人教A版高一（上）数学期末突击训练专题：第四章（解答题）

试卷更新日期：2023-12-22 类型：复习试卷

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一、解答题

1. 对于函数 $f (x)$ ，若在定义域内存在实数x ，满足 $f (- x) = - f (x)$ ，则称 $f (x)$ 为“局部奇函数”．

(1)、已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + 2 x - 4 a$ ， $a \in R$ ，试判断 $f (x)$ 是否为“局部奇函数”，并说明理由；

(2)、若 $f (x) = 4^{x} - m \cdot 2^{x + 1} + m^{2} - 1$ 为定义在R上的“局部奇函数”，求函数 $f (x)$ 在 $x \in [- 1 ， 1]$ 的最小值．

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2. 设 $m$ 为实数，已知函数 $f (x) = 1 - \frac{m}{2^{x} - 1}$ 是奇函数.

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、证明： $f (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减：

(3)、当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时，求函数 $f (x)$ 的取值范围.

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3. 已知函数 $f (x) = x^{2} + b x + c, (b, c \in R),$ ，且 $f (x) \leq 0$ 的解集为 $[- 1, 2] .$

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式

(2)、解关于x的不等式 $m f (x) > 2 (x - m - 1) .$ （其中 $m \geq 0$ ）

(3)、设 $g (x) = 2^{f (x) - x^{2} + 3}$ ，若对任意的 $x_{1} x_{2} \in [- 1, 2]$ ，都有 $| g (x_{1}) - g (x_{2}) | \leq t$ ，求t得取值范围

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4. 已知函数 $f (x) = b \cdot a^{x}$ （ $a$ 、 $b$ 为常数且 $a > 0$ ， $a \neq 1$ ）的图象经过点 $A (1, 6)$ ， $B (3, 24)$ .

(1)、试求 $a$ 、 $b$ 的值；

(2)、若不等式 ${(\frac{a}{b})}^{x} \geq 2 m + 1$ 在 $x \in (- \infty, 1]$ 时恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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5. 已知函数 $f (x) = a^{x}$ ， $g (x) = {(\frac{1}{a})}^{x}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）， $f (- 1) = \frac{1}{2}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的解析式；

(2)、在同一坐标系中画出函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的图象；

(3)、如果 $f (x) < g (x)$ ，请直接写出 $x$ 的取值范围．

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6. 已知函数 $f (x) = b \cdot a^{x}$ （ $a ， b$ 为常数且 $a > 0 ， a \neq 1$ ）的图象经过点 $A (1 ， 8)$ ， $B (3 ， 32)$

(1)、试求 $a ， b$ 的值；

(2)、若不等式 ${(\frac{1}{a})}^{x} + {(\frac{1}{b})}^{x} - m \geq 0$ 在 $x \in (- \infty ， 1]$ 时恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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7. 已知函数 $f (x) = \frac{1 - x}{1 + x}$ .

(1)、探究 $f (x)$ 在 $(- 1 ， + \infty)$ 上的单调性，并用单调性的定义证明；

(2)、判断方程 $[1 + f (x)] l o g_{2} f (x) = 2$ 是否存在实根？若存在，设此根为 $x_{0}$ ，请求出一个长度为 $\frac{1}{8}$ 的区间 $(a ， b)$ ，使 $x_{0} \in (a ， b)$ ；若不存在，请说明理由.（注：区间 $(a ， b)$ 的长度为 $b - a$ ）

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8. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} \frac{4 + x}{4 - x}$ .

(1)、判断并证明 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、若 $f^{2} (x) - f (x) < 0$ ，求 $x$ 的取值范围.

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9. 设m为给定的实常数，若函数 $y = f (x)$ 在其定义域内存在实数 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0} + m) = f (x_{0}) + f (m)$ 成立，则称函数 $f (x)$ 为“ $G (m)$ 函数”．

(1)、若函数 $f (x) = 2^{x}$ 为“ $G (2)$ 函数”，求实数 $x_{0}$ 的值；

(2)、若函数 $f (x) = \lg \frac{a}{x^{2} + 1}$ 为“ $G (1)$ 函数”，求实数a的取值范围；

(3)、已知 $f (x) = x + b (b \in R)$ 为“ $G (0)$ 函数”，设 $g (x) = x | x - 4 |$ ．若对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [0 ， t]$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$
时，都有 $\frac{g (x_{1}) - g (x_{2})}{f (x_{1}) - f (x_{2})} > 2$ 成立，求实数 $t$ 的最大值．

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10. 已知函数 $f (x) = \lg (1 - x) - \lg (1 + x)$ .

