人教A版高一（上）数学期末突击训练专题：第五章（多项选择题）

试卷更新日期：2023-12-22 类型：复习试卷

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一、多项选择题

1. 已知函数 $f (x) = s i n (x + φ) - s i n (x + 7 φ)$ 为奇函数，则参数 $φ$ 的可能值为（）

A、 $\frac{π}{8}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{3 π}{8}$ D、 $\frac{π}{2}$

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2. 已知函数 $f (x) = \sin ω x - \sqrt{3} \cos ω x$ ， $ω > 0$ ，则下列结论中正确的是（）

A、若 $ω = 2$ ，则将 $f (x)$ 图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后得到的图象关于原点对称 B、若 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | = 4$ ，且 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为 $\frac{π}{2}$ ，则 $ω = 2$ C、若 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{3}]$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值范围为 $(0 ， 3]$ D、当 $ω = 3$ 时， $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 有且只有3个零点

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3. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过x的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数.例如 $[- 3.5] = - 4 ， [3.5] = 3 .$ 已知函数 $f (x) = c o s x + | c o s x |$ ，函数 $g (x) = [f (x)] ，$ 则下列说法中正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， π)$ 上单调递增 B、函数 $f (x)$ 图象关于直线 $x = k π (k \in Z)$ 对称 C、函数 $g (x)$ 的值域是 ${0 ， 1 ， 2}$ D、方程 $g (x) = x$ 只有一个实数根

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4. 下列说法正确的是（）

A、 $f (x) = | l g x | ，$ 且 $f (m) = f (n) ，$ 则 $m \cdot n = 10$ B、 $a = l o g_{4} 3 ， b = s i n \frac{π}{3} ， c = 2^{- c o s \frac{π}{3}}$ 的大小关系为 $b > a > c$ C、请你联想或观察黑板上方的钟表：八点二十分，时针和分针夹角的弧度数为 $\frac{13 π}{8}$ D、函数 $f (x) = l n (x^{2} - 1) + 2^{x} + 2^{- x}$ ，则使不等式 $f (x + 1) < f (2 x)$ 成立的 $x$ 的取值范围是 $(- \infty ， - 2) ∪ (1 ， + \infty)$

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5. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | l o g_{2} x | ， 0 < x < 4 \\ 4 s i n (\frac{π}{6} x + \frac{π}{6}) ， 4 \leq x \leq 14 \end{array}$ ，若方程 $f (x) = m$ 有四个不等的实根 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $0 < m < 2$ B、 $x_{1} x_{2} = 1$ C、 $x_{3} + x_{4} = 16$ D、 $x_{1} x_{3}$ 取值范围为 $(0 ， 5)$

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6. 已知 $α ， β$ 满足 $0 < α < \frac{π}{2} < β < π$ ，且 $s i n α = \frac{2 \sqrt{5}}{5} ， c o s β = - \frac{3}{5}$ ，则（）

A、 $α + β < π$ B、 $β - α < \frac{π}{2}$ C、 $β - 2 α = 0$ D、 $t a n 2 α + t a n 2 β > 0$

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7. 设函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ ，若 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上有且仅有3条对称轴，则（）

A、 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上有且仅有2个最大值点 B、 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上有且仅有2个零点 C、 $ω$ 的取值范围是 $[\frac{7}{3} ， \frac{10}{3})$ D、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{10})$ 上单调递增

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8. 已知函数 $f (x) = (s i n x - c o s x) | s i n x + c o s x |$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为2π B、函数 $f (x - \frac{π}{4})$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上单调递减 C、当 $| f (x_{1}) | + | f (x_{2}) | = 2$ 时， $x_{1} + x_{2} = \frac{k π}{2}$ ， $k \in Z$ D、当函数 $g (x) = f (x) + a$ 在 $[0 ， 2 π]$ 上有4个零点时， $0 < a < 1$

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9. 设函数 $f (x) =sin (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ ，已知 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 有且仅有3个零点，对于下列4个说法正确的是（）

A、在 $(0 ， π)$ 上存在 $x_{1} ， x_{2}$ ，满足 $f (x_{1}) - f (x_{2}) = 2$ B、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 单调递增 C、 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 有且仅有1个最大值点 D、 $ω$ 的取值范围是 $[\frac{13}{6} ， \frac{19}{6})$

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10. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， φ \in R)$ 在区间 $(\frac{7 π}{12} ， \frac{5 π}{6})$ 上单调，且满足 $f (\frac{7 π}{12}) = - f (\frac{3 π}{4})$ 有下列结论正确的有（）

