人教A版高一（上）数学期末突击训练专题：第四章（多项选择题）

试卷更新日期：2023-12-22 类型：复习试卷

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一、多项选择题

1. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x} ， x \leq 0 \\ 2 f (x - 1) ， x > 0 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的方程 $f (x) = a$ 有两解，则实数 $a$ 的值可能为（）

A、 $a = \frac{1}{e}$ B、 $a = 1$ C、 $a = e$ D、 $a = 3$

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2. 已知非零实数 $m$ ，满足 $e^{m} = 2 m + 1$ ，实数 $a$ ， $b$ $(a \neq b)$ 满足 $e^{a} = 2 b + 1$ ，则下列可能成立的是（）

A、 $a < b < 0$ B、 $0 < a < b < m$ C、 $0 < b < a < m$ D、 $m < a < b$

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3. 某同学在研究函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} + 2 x + 2} + \sqrt{x^{2} - 6 x + 10}$ 的性质时，受到两点间距离公式的启发，将 $f (x)$ 变形为 $f (x) = \sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(0 - 1)}^{2}} + \sqrt{{(x - 3)}^{2} + {(0 - 1)}^{2}}$ ，则下列关于函数 $f (x)$ 的描述正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象是中心对称图形 B、 $f (x)$ 的图象是轴对称图形 C、 $f (x)$ 的值域为 $[2 \sqrt{5} ， + \infty)$ D、方程 $f [f (x)] = 10$ 有两个解

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4. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} + 4 x - t ， x \leq 4 \\ 2^{- t} - x + 4 ， 4 < x < 5 \\ 2^{t} - x + 4 ， x \geq 5 \end{array}$ 有4个零点，分别为 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4} (x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4})$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $x_{1} + x_{2} = 4$ B、 $t \in [0 ， 4)$ C、 $x_{1} \cdot x_{2}$ 的取值与 $t$ 无关 D、 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + \frac{1}{4} x_{4}$ 的最小值为10

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5. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | \frac{3 x + 1}{x - 1} | ， x < 0 \\ 4^{x} - 7 \cdot 2^{x} - 7 ， x \geq 0 \end{array}$ ，则函数 $g (x) = f (x + \frac{1}{x} - a) - 1$ 的零点情况说法正确的是（）

A、函数 $g (x)$ 至少有两个不同的零点 B、当 $a \in [- 1 ， 3)$ 时，函数 $g (x)$ 恰有两个不同的零点 C、函数 $g (x)$ 有三个不同零点时， $a \in {- 5 ， 3}$ D、函数 $g (x)$ 有四个不同零点时， $a \in (3 ， + \infty)$

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6. 若 $f (x)$ 和 $g (x)$ 都是定义在 $R$ 上的函数，且方程 $f [g (x)] = x$ 有实数解，则下列式子中可以为 $g [f (x)]$ 的是（）

A、 $x^{2} + 2 x$ B、 $x + 1$ C、 $e^{c o s x}$ D、 $l n (| x | + 1)$

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{| x - 2 |} ， x > 0 \\ - x^{2} - 2 x + 1 ， x \leq 0 \end{array}$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $y = f (x) - x$ 有3个零点 B、若函数 $y = f (x) - t$ 有四个零点，则 $t \in [1 ， 2]$ C、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = t$ 有四个不等实根 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 2$ D、若关于 $x$ 的方程 $f^{2} (x) - 3 f (x) + α = 0$ 有8个不等实根，则 $α \in (2 ， \frac{9}{4})$

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8. 下列四个命题是真命题的是（）

A、若 $f (x) = x^{2} - 2 m x + m + 2$ 在 $(- 1 ， 3)$ 上有两个零点，则m的取值范围为 $(2 ， \frac{11}{5})$ B、函数 $f (x) = l o g_{a} (2 x - 1) + 2$ （其中 $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的图像过定点 $(1 ， 2)$ C、函数 $f (x) = l o g_{2} (x^{2} - 2 x)$ 的增区间为 $(- \infty ， 1)$ D、已知 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - a x - 5 ， x \leq 1 \\ \frac{a}{x} ， x > 1 \end{array}$ 在 $(- \infty ， + \infty)$ 上是增函数，则实数a的取值范围是 $[- 3 ， - 2]$