(1)、解方程： $f (x) = 0$ ；

(2)、求证：当 $x_{1} \in (- 1 ， 1)$ ， $x_{2} \in (- 1 ， 1)$ 时， $f (x_{1}) + f (x_{2}) = f (\frac{x_{1} + x_{2}}{1 + x_{1} x_{2}})$ .

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{(x + 1) (x + a)}{x}$ 为奇函数.

(1)、求实数a的值；

(2)、记集合 $A = {y | y = f (x), x \in {- 1, 1, 2}}$ ， $t = \lg^{2} 2 + \lg 2 \cdot \lg 5 + \lg 5 + \frac{1}{2}$ ，判断t与集合A的关系；

(3)、当 $x \in [\frac{1}{m}, \frac{1}{n}] (m > 0, n > 0)$ 时，若函数 $f (x)$ 的值域为 $[3 - 3 m, 3 - 3 n]$ ，求 $m, n$ 的值.

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{a \cdot 2^{x} + 1}{2^{x} - 1}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，解方程 $lg f (2 x) - \lg f (x) = 1 - \lg 18$ .

(2)、当 $x \in (0, 1]$ 时， $| f (2 x) - f (x) | \geq 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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13. 已知函数 $f (x) = a l n x$ ，其中 $a > 0$ ．

(1)、若直线 $y = \frac{x}{e^{a}} + e^{2}$ 为曲线 $y = f (x)$ 的一条切线，求实数 $a$ 的值；

(2)、若对任意两个不相等的正实数 $m ， n$ ，均有 $\sqrt{m n} + \frac{m + n}{2} > \frac{m - n}{f (m) - f (n)}$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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14. 如函数 $f (x) = l o g_{3} (x + 12) + l o g_{3} (6 - x)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的定义域.

(2)、从下面①②两个问题中任意选择一个解答，如果两个都解答，按第一个解答计分.
①求不等式 $f (x) - l o g_{3} 5 < 2$ 的解集.
②求 $f (x)$ 的最大值.

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15. 已知函数 $f (x) = \ln (x + t)$ .

(1)、当 $t = 1$ 时，求不等式 $f (2 x) - f (x + 1) < 0$ 的解集

(2)、当 $t = e$ 时，若关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 2^{- x} + m$ 在 $[0 ， 2]$ 上有解，求 $m$ 的取值范围.

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16. 已知函数 $f (x) = \log_{a} x$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象过点 $(3 ， 1)$ ．

(1)、若函数 $g (x) = f (x + 1) + f (3 - x)$ ，求 $g (x)$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上的最值；

(2)、对于（1）中的 $g (x)$ ，当 $x \in [1 ， 2]$ 时，不等式 $f (m^{2} - 2 m) - g (x) \geq 0$ 有解，求 $m$ 的取值范围．

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17. 已知函数 $f (x) = \log_{2} \frac{1 - x}{1 + x}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(3)、证明：函数 $f (x)$ 在定义域上单调递减.

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18. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + f (x + 2) = 0$ ，且当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $f (x) = \log_{2} (x + a)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在 $[1 ， 3]$ 上的解析式；

(2)、若不等式 $f [\frac{t - 2^{x}}{8 (1 + 2^{x})}] \geq \log_{2} \frac{2}{3}$ 在 $R$ 上恒成立，求实数 $t$ 的取值范围．

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19. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ 且 $a + b = 3$ ．
（Ⅰ）求 $\log_{\frac{\sqrt{3}}{2}} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$ 的最大值及此时a，b的值；

（Ⅱ）求 $\frac{a^{2} + 3}{a} + \frac{b^{2}}{b + 1}$ 的最小值及此时a，b的值．

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20. 已知函数 $f (x) = \log_{a} (1 - m x) - \log_{a} (1 + x),$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1, m \neq - 1$ ）是定义在 $(- 1, 1)$ 上的奇函数.
（Ⅰ）求实数 $m$ 的值；

（Ⅱ）判断并用定义证明 $f (x)$ 的单调性；

（Ⅲ）若 $f (\frac{1}{3}) < 0$ ，且 $f (2 b - 1) + f (b - \frac{1}{2}) > 0$ 成立，求实数 $b$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = \log_{a} (x - 1), g (x) = \log_{a} (3 - x)$ $(a > 0, 且 a \neq 1)$ ．

(1)、求函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 的定义域；

(2)、利用对数函数的单调性，讨论不等式 $f (x) \geq g (x)$ 中的 $x$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + k$ （ $k$ 为常数）， $A (- k, 2)$ 是函数 $y = f^{- 1} (x)$ 图像上的点.

