人教A版高一（上）数学期末突击训练专题：第三章（解答题）

试卷更新日期：2023-12-22 类型：复习试卷

进入出卷网下载

一、解答题

1. 对于函数 $f (x)$ ，若 $f (x_{0}) = x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为 $f (x)$ 的“不动点”；若 $f [f (x_{0})] = x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为 $f (x)$ 的“稳定点”．函数 $f (x)$ 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为 $A$ 和 $B$ ，即 $A = {x | f (x) = x}$ ， $B = {x | f [f (x)] = x}$ ．

(1)、设函数 $f (x) = 3 x + 4$ ，求集合 $A$ 和 $B$ ；

(2)、求证： $A ⊆ B$ ；

(3)、设函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ ，且 $A = \emptyset$ ，求证： $B = \emptyset$ ．

查看试题解析
2. 已知函数 $f (x)$ 对一切实数 $m ， n$ ，都有 $f (m + n) = f (n) + m (m + 2 n - 1)$ 成立，且 $f (2) = - 1$ ，函数 $g (x) = \frac{4 x}{1 + x^{2}}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $\forall x_{1} \in [0 ， + ∞) ， \exists x_{2} \in [- 1 ， 3] ， g (x_{1}) = f (x_{2}) - x_{2} + a$ ，求 $a$ 的取值范围.

查看试题解析
3. 已知 $f (x) = \frac{a x^{2} + (a - 4) \cdot x - 2}{1 + x^{2}}$ ．

(1)、若 $a = 4$ 时，求 $f (x)$ 的值域；

(2)、函数 $g (x) = (x^{2} + 1) f (x) + \frac{5}{2}$ ，若函数 $h (x) = \sqrt{g (x)}$ 的值域为 $[0 ， + \infty)$ ，求a的取值范围．

查看试题解析
4. 已知函数 $f (x) = \log_{2} (2^{x} - 1) (a - 2^{x + 1}) - 1 (a \in R)$

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的定义域；

(2)、若存在 $x_{0} \in (0 ， + \infty)$ 使得 $f (x_{0}) = x_{0}$ 成立，求实数a的取值范围．

查看试题解析
5. 定义满足性质“ $y = f (x) (x \in D)$ ，对任意 $x$ ， $y$ ， $\frac{x + y}{2} \in D$ 均满足 $f (\frac{x + y}{2}) \geq \frac{1}{2} [f (x) + f (y)]$ ，当且仅当 $x = y$ 时等号成立．”的函数叫M函数．
（I）下列函数（1） $g (x) = - x^{2}$ ；（2） $m (x) = x^{2}$ ；（3） $h (x) = e^{x}$ ；（4） $g (x) = \log_{2} x$ 是M函数是_________（直接写出序号）

（II）选择（I）中一个M函数，加以证明；

（III）试利用M函数解决下列问题：若实数 $m$ ， $n$ 满足 $2^{m} + 2^{n} = 1$ ，求 $m + n$ 的最大值．

查看试题解析
6. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = m \cdot 4^{x} - 2^{x + 1} + 1 - m (m \in R)$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上单调递增，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若函数 $y = g (x)$ 的定义域内存在 $x_{0}$ ，使得 $g (a + x_{0}) + g (a - x_{0}) = 2 b$ 成立，则称 $g (x)$ 为局部对称函数，其中 $(a ， b)$ 为函数 $g (x)$ 的局部对称点．若 $(1 ， 0)$ 是 $f (x)$ 的局部对称点，求实数 $m$ 的取值范围．

查看试题解析
7. 设函数 $f_{k} (x) = 2^{x} + (k - 1) \cdot 2^{- x}$ ， $x \in R$ ， $k \in Z$ ．

(1)、若 $f_{k} (x) \geq \frac{3}{2}$ 的解集为 $[1 ， + \infty)$ ，判断 $f_{k} (x)$ 的单调性并用单调性定义加以证明；