A、 $f (\frac{2 π}{3}) = 0$ B、若 $f (\frac{5 π}{6} - x) = f (x)$ ，则函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ； C、关于x的方程 $f (x) = 1$ 在区间 $[0 ， 2 π)$ 上最多有4个不相等的实数解 D、若函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{2 π}{3} ， \frac{13 π}{6})$ 上恰有5个零点，则 $ω$ 的取值范围为 $(\frac{8}{3} ， 3]$

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11. 已知 $f (x) = s i n 2 x - 2 s i n^{2} x$ 函数，将函数的图象向左平移 $φ$ （ $0 < φ < \frac{π}{2}$ ）个单位长度后，得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 在区间 $[π ， \frac{5 π}{4}]$ 上单调递减，下列说法正确的是（）

A、当 $φ$ 取最小值时， $g (x)$ 在区间 $[π ， \frac{5 π}{4}]$ 上的值域为 $[- \sqrt{2} ， - 1]$ B、当 $φ$ 取最小值时， $g (x)$ 的图象的一个对称中心的坐标为 $(- \frac{π}{4} ， - 1)$ C、当 $φ$ 取最大值时， $g (x)$ 在区间 $[π ， \frac{5 π}{4}]$ 上的值域为 $[- \sqrt{2} - 1 ， - 1]$ D、当 $φ$ 取最大值时， $g (x)$ 图象的一条对称轴方程为 $x = \frac{π}{2}$

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12. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的零点按照由小到大的顺序依次构成一个公差为 $\frac{π}{2}$ 的等差数列，函数 $g (x) = f (x) + \frac{1}{2} f^{'} (x)$ 的图像关于原点对称，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 在单调递增 B、 $\forall x_{1} ， x_{2} \in R$ ， $| f (x_{1}) - g (x_{2}) | \leq 1 + \sqrt{2}$ C、把 $g (x)$ 的图像向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位即可得到 $f (x)$ 的图像 D、若 $f (x)$ 在 $[0 ， a)$ 上有且仅有两个极值点，则 $a$ 的取值范围为 $(\frac{7}{8} π ， \frac{11}{8} π]$

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13. 已知函数 $f (x) = \cos^{2} (x - \frac{π}{6}) - \cos 2 x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{7 π}{6} ， 0)$ 对称 C、 $f (x)$ 图象的对称轴方程为 $x = \frac{5 π}{12} + \frac{k π}{2} (k \in Z)$ D、 $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 上有4个零点

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14. 已知函数 $f (x) = 3 \sin (2 x + φ) (- \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称，则（）

A、函数 $f (x + \frac{π}{12})$ 奇函数 B、函数 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{3} ， \frac{π}{2}]$ 上单调递增 C、函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $a (a > 0)$ 个单位得到的函数的图象关于 $x = \frac{π}{6}$ 对称，则 $a$ 的最小值是 $\frac{π}{3}$ D、若方程 $f (x) = a$ 在 $[\frac{π}{6} ， \frac{2 π}{3}]$ 上有2个不同实根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最大值为 $\frac{π}{3}$

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15. 设 $\sin (β + \frac{π}{6}) + \sin β = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ ，则 $\sin (β - \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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16. 如图是函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象，若 $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 内有且只有一个最小值点， $ω$ 的值可以为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、2

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17. 下列说法正确的是（）

A、命题“ $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} + 2 x_{0} + m \leq 0$ ”的否定是“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 2 x + m > 0$ ” B、已知 $a \in R$ ，则“ $a \leq 1$ ”是“ $a^{2} \leq a$ ”的必要不充分条件 C、命题 $p$ ：若 $α$ 为第一象限角，则 $\sin α < α$ ；命题 $q$ ：函数 $f (x) = 2^{x} - x^{2}$ 有两个零点，则 $\neg p \lor \neg q$ 为假命题 D、 $\exists x_{0} \in (0 ， \frac{1}{3})$ ， ${(\frac{1}{2})}^{x_{0}} > \log_{\frac{1}{3}} x_{0}$

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18. 已知声音是由物体振动产生的声波．其中包含着正弦函数或余弦函数，而纯音的数学模型是函数 $y = A \sin ω t$ ，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数 $f (x) = 2 \sin x - \sin 3 x$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $π$ 是 $f (x)$ 的一个周期 B、 $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 上有7个零点 C、 $f (x)$ 的最大值为3 D、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{2}]$ 上是增函数

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19. 设函数 $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象为曲线 $E$ ，则（）

