2013年全国高考理数真题试卷（新课标Ⅱ卷）

试卷更新日期：2016-09-28 类型：高考真卷

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一、选择题：在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合M={x|（x﹣1）²＜4，x∈R}，N={﹣1，0，1，2，3}，则M∩N=（）

A、{0，1，2} B、{﹣1，0，1，2} C、{﹣1，0，2，3} D、{0，1，2，3}

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2. 设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=（）

A、﹣1+i B、﹣1﹣i C、1+i D、1﹣i

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3. 等比数列{a_n}的前n项和为S_n ，已知S₃=a₂+10a₁ ， a₅=9，则a₁=（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、- $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、- $\frac{1}{9}$

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4. 已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）

A、α∥β且l∥α B、α⊥β且l⊥β C、α与β相交，且交线垂直于l D、α与β相交，且交线平行于l

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5. 已知（1+ax）（1+x）⁵的展开式中x²的系数为5，则a=（）

A、﹣4 B、﹣3 C、﹣2 D、﹣1

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6.
执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=（）

A、 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{10}$ B、 $1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots + \frac{1}{10!}$ C、 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{11}$ D、 $1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots + \frac{1}{11!}$

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7. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 设a=log₃6，b=log₅10，c=log₇14，则（）

A、c＞b＞a B、b＞c＞a C、a＞c＞b D、a＞b＞c

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9. 已知a＞0，实数x，y满足： ${\begin{matrix} x \geq 1 \\ x + y \leq 3 \\ y \geq a (x - 3) \end{matrix}$ ，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）

A、2 B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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10. 已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，下列结论中错误的是（）

A、∃x_α∈R，f（x_α）=0 B、函数y=f（x）的图象是中心对称图形 C、若x_α是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x_α）单调递减 D、若x_α是f（x）的极值点，则f′（x_α）=0

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11. 设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（）

A、y²=4x或y²=8x B、y²=2x或y²=8x C、y²=4x或y²=16x D、y²=2x或y²=16x

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12. 已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（）

A、（0，1） B、 $(1 - \frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{1}{2})$ C、 $(1 - \frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{1}{3}]$ D、 $[\frac{1}{3} ， \frac{1}{2})$

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二、填空题

13. 已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 $\vec{A E} \cdot \vec{B D}$ = ．

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14. 从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为 $\frac{1}{14}$ ，则n= ．

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15. 设θ为第二象限角，若 $\tan (θ + \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$ ，则sinθ+cosθ= ．

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16. 等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，已知S₁₀=0，S₁₅=25，则nS_n的最小值为．

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三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤：

17. △ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．

(1)、求B；

(2)、若b=2，求△ABC面积的最大值．

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18. 如图，直棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，D，E分别是AB，BB₁的中点，AA₁=AC=CB= $\frac{\sqrt{2}}{2}$ AB．

(1)、证明：BC₁∥平面A₁CD

(2)、求二面角D﹣A₁C﹣E的正弦值．

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19. 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以x（单位：t，100≤x≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．

(1)、将T表示为x的函数；

(2)、根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；

(3)、在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x∈[100，110））则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入[100，110）的频率，求T的数学期望．

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20. 平面直角坐标系xOy中，过椭圆M： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣ $\sqrt{3}$ =0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求M的方程

(2)、C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．

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21. 已知函数f（x）=e^x﹣ln（x+m）

(1)、设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；

(2)、当m≤2时，证明f（x）＞0．

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22. 如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC•AE=DC•AF，B、E、F、C四点共圆．

(1)、证明：CA是△ABC外接圆的直径；

(2)、若DB=BE=EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．

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23. 选修4﹣﹣4；坐标系与参数方程
已知动点P，Q都在曲线C： ${\begin{matrix} x = 2 \cos β \\ y = 2 \sin β \end{matrix} (β 为参数)$ 上，对应参数分别为β=α与β=2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点．

(1)、求M的轨迹的参数方程

(2)、将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．

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24. 设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：

(1)、 $a b + b c + c a \leq \frac{1}{3}$

(2)、 $\frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{2}}{c} + \frac{c^{2}}{a} \geq 1$ ．

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