(1)、求实数 $k$ 的值及函数 $y = f^{- 1} (x)$ 的解析式；

(2)、将 $y = f^{- 1} (x)$ 按向量 $\vec{a} = (2, 0)$ 平移，得到函数 $y = g (x)$ 的图像，若不等式 $f^{- 1} (x) - g (\sqrt{x}) \leq m$ 有解，试求实数 $m$ 的取值范围.

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23. 已知函数 $f (x) = x | x - a | + x$ ， $a \in R$ .

(1)、若 $a = 0$ ，判断函数 $y = f (x)$ 的奇偶性（不需要给出证明）；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $R$ 上是增函数，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若存在实数 $a \in [- 2 ， 3]$ ，使得关于 $x$ 的方程 $f (x) - t f (a) = 0$ 有三个不相等的实数根，求实数 $t$ 的取值范围.

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24. 已知函数 $f (x) = l g (10 0^{x} + a) - x (a > 0)$ ．

(1)、当函数 $f (x)$ 是偶函数时，解不等式： $f (x) < l g \frac{5}{2}$ ；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - l g (1 - 3 \times 1 0^{x})$ 有两个零点，求实数a的取值范围．

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25. 已知函数 $f (x) = x + \frac{4}{x} - 5 (x > 0)$

(1)、证明：函数 $f (x)$ 在 $(0 ， 2)$ 上单调递减；

(2)、讨论关于x的方程 $| f (x) | = k (k \in R)$ 的实数解的个数．

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26. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} c o s (4 x - \frac{π}{3}) - 2 s i n 2 x c o s 2 x - 2 \sqrt{3} s i n^{2} 2 x + \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、若 $g (x) = [f (x)]^{2} - (2 m + 2 \sqrt{3}) f (x) + 4 \sqrt{3} m$ 在 $[- \frac{π}{24} ， \frac{π}{12}]$ 上有4个零点，求 $m$ 的取值范围．

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27. 已知函数 $f (x) = 2 l n x + {(- 1)}^{n} x^{2} + 2$ .

(1)、证明：当 $n = 1$ 时， $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上至少有两个零点；

(2)、当 $n = 2$ 时，关于 $x$ 的方程 $f (x) = m$ 在 $[1 ， 2]$ 上没有实数解，求 $m$ 的取值范围.

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28. 利用“函数零点存在定理”，解决以下问题.

(1)、求方程 ${(\frac{5}{13})}^{x} + {(\frac{12}{13})}^{x} = 1$ 的根；

(2)、设函数 $f (x) = e^{x} - \frac{1}{x}$ ，若 $f (x_{0}) = 0$ ，求证： $f (2 x_{0}) \in (\frac{1}{2} ， 3)$ .

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29. 已知 $x = 1$ 是函数 $g (x) = a x^{2} - 3 a x + 2$ 的零点， $f (x) = \frac{g (x)}{x}$ ．

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、若方程 $f (| 2^{x} - 1 |) + k (\frac{3}{| 2^{x} - 1 |}) - 3 k = 0$ 有三个不同的实数解，求实数 $k$ 的取值范围．

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30. 已知函数 $f (x + 1) = x^{2}$ ， $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $x > 0$ 时，求 $g (x)$ 的最值；

(3)、若关于 $x$ 的方程 $g (| 2^{x} - 1 |) + \frac{2 m}{| 2^{x} - 1 |} - 3 m - 1 = 0$ 有三个不同的实数解，求 $m$ 的取值范围.

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31. 设 $a \in R$ ，函数 $f (x) = x^{2} - 2 (a + 1) x + a^{2} + 5$ ，函数 $g (x) = (x - a) (x - a + \frac{1}{2}) (x - a + 1) (x - a + \frac{3}{2}) (x - a + 2) (x - a + \frac{5}{2}) (x - a + 3)$ .

(1)、若函数 $y = l g [f (x) - 2]$ 的值域是 $R$ ，求 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a \in (1 ， 3)$ 时，记函数 $H (x) = {\begin{array}{l} f (x) ， x \geq a \\ g (x) ， x < a \end{array}$ ，讨论 $H (x)$ 在区间 $(0 ， + ∞)$ 内零点的个数.

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32. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = l o g_{2} (\frac{2}{x} + a) ， (x > 0)$ .

(1)、若函数 $g (x) = f (x) + 2 l o g_{2} x$ 只有一个零点，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、设 $a > 0$ ，若对于任意实数 $t \in [\frac{1}{3} ， 1]$ ，函数 $f (x)$ 在区间 $[t ， t + 1]$ 上的最大值与最小值的差不大于1，求实数 $a$ 的取值范围.

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