人教A版高一（上）数学期末突击训练专题：第三章（多项选择题）

试卷更新日期：2023-12-22 类型：复习试卷

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一、多项选择题

1. 函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（）

A、 $f (0) = 0$ B、若 $f (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上有最小值－1，则 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0]$ 上有最大值1 C、若 $f (x)$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上为增函数，则 $f (x)$ 在 $(- \infty ， - 1]$ 上为减函数 D、若 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$ ，则 $x < 0$ 时， $f (x) = - x^{2} - 2 x$

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2. 已知函数 $f (x)$ 是偶函数， $f (x + 1)$ 是奇函数，当 $x \in [2 ， 3]$ 时， $f (x) = 1 - | x - 2 |$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $(- 3 ， - 2)$ 上为减函数 B、 $f (x)$ 的最大值是1 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - 2$ 对称 D、 $f (x)$ 在 $(- 4 ， - 3)$ 上 $f (x) < 0$

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3. 函数 $f (x) = x + 1$ ， $g (x) = (x + 1)^{2}$ ，用 $M (x)$ 表示 $f (x)$ ， $g (x)$ 中的较大者，记为 $M (x) = m a x {f (x) ， g (x)}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $M (2) = 3$ B、 $\forall x \geq 1$ ， $M (x) \geq 4$ C、 $M (x)$ 有最大值 D、 $M (x)$ 最小值为0

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4. 若函数 $f (x)$ 的定义域为D ，若对于任意 $x_{1} \in D$ ，都存在唯一的 $x_{2} \in D$ ，使得 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 1$ ，则称 $f (x)$ 为“Ⅰ型函数”，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x) = l n x$ 是“Ⅰ型函数” B、函数 $f (x) = s i n x$ 是“Ⅰ型函数” C、若函数 $f (x)$ 是“Ⅰ型函数”，则函数 $1 - f (x)$ 也是“Ⅰ型函数” D、已知 $m \in R$ ，若 $f (x) = m + s i n x$ ， $x \in [- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 是“Ⅰ型函数”，则 $m = \frac{1}{2}$

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5. 已知函数 $f (x)$ 定义域为 $R$ ，且 $f (x) = - f (2 - x)$ ， $g (x) = (1 - x) f (x)$ ，函数 $g (x)$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上递增，则下列命题为真命题的是（）

A、 $f (- x - 1) = - f (x + 1)$ B、函数 $g (x)$ 在 $(- \infty ， 1]$ 上递减 C、若 $a < 2 - b < 1$ ，则 $g (1) < g (b) < g (a)$ D、若 $g (a) > g (a + 1)$ ，则 $a < \frac{1}{2}$

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6. 下列结论不正确的是（）

A、若函数 $y = f (x + 1) - 2$ 为奇函数，则 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(1 ， - 2)$ 中心对称 B、若关于 $x$ 的不等式 $k x^{2} - 6 k x + k + 8 \geq 0$ 恒成立，则 $k$ 的取值范围为 $0 < k \leq 1$ C、 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则“ $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ”是“ $△ A B C$ 是直角三角形”的充要条件 D、幂函数 $y = f (x)$ 的图象经过点 $(9 ， 3)$ ，若 $x_{2} > x_{1} > 0$ ，则 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) > \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$

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7. 定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 满足： $f (2) = 2$ ，且对于任意 $x_{1} > x_{2} > 0$ ， $x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2}) > 2 x_{2} - 2 x_{1}$ ，若函数 $g (x) = \frac{f (x) - 2}{x}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $g (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 单调递增 B、 $g (- 3) < g (4)$ C、 $f (x)$ 在 $(2 ， + \infty)$ 单调递减 D、若正数 $m$ 满足 $f (2 m) - \frac{m}{2} f (4) + m - 2 > 0$ ，则 $m \in (2 ， + \infty)$

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8. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - 4 x + 5$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $f (x) \geq (a - 4) x + 2$ 对 $\forall x \in R$ 恒成立，则实数a的取值范围是 $[0 ， 12]$ B、若 $f (x) \geq (a - 4) x + 2$ 对 $\forall x \in R$ 恒成立，则实数a的取值范围是 $(0 ， 12)$ C、若 $a = 4$ ， $f (x)$ 的定义域为 $[0 ， m]$ ，值域为 $[4 ， 5]$ ，则实数m的取值范围是 $[\frac{1}{2} ， 1]$ D、若 $a = 4$ ， $f (x)$ 的定义域为 $[0 ， m]$ ，值域为 $[4 ， 5]$ ，则实数m的取值范围是 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$