(2)、设函数 $g (x) = f_{2} (2 x) - 2 m f_{0} (x) - k$ （其中 $m \in R$ ），若 $\forall x_{1} ， x_{2} \in [0 ， 1]$ ，总 $\exists x_{3} \in [0 ， 1]$ ，使得不等式 $| g (x_{1}) - g (x_{2}) | < f_{3} (x_{3})$ 成立，求实数m的取值范围．

查看试题解析
8. 已知正整数集合 $S = {a_{1} ， a_{2} ， ⋯ ， a_{n}} (n \geq 2 ， n \in N) ， 0 < a_{1} < a_{2} < ⋯ < a_{n}$ ，对任意 $a_{i} ， a_{j} \in S$ ，定义 $d (a_{i} ， a_{j}) = | \frac{1}{a_{i}} - \frac{1}{a_{j}} |$ .若存在正整数 $k$ ，使得对任意 $a_{i} ， a_{j} \in S (a_{i} \neq a_{j})$ ，都有 $d (a_{i} ， a_{j}) \geq \frac{1}{k^{2}}$ ，则称集合 $S$ 具有性质 $F_{k}$ .记 $d (S)$ 是集合中的 ${d (a_{i} ， a_{j}) | a_{i} ， a_{j} \in S}$ 最大值.

(1)、判断集合 $A = {1 ， 2 ， 3}$ 和集合 $B = {4 ， 6}$ 是否具有性质 $F_{3}$ ，直接写出结论；

(2)、若集合 $S$ 具有性质 $F_{4}$ ，求证： $d (S) \geq \frac{n - 1}{16}$ ；

(3)、若集合 $S$ 具有性质 $F_{k}$ ，求 $n$ 的最大值.

查看试题解析
9. 函数 $f (x) = x^{2} + 2 | x - a | + a (a \in R)$ ， $g (x) = \frac{x^{2} - 2 a x + 1}{x^{2}} (a \in R)$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 为偶函数，求实数 $a$ 的值并指出此时函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $a < 0$ 时， $\forall x_{1} \in [- 1 ， - \frac{1}{3}] ， \exists x_{2} \in [- 2 ， 2] ，$ 都有 $g (x_{1}) = f (x_{2})$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

查看试题解析
10. 已知定义域为R的函数 $f (x)$ 满足：对于任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ ，都有 $f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) + f (x_{2})$ ， $f (x_{1} x_{2}) = f (x_{1}) \cdot f (x_{2})$ ，且当 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ .

(1)、试判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并给出证明；

(2)、设函数 $g (x) = \frac{f (x)}{f (x^{2}) + 1}$ ，请判断 $g (x)$ 在 $(0 ， 1)$ 上的单调性，并求不等式 $g (x - 2) > g (2)$ 的解.

查看试题解析
11. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y_{1} = a x + b$ 的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x}$ 的图象交于点 $A (1 ， 2)$ 和 $B (- 2 ， m)$ ．

(1)、求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)、请直接写出 $y_{1} > y_{2}$ 时，x的取值范围；

(3)、过点B作 $B E / / x$ 轴， $A D ⊥ B E$ 于点D，点C是直线BE上一点，若 $A C = 2 A D$ ，求点C的坐标．

查看试题解析
12. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{m}$ ，且 $f (x) = f (- x)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、在① $(0 ， + ∞)$ ， ② $(- ∞ ， 0)$ 这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.
问题：已知函数 $g (x)$ 在 $R$ 上单调递增，且 $g (0) = 0$ ， $h (x) = f (x) + | g (x) | + 2$ ，判断 $h (x)$ 在 ▲ 上的单调性，并用定义法证明.
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.

查看试题解析
13. 已知幂函数 $f (x) = {(m - 1)}^{2} x^{m^{2} - 4 m + 2}$ 在(0,+∞)上单调递增，函数g(x)=2^x-k.
(Ⅰ)求实数m的值；

(Ⅱ)当x∈(1，2]时，记ƒ(x)，g(x)的值域分别为集合A．B,若A∪B=A，求实数k的值范围.

