人教A版高一（上）数学期末突击训练专题：第五章（填空题）

试卷更新日期：2023-12-22 类型：复习试卷

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一、填空题

1. 如图，长为 $\sqrt{3}$ ，宽为 $1$ 的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第三面后被一小木块挡住，使木块与桌面成 $30^{\circ}$ 角，则点 $A$ 走过的路程是．

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2. 方程sin²x﹣2sinx=0的解集为．

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3.
如图 $α = \frac{π}{6}, β = \frac{5 π}{3}$ ，终边落在阴影部分（含边界）时所有角的集合为．

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4. 函数 $y = \frac{1}{s i n^{2} x} + \frac{4}{c o s^{2} x}$ 的最小值是.

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5. 设点 $P$ 是以原点为圆心的单位圆上的一个动点，它从初始位置 $P_{0} (0 ， 1)$ 出发，沿单位圆顺时针方向旋转角 $θ (0 < θ < \frac{π}{2})$ 后到达点 $P_{1}$ ，然后继续沿单位圆顺时针方向旋转角 $\frac{π}{3}$ 到达点 $P_{2}$ ，若点 $P_{2}$ 的纵坐标是 $- \frac{1}{2}$ ，则点 $P_{1}$ 的坐标是．

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6. 设 $a ， b ， c \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，且满足cosa=a，sin（cosb）=b，cos（sinc）=c，则a，b，c的大小关系为．

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7. 已知 $c o s (α + \frac{π}{6}) = - \frac{3}{4}$ ，则 $c o s (α - \frac{5 π}{6}) + s i n (α - \frac{π}{3}) =$ ．

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8. 已知 $α ， β$ 为锐角三角形的两个内角，则 $\cos α$ 与 $\sin β$ 的大小关系是．

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9. $\frac{tan 1^{\circ} \cdot tan 2^{\circ} \cdot \dots \cdot tan 89^{\circ}}{{sin}^{2} 1^{\circ} + {sin}^{2} 2^{\circ} + \dots + {sin}^{2} 89^{\circ}} =$ .

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10. 函数 $y = 2 sin (x + \frac{π}{2}) + cos (\frac{π}{2} - x)$ 的最大值为．

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11. 关于函数f（x）= $s i n x + \frac{1}{s i n x}$ 有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．
③f（x）的图象关于直线x= $\frac{π}{2}$ 对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是．

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12. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | \leq \frac{π}{2})$ ， $f (0) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 且函数 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{16} ， \frac{π}{8})$ 上单调递减，则 $ω$ 的最大值为.

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13. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (2 x + φ)$ ， $0 < φ < \frac{π}{2}$ 的部分图象如图所示，且 $f (a) = f (b) = 0$ ，对不同的 $x_{1} ， x_{2} \in [a ， b]$ ，若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，有 $f (x_{1} + x_{2}) = \sqrt{3}$ ，则 $φ =$ .

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14. 设定义在区间 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上的函数 $y = 2 \cos x$ 的图象与 $y = 3 \tan x$ 的图象交于点 $P$ ，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $P_{1}$ ，直线 $P P_{1}$ 与函数 $y = \sin x$ 的图象交于点 $P_{2}$ ，则线段 $P_{1} P_{2}$ 的长为.

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15. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ ，若 $f (x)$ 的图像在 $[0 ， \frac{2 π}{3}]$ 上与 $x$ 轴恰有两个交点，则 $ω$ 的取值范围是.

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16. 已知 $c o s (α + \frac{π}{12}) = - \frac{3}{4}$ ，则 $s i n (2 α - \frac{π}{3}) =$ .

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17. 已知函数 $f (x) = 2 s i n x + c o s x$ ，若 $\exists θ \in R$ ， $\forall x \in R$ ， $f (x) ≤ f (θ)$ ，则 $t a n 2 θ$ 的值为.

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18. 若 $3 s i n α - s i n β = \sqrt{10}$ ， $α + β = \frac{π}{2}$ ，则 $c o s 2 β =$ .

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19. 已知 $α ， β \in (0 ， \frac{π}{2}) ， s i n α + 3 s i n (α - 2 β) = 0$ ，则 $\frac{t a n (α - β)}{t a n β} =$ ， $t a n (α - 2 β)$ 的最小值是．

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20. 实数 $x$ ， $y$ 满足 ${(x + y - 1)}^{2} + {(x - 2 y + 1)}^{2} = 1$ ，则 $2 x + y$ 的最大值为.

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21. 已知 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 为△ $A B C$ 的三内角，且角 $A$ 为锐角，若 $\tan B = 2 \tan A$ ，则 $\frac{1}{\tan B} + \frac{1}{\tan C}$ 的最小值为.

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22. 设函数 $f (x) = s i n ω x - \sqrt{3} c o s ω x + t (ω > 0)$ ，将 $y = f (x)$ 的图像向右平移 $π$ 个单位长度后，所得的图像与原图像重合， $ω$ 取最小值时，若 $f (x) \geq 0$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上有解，则实数t的取值范围为.

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23. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位后得到函数 $g (x)$ 的图象，若实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $f (x_{1}) - g (x_{2}) = 4$ ，则 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为．

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24. 将函数 $f (x) = c o s (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度后得到偶函数 $g (x)$ 的图像，则 $ω$ 的最小值是．

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25. 若将函数 $f (x) = s i n ω x (ω > 0)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度后关于y轴对称，则实数 $ω$ 的最小值为．

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26. 将函数 $f (x) = \sin 2 x$ 的图像向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再把每个点横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 $y = g (x)$ ，则 $g (x)$ 的解析式 $g (x) =$ ，若对于任意 $a \in [- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2}]$ ，在区间 $[0 ， m]$ 上总存在唯一确定的 $β$ ，使得 $g (β) = a$ ，则 $m$ 的最小值为．

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27. 若将函数 $f (x) = \cos (ω x - \frac{π}{8})$ （ $ω > 0$ ）的图像向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位后，所得图像对应的函数为偶函数，则 $ω$ 的最小值是

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28. 已知将函数 $f (x) = \sqrt{3} sin x cos x + {cos}^{2} x - \frac{1}{2}$ 的图象向左平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度后得到 $y = g (x)$ 的图象，则 $g (x)$ 在 $[- \frac{π}{12} ， \frac{π}{3}]$ 上的值域为．

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29. 已知锐角 $α$ 满足 $\cos (α + 20^{\circ}) + \cos α = \sin (α + 30^{\circ})$ ，则 $α =$ ．

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30. 对任意 $φ \in [0 ， \frac{π}{4}]$ ，函数 $f (x) = \sin (ω x + φ)$ 在区间 $[\frac{π}{2} ， π]$ 上单调递增，则实数 $ω$ 的取值范围是.

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31. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ)$ （ $0 < ω < 4$ ），且 $f (\frac{π}{6}) - f (\frac{2 π}{3}) = 4$ ，给出下列四个结论：①点 $(- \frac{π}{12} ， 0)$ 为函数 $f (x)$ 的图像的一个对称中心；②对任意的 $a \in R$ ，函数 $f (x + a)$ 都不可能是偶函数；③函数 $f (x - \frac{π}{3})$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{6}]$ 上单调递减；④当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，函数 $f (x)$ 的值域为 $[- 1 ， 2]$ ，其中正确结论的序号是.

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32. 函数 $f (x) = sin | a x + 1 |$ 的图象恒过定点，若函数 $y = f (x)$ 的图象的对称轴为 $x = 1$ ，则非零实数 $a$ 的值为.

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