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9. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} x + 2 x - 11$ 的零点为 $α$ ，函数 $g (x) = 4^{x} + 2 x - 12$ 的零点为 $β$ ，则（）

A、 $f (β) > 0$ B、 $g (α) > 0$ C、 $α \in (4 ， 5)$ D、 $α + β = 6$

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10. 若关于 $x$ 的方程 $4^{x} - a \cdot 2^{x + 1} + 9 = 0$ 在区间 $[0 ， 4]$ 上有两个不等的实根，则 $a$ 的可能取值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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11. 设 $f (x) = | 3^{x} - 1 |$ ，关于函数 $g (x) = {[f (x)]}^{2} - (m + 2) f (x) + m (m \in R)$ ，给出下列四个叙述，其中正确的有（）

A、任意 $m > 0$ ，函数 $g (x)$ 都恰有3个不同的零点 B、存在 $m \in R$ ，使得函数 $g (x)$ 没有零点 C、任意 $m < 0$ ，函数 $g (x)$ 都恰有1个零点 D、存在 $m \in R$ ，使得函数 $g (x)$ 有4个不同的零点

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12. 已知函数 $f_{1} (x) = x^{2} + 3 x - 5 (x > 0)$ ， $f_{2} (x) = e^{2 x} + x - 2$ ， $f_{3} (x) = l n x + 2 x - 4$ 的零点分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ B、 $x_{2} + x_{3} = 2$ C、 $f_{3} (x_{1}) < 0$ D、 $f_{3} (x_{2}) = f_{2} (x_{3})$

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13. 关于函数 $f (x) = \sqrt{\frac{1}{1 + x^{2}}} + \sqrt{\frac{x^{2}}{1 + x^{2}}}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上先单调递增后单调递减 C、方程 $f (x) = m (m \in R)$ 根的个数可能为3个 D、函数值中有最小值，也有最大值

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14. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} (2 x + 1)}{x}$ ，下列描述不正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 有且仅有1个零点 B、函数 $f (x)$ 的增区间为 $(- ∞ ， 0) ， (\frac{1}{2} ， + ∞)$ ，减区间为 $(0 ， \frac{1}{2})$ C、若方程 $f (x) = a$ 有两不等实根 $x_{1} ， x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} < - 2$ D、对任意的实数 $k ､ b$ ，存在实数 $x_{0}$ ，当 $x \geq x_{0}$ 时， $f (x) > e^{k x + b}$

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15. 下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x) = a^{x - 1} - 2 (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象恒过定点 $(1 ， - 2)$ B、若关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + 2 x + c < 0$ 的解集为 ${x ∣ x < - 1$ 或 $x > 2}$ ，则 $a + c = 2$ C、函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} + 16} + \frac{9}{\sqrt{x^{2} + 16}}$ 的最小值为6 D、若 $a c^{2} = b c^{2} + 1$ ，则 $a > b$

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16. 已知函数 $f (x) = x^{2} e^{x - 2} + l n x - 2$ 的零点为 $x_{0}$ ，则（）

A、 $e^{2 - x_{0}} + l n x_{0} + 3$ 的值为5 B、 $e^{2 - x_{0}} + l n x_{0} + 3$ 的值为4 C、 $x_{0} \in (1 ， \frac{3}{2})$ D、 $x_{0} \in (\frac{3}{2} ， 2)$

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17. 已知实数 $a ， b$ 满足 $a > b > 0$ 且 $a + b = 2$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $a^{2} + b^{2} > 2$ B、 $\frac{8}{a} + \frac{2}{b} \geq 9$ C、 $l n a + l n b > 0$ D、 $a + \frac{1}{a} > b + \frac{1}{b}$

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18. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $I$ ，若存在 $x_{0} \in I$ ，使得 $f [f (x_{0})] = x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 是函数 $f (x)$ 的二阶不动点.下列各函数中，有且仅有一个二阶不动点的函数是（）