查看试题解析
14. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{- 2 m - 1}$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增.

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、若 ${(k + 1)}^{m} < {(3 - 2 k)}^{m}$ ，求实数 $k$ 的取值范围.

查看试题解析
15. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} + a}{b \cdot 2^{x} + 1}$ 是定义域为R的奇函数．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若存在 $x \in [- 2, 2]$ 使不等式 $f (m \cdot 4^{x}) + f (1 - 2^{x + 1}) \geq 0$ 成立，求m的最小值．

查看试题解析
16. 已知幂函数f（x）=x^（²^﹣^k^）（¹⁺^k^）（k∈Z），且f（x）在（0，+∞）上单调递增．

(1)、求实数k的值，并写出相应的函数f（x）的解析式；

(2)、试判断是否存在正数q，使函数g（x）=1﹣qf（x）+（2q﹣1）x在区间[﹣1，2]上的值域为[﹣4， $\frac{17}{8}$ ]．若存在，求出q的值；若不存在，请说明理由．

查看试题解析
17. 已知幂函数f（x）=（m²﹣m﹣1）x^﹣^5m^﹣³在（0，+∞）上是增函数，又g（x）=log_a $\frac{1 - m x}{x - 1}$ （a＞1）．

(1)、求函数g（x）的解析式；

(2)、当x∈（t，a）时，g（x）的值域为（1，+∞），试求a与t的值．

查看试题解析
18. 已知指数函数 $y = f (x) ， x \in R$ $.$ 若函数 $g (x) = k f (x)$ ，且满足： $g (0) = 3 ， \frac{g (0.5)}{g (0)} = 2 ， \frac{g (1)}{g (0.5)} = 2 ， \dots ， \frac{g (0.5 n)}{g (0.5 (n - 1))} = 2 ， n \in N^{*} .$

(1)、求指数函数 $y = f (x)$ 的解析式；

(2)、已知函数 $h (x) = {\begin{array}{l} f (x) - 4 (x < a^{2}) \\ x^{2} - 3 a x + 2 a^{2} (x \geq a^{2}) \end{array}$ ，若 $h (x) = 0$ 有两个不同的实根，求实数 $a$ 的取值范围.

查看试题解析
19. 2015年10月5日，我国女药学家屠呦呦获得2015年诺贝尔医学奖.屠呦呦和她的团队研制的抗疟药青蒿素，是科学技术领域的重大突破，开创了定疾治疗新方法，挽救了全球特别是发展中国家数百万人的生命，对促进人类健康､减少病痛发挥了难以估量的作用.当年青蒿素研制的过程中，有一个小插曲：虽然青蒿素化学成分本身是有效的，但是由于实验初期制成的青蒿素药片在胃液中的溶解速度过慢，导致药片没有被人体完全吸收，血液中青蒿素的浓度（以下简称为“血药浓度”）的峰值（最大值）太低，导致药物无效.后来经过改进药片制备工艺，使得青蒿素药片的溶解速度加快，血药浓度能够达到要求，青蒿素才得以发挥作用.已知青蒿素药片在体内发挥作用的过程可分为两个阶段，第一个阶段为药片溶解和进入血液，即药品进入人体后会逐渐溶解，然后进入血液使得血药浓度上升到一个峰值；第二个阶段为吸收和代谢，即进入血液的药物被人体逐渐吸收从而发挥作用或者排出体外，这使得血药浓度从峰值不断下降，最后下降到一个不会影响人体机能的非负浓度值.人体内的血药浓度是一个连续变化的过程，不会发生骤变.现用t表示时间（单位： $h$ ），在 $t = 0$ 时人体服用青蒿素药片；用C表示青蒿素的血药浓度（单位： $μ g / m l$ ）.根据青蒿素在人体发挥作用的过程可知，C是t的函数.已知青蒿素一般会在1.5小时达到需要血药浓度的峰值.请根据以上描述完成下列问题：

