人教A版高一（上）数学期末突击训练专题：第五章（解答题）

试卷更新日期：2023-12-22 类型：复习试卷

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一、解答题

1. 人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ，则曼哈顿距离为： $d (A ， B) = | x_{1} - x_{2} | + | y_{1} - y_{2} |$ ，余弦相似度为： $c o s (A ， B) = \frac{x_{1}}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}} \times \frac{x_{2}}{\sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}} + \frac{y_{1}}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}} \times \frac{y_{2}}{\sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}}$ ，余弦距离为 $1 - c o s (A ， B)$

(1)、若 $A (- 1 ， 2)$ ， $B (\frac{3}{5} ， \frac{4}{5})$ ，求A，B之间的曼哈顿距离 $d (A ， B)$ 和余弦距离；

(2)、已知 $M (s i n α ， c o s α)$ ， $N (s i n β ， c o s β)$ ， $Q (s i n β ， - c o s β)$ ，若 $c o s (M ， N) = \frac{1}{5}$ ， $c o s (M ， Q) = \frac{2}{5}$ ，求 $t a n α t a n β$ 的值

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2. 已知 $tan θ = 2$ ，计算：

(1)、 $\frac{3 sin θ + 2 cos θ}{3 sin θ - cos θ}$

(2)、 $sin θ cos θ$ .

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3. 已知向量 $\vec{m} = (s i n x ， 3 c o s x)$ ， $\vec{n} = (s i n x + 2 \sqrt{3} c o s x ， c o s x)$ ，令函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ .

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的表达式及其单调增区间；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图像向右平移 $t (t > 0)$ 个单位得到函数 $y = g (x)$ 的图像，且满足 $g (- x) = g (x)$ ，当 $t$ 最小时，存在实数 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 使得 $f (x_{1}) - g (x_{2}) = 4$ ，求 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值.

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4. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + ϕ) (A > 0 ， ω > 0 ， | ϕ | < π)$ ，在同一周期内，当 $x = \frac{π}{12}$ 时， $f (x)$ 取得最大值3；当 $x = \frac{7 π}{12}$ 时， $f (x)$ 取得最小值-3.

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间.

(2)、若 $x \in [- \frac{π}{3} ， \frac{π}{6}]$ 时，函数 $h (x) = 2 f (x) + 1 - m$ 有两个零点，求实数 $m$ 的取值范围.

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5. 已知 $f (x) = \sin^{2} (x + \frac{π}{8}) + \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4}) \cos (x + \frac{π}{4}) - \frac{1}{2}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若函数 $y = | f (x) | - m$ 在区间 $[- \frac{5}{24} π ， \frac{3}{8} π]$ 上恰有两个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ．
①求 $m$ 的取值范围；

②求 $\sin (x_{1} + x_{2})$ 的值．

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6. 在①函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称，②函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (\frac{π}{6} ， 0)$ 对称，③函数 $y = f (x)$ 的图象经过点 $Q (\frac{2 π}{3} ， - 1)$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
问题：已知函数 $f (x) = \sin ω x \cos φ + \cos ω x \sin φ (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 最小正周期为 $π$ ，且 ▲ ，判断函数 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{2})$ 上是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时的 $x$ 值；若不存在，说明理由．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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7. 已知函数 $f (x) = \sin^{4} x + 2 \sin x \cos x - \cos^{4} x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最大值及取得最大值时相应的自变量x的取值集合.

(2)、若函数 $g (x) = f (ω x)$ 在区间 $[0 ， π]$ 内恰有四个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ .
①求实数 $ω$ 的取值范围；

②当 $| x_{1} - x_{2} | = | x_{3} - x_{4} | = \frac{π}{2}$ 时，求实数 $ω$ 的值及相应的四个零点.

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8. 已知函数 $f (x) = \cos^{2} x + \sqrt{3} \sin x \cos x - \frac{1}{2}$ .
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

（Ⅱ）若 $f (x)$ 在区间 $[0 ， m]$ 上的最大值为 $1$ ，求 $m$ 的最小值.

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9. 已知函数 $f (x) = \sqrt{2} \sin (2 x + φ) (- π < φ < 0)$ 图象的一条对称轴是直线 $x = \frac{π}{8}$ ，且 $f (0) < 0$ .

