}{x^{2} - 1} \div \frac{x^{2} - 2 x}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}$ ，其中 $| x | = 2$ ．

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21. 如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O．

(1)、求证：△AEC≌△BED；

(2)、若∠1=42°，求∠BDE的度数．

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22. 观察下面的计算：
① $2 \times \frac{2}{1} = \frac{4}{1}$ ， $2 + \frac{2}{1} = \frac{4}{1}$ ，即为 $2 \times \frac{2}{1} = 2 + \frac{2}{1}$ ；
② $3 \times \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$ ， $3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$ ，即为 $3 \times \frac{3}{2} = 3 + \frac{3}{2}$ ；
③ $4 \times \frac{4}{3} = \frac{16}{3}$ ， $4 + \frac{4}{3} = \frac{16}{3}$ ，即为 $4 \times \frac{4}{3} = 4 + \frac{4}{3}$ ；
④ $5 \times \frac{5}{4} = \frac{25}{4}$ ， $5 + \frac{5}{4} = \frac{25}{4}$ ，即为 $5 \times \frac{5}{4} = 5 + \frac{5}{4}$ ；

(1)、根据上面的计算，请你写出第9个的等式即为；

(2)、根据上面的计算，请你猜想第n个的等式即为；

(3)、请你证明你的猜想．

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23. 如图，已知△ABC.

(1)、求作BC边上高AD，交BC于点D，∠BAC的平分线AE，交BC于点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.

(2)、若∠B＝35°，∠C＝65°，求∠DAE的度数.

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24. 某公司接到制作15000件冰墩墩的订单，为了尽快完成任务，该公司实际每天制作冰墩墩的件数是原计划每天制作件数的1.5倍，结果提前10天完成任务．

(1)、求原计划每天制作多少件冰墩墩？

(2)、该公司原计划每天支付给工人的总工资是1000元，实际每天支付给工人的总工资比原计划增长了 $20 %$ ，完成任务后，该公司实际支付的工资与原计划相比多还是少？多或者少的具体数额是多少？

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25. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $C B ⊥ A B$ 于点B ， $C D ⊥ A D$ 于点D ，点E ， F分别在 $A B$ ， $A D$ 上， $A E = A F$ ， $C E = C F$ ．

(1)、求证： $C B = C D$ ；

(2)、若 $A E = 8$ ， $C D = 6$ ，求四边形 $A E C F$ 的面积；

(3)、猜想 $∠ D A B$ ， $∠ E C F$ ， $∠ D F C$ 三者之间的数量关系，并证明你的猜想．

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26. 综合与实践——探索图形平移中的数学问题：
问题情境：如图1，已知 $△ A B C$ 是等边三角形， $A B = 6$ ，点 $D$ 是 $A C$ 边的中点，以 $A D$ 为边，在 $△ A B C$ 外部作等边三角形 $A D E$ ．
操作探究：将 $△ A D E$ 从图1的位置开始，沿射线 $A C$ 方向平移，点 $A$ 、 $D$ 、 $E$ 的对应点分别为点 $A^{'}$ 、 $D^{'}$ 、 $E^{'}$ ；

(1)、如图2，善思小组的同学画出了 $B A^{'} = B D^{'}$ 时的情形，求此时 $△ A D E$ 平移的距离．

(2)、如图3，点 $F$ 是 $B C$ 的中点，在 $△ A D E$ 平移过程中，连接 $E^{'} F$ 交射线 $A C$ 于点 $O$ ，敏学小组的同学发现 $O E^{'} = O F$ 始终成立，请你证明这一结论．

(3)、拓展延伸：
在 $△ A D E$ 平移的过程中，直接写出以 $F$ 、 $D^{'}$ 、 $E^{'}$ 为顶点的三角形成为直角三角形时， $△ A D E$ 平移的距离是．

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