(1)、下列几个函数中，能够描述青蒿素血药浓度变化过程的函数的序号是.
① $C (t) = {\begin{array}{l} 0.2 t ， 0 \leq t < 1.5 \\ 0.75 - 0.3 t ， t \geq 1.5 \end{array}$
② $C (t) = {\begin{array}{l} - \frac{1}{5} t^{2} + \frac{2}{5} t ， 0 \leq t < 15 \\ \frac{9}{40} - \frac{1}{20} t ， 1.5 \leq t < 4.5 \\ 0 ， t \geq 4.5 \end{array}$
③ $C (t) = {\begin{array}{l} 0.3 e^{t} - 0.3 ， 0 \leq t < 1.5 \\ \frac{0.3 l n (2.5)}{t} ， t \geq 1.5 \end{array}$
④ $C (t) = {\begin{array}{l} 0.2 l n (t + 1) ， 0 \leq t < 1.5 \\ \frac{0.3 l n (2.5)}{t} ， t \geq 1.5 \end{array}$

(2)、对于青蒿素药片而言，若血药浓度的峰值大于等于0.1 $μ g / m l$ ，则称青蒿素药片是合格的.基于（1）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），可判断此青蒿素药片；（填“合格”､“不合格”）

(3)、记血药浓度的峰值为 $C_{m a x}$ ，当 $C \geq \frac{1}{2} C_{m a x}$ 时，我们称青蒿素在血液中达到“有效浓度”，基于（1）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），计算青蒿素在血液中达到“有效浓度”的持续时间.

查看试题解析
20. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{4}{x} - x, 0 < x \leq 2 \\ - x^{2} + (a + 2) x - 2 a, x > 2 \end{array}$ ，其中 $a$ 为实数．

(1)、若函数 $f (x)$ 为定义域上的单调函数，求 $a$ 的取值范围．

(2)、若 $a < 7$ ，满足不等式 $f (x) - a > 0$ 成立的正整数解有且仅有一个，求 $a$ 的取值范围．

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = x | x - a | + x$ .

(1)、当 $a > 0$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a = 2$ 时，讨论函数 $f (x)$ 在区间 $[1, m]$ $(m > 1)$ 上的最大值的表达式 $g (m)$ .

查看试题解析
22. 已知 $f (x) = {\begin{matrix} {(x - a)}^{2} & , x \leq 0 \\ x + \frac{1}{x} + a + 4, & x > 0 \end{matrix}$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f [f (- 1)]$ ；

(2)、试判断 $y = f (x)$ 在 $[1, + \infty)$ 的单调性，并用定义证明；

(3)、求 $y = f (x)$ 的最小值 $g (a)$ .

查看试题解析
23. 已知函数 $f (x) = | x - a | - 2, a \in R$

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $x \in [- 1, 1]$ 时的最大值为1，求实数 $a$ 的值；

(2)、若函数 $g (x) = x \cdot f (x) + 2 a$ ，记 $g (x)$ 在 $x \in [- 2, 2]$ 时的最大值为 $M (a)$ ，求 $M (a)$ .

查看试题解析
24. 某公司为了应对金融危机，决定适当进行裁员，已知这家公司现有职工 $2 m$ 人（ $60 < m < 150$ ，且 $m$ 为10的整数倍），每人每年可创利100千元，据测算，在经营条件不变的前的提下，若裁员人数不超过现有人数的30%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利1千元（即若裁员 $a$ 人，留岗员工可多创利润 $a$ 千元）；若裁员人数超过现有人数的30%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利2千元（即若裁员 $a$ 人，留岗员工可多创利润 $2 a$ 千元），为保证公司的正常运转，留岗的员工数不得少于现有员工人数的50%，为了保障被裁员工的生活，公司要付给被裁员工每人每年20千元的生活费.