(1)、求 $φ$ ；

(2)、求 $f (x)$ 的单调递减区间；

(3)、求 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的值域

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10. 计算下列各式的值：

(1)、 $c o s^{2} 15 ° - s i n^{2} 15 °$ ；

(2)、 $\frac{1 + t a n 15 °}{1 - t a n 15 °}$ ；

(3)、 $s i n^{2} 10 ° + c o s^{2} 55 ° + \sqrt{2} s i n 10 ° c o s 55 °$ ．

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11. 已知锐角 $α$ 的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点 $P (1 ， 4 \sqrt{3})$ ．

(1)、求 $s i n (α + \frac{π}{3})$ 的值；

(2)、若 $s i n (α + β) = \frac{5 \sqrt{3}}{14}$ ， $0 < β < \frac{π}{2}$ ，求角 $β$ 的值．

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12. 已知 $s i n α + c o s β = 1$ ， $c o s α + s i n β = 0$ ，求

(1)、 $s i n (α + β)$ ；

(2)、 $s i n (α - β)$ ．

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13. 已知 $c o s (α - \frac{β}{2}) = - \frac{2 \sqrt{7}}{7}$ ， $s i n (\frac{α}{2} - β) = \frac{1}{2}$ ， $\frac{π}{2} < α < π$ ， $0 < β < \frac{π}{2}$ ，求：

(1)、 $c o s \frac{α + β}{2}$ 的值；

(2)、 $t a n (α + β)$ 的值.

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14. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (\frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ 在以原点 $O$ 为圆心半径等1的圆上，将射线 $O A$ 绕原点 $O$ 逆时针方向旋转 $α$ 后交该圆于点 $B$ ，设点 $B$ 的横坐标为 $f (α)$ ，纵坐标 $g (α)$ .

(1)、如果 $s i n α = m$ ， $0 < m < 1$ ，求 $f (α) + g (α)$ 的值（用 $m$ 表示）；

(2)、如果 $\frac{f (α)}{g (α)} = 2$ ，求 $f (α) \cdot g (α)$ 的值.

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15. 已知函数 $f (x) = 2 \sin \frac{x}{2} (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}) + 1$ ， $g (x) = \sin 2 x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调增区间；

(2)、若 $m f (x)$ ≤ $g (x)$ 对任意的 $x \in [0 ， \frac{π}{4}]$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

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16. 已知 $f (x) = 2 \sin^{2} (\frac{π}{4} + \frac{x}{2}) - 1$ .

(1)、求函数 $g (x) = f (2 x - \frac{π}{3})$ 的递增区间；

(2)、是否存在实数 $k$ ，使得不等式 $f (2 x) + (k - 4) f (x) + (k - 4) f (x + \frac{π}{2}) < 3$ 对任意 $x \in [- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 恒成立？若存在，求出 $k$ 的取值范围；若不存在，说明理由．

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17. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ ，其中 $ω > 0$ ， $| ϕ | < \frac{π}{2}$ ，分别求满足下列条件的函数 $y = f (x)$ 的解析式.

(1)、 $A = 2$ ， $ω = 1$ ， $f (\frac{π}{3}) = 2$ .

(2)、 $A = 2$ ， $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是 $y = f (x)$ 的两个相异零点， $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为 $\frac{π}{2}$ ，且 $y = f (x)$ 的图像向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后关于 $y$ 轴对称.

(3)、 $ω = \frac{π}{4}$ ， $f (4) = 3$ ，对任意的实数 $a$ ，记 $y = f (x)$ 在区间 $[a ， a + 2]$ 上的最大值为 $M (a)$ ，最小值为 $m (a)$ ， $h (a) = M (a) - m (a)$ ，函数 $y = h (a)$ 的值域为 $[6 - 3 \sqrt{2} ， 6 \sqrt{2}]$ .

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18. 已知函数 $f (x) = s i n x c o s x - \sqrt{3} s i n^{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、若存在 $x \in [- \frac{π}{3}$ ， $\frac{π}{6}]$ ，使得 $f (x) ⩾ a$ 成立，则求 $a$ 的取值范围；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象上每个点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，得到函数 $g (x)$ 的图象，求函数 $y = g (x) + \frac{1}{2}$ 在区间 $[- \frac{π}{2}$ ， $\frac{π}{2}]$ 内的所有零点之和．

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19. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (\frac{1}{2} ω x) c o s (\frac{1}{2} ω x + φ)$ ， $ω > 0$ ， $| φ | \leq \frac{π}{2}$ ．

(1)、当 $ω = 2$ ， $φ = \frac{π}{3}$ 时，
①求 $f (x)$ 的单调递增区间 $；$
②当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，关于 $x$ 的方程 $10 [f (x)]^{2} - (10 m + 1) f (x) + m = 0$ 恰有4个不同的实数根，求 $m$ 的取值范围．

(2)、函数 $g (x) = f (x) + s i n φ$ ， $x = - \frac{π}{4}$ 是 $g (x)$ 的零点，直线 $x = \frac{π}{4}$ 是 $g (x)$ 图象的对称轴，且 $g (x)$ 在 $(\frac{π}{18} ， \frac{5 π}{36})$ 上单调，求 $ω$ 的最大值.