A、 $f (x) = x^{2} - x + 1$ B、 $f (x) = l o g_{2} (x + 1)$ C、 $f (x) = \frac{2^{x}}{2^{x} + 1}$ D、 $f (x) = | \frac{x - 1}{x + 1} |$

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19. 以下命题正确的是（）

A、函数 $f (x) = x - 2$ 与函数 $g (x) = \sqrt{x^{2} - 4 x + 4}$ 表示同一个函数 B、 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ，使 $4^{x} > 3^{x}$ C、若 $x > 0$ ， $y > 0$ 且 $x + 4 y = 1$ ，则 $2^{x} + 1 6^{y}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ D、若函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $[1 ， 2]$ ，则函数 $y = f (2^{x})$ 的定义域为 $[2 ， 4]$

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20. 已知函数 $f (x) = x - 1$ ， $g (x) = \frac{2}{x}$ ．记 $m a x {a ， b} = {\begin{array}{l} a ， & a \geq b \\ b ， & a < b \end{array}$ ，则下列关于函数 $F (x) = m a x {f (x) ， g (x)} (x \neq 0)$ 的说法正确的是（）

A、当 $x \in (0 ， 2)$ 时， $F (x) = \frac{2}{x}$ B、函数 $F (x)$ 的最小值为 $- 2$ C、函数 $F (x)$ 在 $(- 1 ， 0)$ 上单调递减 D、若关于 $x$ 的方程 $F (x) = m$ 恰有两个不相等的实数根，则 $- 2 < m < - 1$ 或 $m > 1$

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21. 函数 $f (x) = x e^{x} - e^{x} - x$ 的大于0的零点为 $a$ ，函数 $g (x) = x l n x - l n x - x$ 的大于1的零点为 $b$ ，下列判断正确的是（提示： $l n 3 \approx 1.1$ ）（）

A、 $b = e^{a}$ B、 $l n b = e^{a}$ C、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$ D、 $2 < b < 3$

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22. 已知定义域为R的奇函数 $f (x)$ 满足：当 $x \in (0 ， 1]$ 时， $f (x) = x l n x$ ；当 $x \in (1 ， + \infty)$ 时， $f (x) = 2 f (x - 1)$ ．下列说法正确的有（）

A、 $f (x)$ 的周期为2 B、当 $x \in [- 2 ， - 1)$ 时， $f (x) = 2 (x + 1) l n (- x - 1)$ C、若 $\forall n \in N^{*}$ ， $\sum_{i = 1}^{n} f (\frac{1}{e} + i) \leq λ$ ，则 $λ \geq - \frac{1}{e}$ D、若方程 $f (x) = k x - \frac{1}{2}$ 在 $[0 ， 2]$ 上恰有三个根，则实数k的取值范围是 $(1 - l n 2 ， \frac{1}{2})$

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23. 已知 $x > 0$ 时， $x > l o g_{2} x$ ，则关于函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} ， x \leq 0 \\ | l o g_{2} x | ， x > 0 \end{array}$ ，下列说法正确的是（）

A、方程 $f (x) = x$ 的解只有一个 B、方程 $f (f (x)) = 1$ 的解有五个 C、方程 $f (f (x)) = t (0 < t < 1)$ 的解有五个 D、方程 $f (f (x)) = t (t > 1)$ 的解有五个

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24. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $[- 4 ， 0) \cup (0 ， 4]$ 上的奇函数，当 $x \in (0 ， 4]$ 时， $f (x)$ 的图象如图所示，那么满足不等式 $f (x) - 3^{x} + 1 \geq 0$ 的x的可能取值是（）

A、-4 B、-1 C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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25. 下列大小关系正确的是（）

A、 $1 . 9^{2} < 2^{1.9}$ B、 $2^{2.9} < 2 . 9^{2}$ C、 $\frac{2^{l n 2}}{2^{l n 2} - 1} < \frac{2^{\sqrt{2}}}{2^{\sqrt{2}} - 1}$ D、 $l o g_{7} 4 < l o g_{12} 7$