(1)、设公司裁员人数为 $x$ ，写出公司获得的经济效益 $y$ （千元）关于 $x$ 的函数（经济效益=在职人员创利总额—被裁员工生活费）；

(2)、为了获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？

查看试题解析
25. 某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产 $x$ 千件，需另投入成本 $C (x)$ ，当年产量不足80千件时， $C (x) = \frac{1}{3} x^{2} + 10 x$ （万元）；当年产量不小于80千件时， $C (x) = 51 x + \frac{10000}{x} - 1450$ （万元），每件售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．

(1)、写出年利润 $L (x)$ （万元）关于年产量 $x$ （千件）的函数解析式；

(2)、年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

查看试题解析
26. $f (x) = | x + 3 | + | x - 2 |$

(1)、求 $f (x)$ 的值域；

(2)、求 $f (x)$ 的单调增区间；

(3)、求 $f (x)$ 的对称轴.

查看试题解析
27. 某市每年春节前后，由于大量的烟花炮竹的燃放，空气污染较为严重．该市环保研究所对近年春节前后每天的空气污染情况调查研究后发现，每天空气污染的指数 $f (t)$ 随时刻 $t$ (时)变化的规律满足表达式 $f (t) = | \lg (\frac{3}{8} t + 1) - a | + 3 a + 2$ ， $t \in [0, 24]$ ，其中 $a$ 为空气治理调节参数，且 $a \in (0, 1)$ ．

(1)、令 $x = \lg (\frac{3}{8} t + 1)$ ，求 $x$ 的取值范围；

(2)、若规定每天中 $f (t)$ 的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过5，试求调节参数 $a$ 的取值范围．

查看试题解析
28. 某水域受到污染，水务部门决定往水中投放一种药剂来净化水质，已知每次投放质量为 $m$ 的药剂后，经过 $x$ （ $x \in R^{+}$ ）天，该药剂在水中释放的浓度 $y$ （毫克 $/$ 升）为 $y = m f (x)$ ，其中 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{x}{4} + 2, 0 < x \leq 4 \\ \frac{6}{x - 2}, x > 4 \end{array}$ ，当药剂在水中释放浓度不低于 $4$ （毫克 $/$ 升）时称为有效净化，当药剂在水中释放的浓度不低于 $4$ （毫克 $/$ 升）且不高于 $10$ （毫克 $/$ 升）时称为最佳净化.

(1)、如果投放的药剂质量为 $m = 4$ ，那么该水域达到有效净化一共可持续几天？

(2)、如果投放的药剂质量为 $m$ ，为了使该水域 $7$ 天（从投放药剂算起，包括第 $7$ 天）之内都达到最佳净化，确定应该投放的药剂质量 $m$ 的值.

查看试题解析
29. 已知函数 $f (x) = | x | + | x - 1 |$ .

(1)、若 $f (x) \geq | m - 1 |$ 恒成立，求实数 $m$ 的最大值；

(2)、记(1)中的 $m$ 最大值为 $M$ ，正实数 $a$ ，满足 $a^{2} + b^{2} = M$ ，证明： $a + b \geq 2 a b$ .

查看试题解析
30. 建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的大计，是实现中国梦的重要内容.习近平指出：“绿水青山就是金山银山”。某乡镇决定开垦荒地打造生态水果园区，其调研小组研究发现：一棵水果树的产量 $w$ （单位：千克）与肥料费用 $10 x$ （单位：元）满足如下关系： $ω (x) = {\begin{matrix} 5 x^{2} + 10 (0 \leq x \leq 2) \\ 40 - \frac{30}{1 + x} (2 < x \leq 5) \end{matrix}$ 。此外，还需要投入其它成本（如施肥的人工费等） $20 x$ 元.已知这种水果的市场售价为16元/千克，且市场需求始终供不应求。记该棵水果树获得的利润为 $f (x)$ （单位：元）。

(1)、求 $f (x)$ 的函数关系式；

(2)、当投入的肥料费用为多少时，该水果树获得的利润最大？最大利润是多少？

查看试题解析