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20. 已知函数 $f (x) = 2 s i n \frac{x}{2} c o s \frac{x}{2} + 2 \sqrt{3} c o s^{2} \frac{x}{2} - \sqrt{3}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、若不等式 $| f (x) - m | \leq 3$ 对任意 $x \in [- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 恒成立，求整数m的最大值；

(3)、若函数 $g (x) = f (\frac{π}{2} - x)$ ，将函数 $g (x)$ 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变），再向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位，得到函数 $y = h (x)$ 的图象，若关于x的方程 $\frac{1}{2} h (x) - k (s i n x + c o s x) = 0$ 在 $x \in [- \frac{π}{12} ， \frac{5 π}{12}]$ 上有解，求实数k的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $| φ | < π$ ），其图象一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差 $\frac{π}{4}$ ， ____；从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中．
①函数 $f (x)$ 向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到的图象关于 $y$ 轴对称且 $f (0) < 0$ ．
②函数 $f (x)$ 的一条对称轴为 $x = - \frac{π}{3}$ 且 $f (\frac{π}{6}) < f (1)$ ；

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $x \in [\frac{π}{2} ， \frac{17 π}{12}]$ ，方程 $f^{2} (x) + (4 - a) f (x) + 3 - a = 0$ 存在4个不相等的实数根，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (2 x - \frac{π}{6})$ ，将 $f (x)$ 的图像向左平移 $\frac{11 π}{12}$ 个单位长度，再将纵坐标缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ ，横坐标不变，得到 $g (x)$ 的图象．

(1)、求 $g (x)$ 的函数解析式；

(2)、若关于x的方程 $g (x) + 2 - m = 0$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．

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23. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 在一个周期内的图像如图所示.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设 $0 < x < \frac{π}{2}$ ，且方程 $f (x) = m$ 有两个不同的实数根，求实数 $m$ 的取值范围.

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24. 已知数 $f (x) = \sqrt{3} \sin (ω x + \frac{π}{6}) + 2 \sin^{2} (\frac{ω x}{2} + \frac{π}{12}) - 1 (ω > 0)$ 的相邻两对称轴间的距离为 $\frac{π}{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），得到函数 $y = g (x)$ 的图象，当 $x \in [- \frac{π}{12} ， \frac{π}{6}]$ 时，求函数 $g (x)$ 的值域；

(3)、对于第（2）问中的函数 $g (x)$ ，记方程 $g (x) = \frac{4}{3}$ 在 $x \in [\frac{π}{6} ， \frac{4 π}{3}]$ 上的根从小到大依次为 $x_{1} ， x_{2} ， \dots x_{n}$ ，若 $m =$ $x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} + \dots + 2 x_{n - 1} + x_{n}$ ，试求 $n$ 与 $m$ 的值

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25. 如图，已知一块足球场地的球门 $M N$ 宽 $7$ 米，底线 $M N$ 上有一点 $A$ ，且 $A N$ 长 $9$ 米．现有球员带球沿垂直于底线的线路 $B A$ 向底线 $M A$ 直线运球，假设球员射门时足球运动线路均为直线．

(1)、当球员运动到距离点 $A$ 为 $4$ 米的点 $C$ 时，求该球员射门角度 $∠ M C N$ 的正切值；

(2)、若该球员将球直接带到点 $A$ ，然后选择沿其左后 $6 0^{∘}$ 方向（即 $∠ M A D = 6 0^{∘}$ ）的线路 $A D$ 将球回传给点 $D$ 处的队友．已知 $A D$ 长 $14$ 米，若该队友沿着线路 $D A$ 向点 $A$ 直线运球，并计划在线路 $D A$ 上选择某个位置 $E$ 进行射门，求 $A E$ 的长度多大时，射门角度 $∠ M E N$ 最大．

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26. 如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为 $45 °$ ，沿倾斜角为 $α$ （其中 $\tan α = \frac{1}{3}$ ）的斜坡前进 $\sqrt{10} km$ 后到达D处，休息后继续行驶 $\sqrt{10} km$ 到达山顶B ．

(1)、求山的高度 $B E$ ；

(2)、现山顶处有一塔 $C B = \frac{1}{4} km$ 从A到D的登山途中，队员在点P处测得塔的视角为 $θ （ ∠ C P B = θ ）$ 若点P处高度 $P F = x km$ ，则x为何值时，视角 $θ$ 最大？

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27. 广东省清远市美林湖摩天轮是国内最大的屋顶摩天轮，该摩天轮直径为84米，摩天轮的最高点距地面101米，摩天轮匀速转动，每转动一圈需要t分钟，若小明从摩天轮的最低点处登上摩天轮，从小明登上摩天轮的时刻开始计时.