A、将曲线 $y = \sin 2 x$ 向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，与曲线 $E$ 重合 B、将曲线 $y = \sin (x - \frac{π}{3})$ 上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，与曲线 $E$ 重合 C、 $(- \frac{π}{12} ， 0)$ 是曲线 $E$ 的一个对称中心 D、若 $x_{1} \neq x_{2}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = 0$ ，则 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为 $\frac{π}{2}$

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20. 设函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ ，已知 $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 有且仅有5个零点，则下列结论成立的有（）

A、 $y = f (x) + 1$ 在 $(0 ， 2 π)$ 有且仅有2个零点 B、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{23})$ 单调递增 C、 $ω$ 的取值范围是 $[\frac{19}{8} ， \frac{23}{8})$ D、将 $f (x)$ 的图象先右移 $\frac{π}{4}$ 个单位，再纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，得到函数 $g (x) = \sin (\frac{1}{2} ω x)$

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21. 下列命题正确的是（）

A、 $\forall a \in (0 ， 1) \cup (1 ， + \infty)$ ，函数 $f (x) = a^{x - 1} + \log_{a} x + 2$ 恒过定点 $(1 ， 3)$ B、 $\exists x \in (0 ， + \infty)$ ， $\lg x \geq \frac{1}{10} x$ C、若 $\sin α \cdot \cos α > 0$ ，则 $α$ 为第一象限角 D、若 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，则 $\frac{1}{\sin^{2} α} + \frac{1}{\cos^{2} α} \geq 4$

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22. 若函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 x + 3 \sin^{2} x + \cos^{2} x$ 在 $[- a ， a]$ 上为增函数，则（）

A、实数a的取值范围为 $(0 ， \frac{π}{6}]$ B、实数a的取值范围为 $(0 ， \frac{π}{3}]$ C、点 $(\frac{π}{12} ， 2)$ 为曲线 $y = f (x)$ 的对称中心 D、直线 $x = \frac{π}{3}$ 为曲线 $y = f (x)$ 的对称轴

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23. 下列有关命题的说法正确的是（）

A、 $\exists x \in (0 ， π)$ ，使得 $\frac{2}{\sin x} + \sin x = 2 \sqrt{2}$ 成立 B、命题 $P ： \forall x \in R$ ，都有 $\cos x \leq 1$ ，则 $^{\neg} P ： \exists x_{0} \in R$ ，使得 $\cos x_{0} > 1$ C、函数 $f (x) = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}$ 与函数 $g (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ 是同一个函数 D、若 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 均为正实数，且 $3^{x} = 4^{y} = 12^{z}$ ， $\frac{x + y}{z} \in (n ， n + 1) ， (n \in N)$ ，则 $n = 4$

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24. 如图，已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | \leq \frac{π}{2}$ ）的图象与 $x$ 轴交于点 $A$ ， $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ， $\vec{B C} = 2 \vec{B D}$ ， $∠ O C B = \frac{π}{3}$ ， $| OA | = 2$ ， $| A D | = \frac{2 \sqrt{21}}{3}$ .则下列说法正确的有（）.

A、 $f (x)$ 的最小正周期为12 B、 $φ = - \frac{π}{6}$ C、 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{16}{3}$ D、 $f (x)$ 在区间 $(14 ， 17)$ 上单调递增

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25. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图，将函数 $f (x)$ 的图象所有点的横坐标伸长到原来的 $\frac{3}{2}$ ，再将所得函数图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则下列关于函数 $g (x)$ 的说法正确的是（）

A、点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 是 $g (x)$ 图象的一个对称中心 B、 $x = \frac{π}{6}$ 是 $g (x)$ 图象的一条对称轴 C、 $g (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 上单调递增 D、若 $| g (x_{1}) - g (x_{2}) | = 4$ ，则 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为 $\frac{π}{2}$

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26. 在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义 $1 - \cos θ$ 为角 $θ$ 的正矢，记作 $v e r \sin θ$ ，定义 $1 - \sin θ$ 为角 $θ$ 的余矢，记作 $cov e r \sin θ$ ，则下列命题中正确的是（）

A、函数 $y = cov e r \sin x - v e r \sin x$ 在 $[\frac{π}{4} ， π]$ 上是减函数 B、若 $\frac{cov e r \sin x - 1}{v e r \sin x - 1} = 2$ ，则 $cov e r \sin 2 x - v e r \sin 2 x = - \frac{7}{5}$ C、函数 $f (x) = v e r \sin (2020 x - \frac{π}{3}) + cov e r \sin (2020 x + \frac{π}{6})$ ，则 $f (x)$ 的最大值 $2 + \sqrt{2}$ D、 $v e r \sin (\frac{π}{2} - θ) = cov e r \sin θ$

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