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26. 给出下列四个命题，其中所有正确命题的选项是（）

A、函数 $f (x) = \log_{a} (2 x - 1) - 1$ 的图象过定点 $(1 ， 0)$ B、化简 $2^{\log_{\sqrt{2}} 5} + \lg 5 + \log_{3} \frac{1}{3} + \lg 2$ 的结果为25 C、已知函数 $y = \log_{a} (2 - a x)$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）在 $(0 ， 1)$ 上是减函数，则实数a的取值范围是 $(1 ， 2)$ D、若 $2^{- x} - 2^{y} > \ln x - \ln (- y)$ （ $x > 0$ ， $y < 0$ ），则 $x + y < 0$

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27. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | l n (x + 2) | ， x \in (- 2 ， 0] \\ f (x - 2) ， x \in (0 ， 2] \end{array}$ ，函数 $y = f (x) - m$ 有四个不同的零点，且从小到大依次为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $x_{1} x_{2} = 1$ B、 $0 \leq x_{1} x_{2} < 1$ C、 $x_{3} x_{4} = 1$ D、 $- 1 < x_{2} x_{4} \leq 0$

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28. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ 的图象连续不断，若存在常数 $λ (λ \in R)$ ，使得 $f (x + λ) + λ f (x) = 0$ 对于任意的实数x恒成立，则称 $f (x)$ 是回旋函数．给出下列四个命题中，正确的命题是（）

A、函数 $f (x) = x$ 是回旋函数 B、函数 $f (x) = a$ （其中a为常数， $a \neq 0$ ）为回旋函数的充要条件是 $λ = - 1$ C、若函数 $f (x) = a^{x} (0 < a < 1)$ 为回旋函数，则 $λ < 0$ D、函数 $f (x)$ 是 $λ = 2$ 的回旋函数，则 $f (x)$ 在 $[0 ， 2022]$ 上至少有1011个零点

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29. 已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ .下列选项中，满足 $M^{2} - 2 N$ 为定值（与a，x的取值均无关）的是（）

A、 $M = s i n a x + c o s a x$ ， $N = s i n a x c o s a x$ B、 $M = \sqrt{a + x} + \sqrt{a - x}$ ， $N = \sqrt{a^{2} - x^{2}}$ C、 $M = a^{x} + a^{- x}$ ， $N = \frac{1}{2} (a^{2 x} + a^{- 2 x})$ D、 $M = l o g_{a} x + l o g_{a} \frac{a}{x}$ ， $N = \frac{1}{2} l o g_{a} x l o g_{a} \frac{a}{x}$

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30. 若 $m > 0$ ， $n > \frac{1}{2}$ ，且 $m \cdot 2^{m} = 2 n (l o g_{2} n + 1) = 5$ ，则（）

A、 $m + l o g_{2} m < 3$ B、 $l o g_{2} n + 2 > \frac{5}{2 n}$ C、 $m = l o g_{2} n - 1$ D、 $m n = \frac{5}{2}$

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31. 设常数 $a \in R$ ，函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | l o g_{3} x | ， 0 < x \leq 9 \\ \frac{18}{x} ， x > 9 \end{array}$ ，若方程 $f (x) = a$ 有三个不相等的实数根 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a \in (0 ， 2)$ B、 $x_{1} \cdot x_{2} = 1$ C、 $x_{2}$ 的取值范围为 $(1 ， 9]$ D、 $f [f (54)] = 1$

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32. 已知函数 $f (x) = | x^{2} + 3 x + 1 | - a | x |$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $f (x)$ 没有零点，则 $a \in (- \infty ， 0)$ B、若 $f (x)$ 恰有2个零点，则 $a \in (1 ， 5)$ C、若 $f (x)$ 恰有3个零点，则 $a = 1$ 或 $a = 5$ D、若 $f (x)$ ）恰有4个零点，则 $a \in (5 ， + \infty)$

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33. 已知函数 $f (x) = x^{2} + m ， g (x) = f [f (x)] - x$ ，则（）

A、当 $m = \frac{1}{4}$ 时，函数 $g (x)$ 有且仅有一个零点 B、当 $m > \frac{1}{4}$ 时，函数 $g (x)$ 没有零点 C、当 $0 < m < \frac{1}{4}$ 时，函数 $g (x)$ 有两个不同的零点 D、当 $m < 0$ ，函数 $g (x)$ 有四个不同的零点

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