(1)、求小明与地面的距离y（米）与时间x（分钟）的函数关系式；

(2)、在摩天轮转动一圈过程中，小明的高度在距地面80米以上的时间不少于5分钟，求t的最小值.

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28. 如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每 $π$ 分钟转1圈，筒车的轴心O距水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d(单位：米)(在水面下则d为负数).若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t(单位：分钟)之间的关系为 $d = A \sin (ω t + φ) + K (A > 0 ， ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ .

(1)、求 $A ， ω ， φ ， K$ 的值；

(2)、求盛水筒W出水后至少经过多少时间就可到达最高点？

(3)、某时刻 $t_{0}$ (单位：分钟)时，盛水筒W在过O点的竖直直线的左侧，到水面的距离为5米，再经过 $\frac{π}{6}$ 分钟后，盛水筒W是否在水中？

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29. 如图，摩天轮的半径为 $40 m$ ， $O$ 点距地面的高度为 $50 m$ ，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每 $2 \min$ 转一圈，摩天轮上点 $P$ 的起始位置在最高点.

（Ⅰ）试确定点 $P$ 距离地面的高度 $h$ （单位： $m$ ）关于转动时间（单位： $\min$ ）的函数关系式；

（Ⅱ）摩天轮转动一圈内，有多长时间点 $P$ 距离地面超过 $70 m$ ？

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30. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）.某摩天轮的最高点距离地面的高度为 90 米，最低点距离地面 10 米，摩天轮上均匀设置了 36 个座舱（如图2）.开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.

(1)、经过t 分钟后游客甲距离地面的高度为H 米，已知H 关于t 的函数关系式满足H(t)=Asin(ωt+φ)+B其中A>0，ω> 0)，求摩天轮转动一周的解析式 H(t)；

(2)、问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为 30 米？

(3)、若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间相隔 5 个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为 h 米，求 h 的最大值.

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31. 某企业一天中不同时刻的用电量 $y$ （万千瓦时）关于时间 $t$ （单位：小时，其中 $0 \leq t \leq 24 ， t = 0$ 对应凌晨0点）的函数 $y = f (t)$ 近似满足 $f (t) = A s i n (ω t + φ) + B$ $(A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ ，如图是函数 $f (t)$ 的部分图象．

(1)、求 $f (t)$ 的解析式；

(2)、已知该企业某天前半日能分配到的供电量 $f (t)$ （万千瓦时）与时间 $t$ （小时）的关系可用线性函数模型 $g (t) = - 2 t + 25 (0 \leq t \leq 12)$ 模拟，当供电量 $g (t)$ 小于企业用电量 $f (t)$ 时，企业必须停产．初步预计开始停产的临界时间 $t_{0}$ 在中午11点到12点之间，用二分法估算 $t_{0}$ 所在的一个区间（区间长度精确到15分钟）．

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32. 如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中 $A B = a ， ∠ B = \frac{π}{2} ， B C = \sqrt{3} a$ .设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道 $M N$ ，且两边是两个关于走道 $M N$ 对称的三角形（ $Δ A M N$ 和 $Δ A^{'} M N$ ）.现考虑方便和绿地最大化原则，要求点 $M$ 与点 $A ， B$ 均不重合， $A^{'}$ 落在边 $B C$ 上且不与端点 $B ， C$ 重合，设 $∠ A M N = θ$ .

(1)、若 $θ = \frac{π}{3}$ ，求此时公共绿地的面积；

(2)、为方便小区居民的行走，设计时要求 $A N ， A^{'} N$ 的长度最短，求此时绿地公共走道 $M N$ 的长度.

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33. 已知函数 $\overset{⇀}{m} = (sin ω x + cos ω x ， \sqrt{3} cos ω x)$ ， $\overset{⇀}{n} = (cos ω x - sin ω x ， 2 sin ω x) (ω > 0)$ ，函数 $f (x) = \overset{⇀}{m} \cdot \overset{⇀}{n} + t$ ，若 $f (x)$ 的图象上相邻两条对称轴的距离为 $\frac{π}{4}$ ，图象过点 $(0 ， 0)$ .

(1)、求 $f (x)$ 表达式和 $f (x)$ 的单调增区间；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 $y = g (x)$ 的图象，若函数 $F (x) = g (x) + k$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上有且只有一个零点，求实数 $k$ 的取值范围.

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