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9. 已知函数 $f (x) = x^{a}$ 的图象经过点 $(\frac{1}{3} ， 3)$ 则（）

A、 $f (x)$ 的图象经过点 $(3 ， 9)$ B、 $f (x)$ 的图象关于y轴对称 C、 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 内的值域为 $(0 ， + \infty)$

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10. 设函数 $f (x) = m i n {(x - 2)^{2} ， | x | ， (x + 2)^{2}}$ ，其中 $m i n {a ， b ， c}$ 表示 $a ， b ， c$ 中的最小者，则下列说法正确的是（）

A、 $f (- x) = f (x)$ B、当 $x \in [- 3 ， 3]$ 时，则 $f (x) ≤ 1$ C、当 $x \in [1 ， + ∞)$ 时，则 $f (x - 2) \leq f (x)$ D、 $f (f (x)) \leq f (x)$

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11. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，记 $g (x) = f^{'} (x)$ ，若 $f (x + 2)$ 为偶函数， $g (x)$ 为奇函数，则（）

A、 $f (x) = f (4 - x)$ B、 $g (x) = - g (4 - x)$ C、 $f (x) = - f (x + 4)$ D、 $g (x) = g (x + 4)$

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12. 已知 $m > 1 ， n > 1$ ，若 $e^{m} > m e^{n + 1} - n e^{m}$ ，则（）

A、 $\frac{e^{m}}{m} > \frac{e^{n + 1}}{n + 1}$ B、 ${(\frac{1}{2})}^{m - 1} > {(\frac{1}{2})}^{n}$ C、 $2^{m - 4} + 2^{- n} > \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $l o g_{3} (m + n) > 1$

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13. 若函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 分别是 $R$ 上的偶函数、奇函数，且 $f (x) + g (x) = {(s i n x + c o s x)}^{2}$ ，则（）

A、 $f (x) = c o s 2 x$ B、 $g (x) = s i n 2 x$ C、 $f (g (x)) < g (f (x))$ D、 $f (g (x)) > g (f (x))$

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14. 设函数 $f (x) = l n | x + 2 | - l n | x - 2 |$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的定义域为 $(- ∞ ， - 2) \cup (2 ， + ∞)$ B、 $f (x)$ 的值域为 $R$ C、 $f (x)$ 在 $(- \infty ， - 2)$ 单调递增 D、 $f (x)$ 在 $(2 ， + \infty)$ 单调递减

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15. 已知欧拉函数 $φ (x) (x \in N^{*})$ 的函数值等于所有不超过正整数 $x$ ，且与 $x$ 互素的正整数的个数，例如： $φ (1) = 1$ ， $φ (4) = 2$ ，则（）

A、 $φ (x)$ 是单调递增函数 B、当 $x \leq 8$ 时， $φ (x)$ 的最大值为 $φ (7)$ C、当 $x$ 为素数时， $φ (x) = x - 1$ D、当 $x$ 为偶数时， $φ (x) = \frac{x}{2}$

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16. 已知函数 $f (x) = l n (x^{2} - b x - b + 1)$ ，下列说法正确的有（）

A、当 $b = 0$ 时，函数 $f (x)$ 的定义域为R B、当 $b = 0$ 时，函数 $f (x)$ 的值域为R C、函数 $f (x)$ 有最小值的充要条件为： $b^{2} + 4 b - 4 < 0$ D、若 $f (x)$ 在区间 $[2 ， + \infty)$ 上单调递增，则实数 $b$ 的取值范围是 $(- \infty ， \frac{5}{3})$

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17. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 $x ∈ R$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数，例如： $[- 3.5] = - 4 ， [2.1] = 2$ .已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} - \frac{1}{2}$ ，则关于函数 $g (x) = [f (x)]$ 的叙述中正确的是（）

A、 $g (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 是奇函数 C、 $f (x)$ 在 $R$ 上是增函数 D、 $g (x)$ 的值域是 ${- 1 ， 0}$

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18. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - 2^{- x} + a ， x < 0 \\ 2^{x} - a ， x > 0 \end{array}$ ， $a \in R$ ，下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、若 $f (x)$ 在定义域上是增函数，则 $a < 1$ C、若 $f (x)$ 的值域为 $R$ ，则 $a > 1$ D、当 $a \leq 1$ 时，若 $f (x) + f (3 x + 4) > 0$ ，则 $x \in (0 ， + ∞)$

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19. 已知 $x > 0 ， y > 0$ ，且 $3 x + 2 y = 4$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $x y$ 的最大值为 $\frac{2}{3}$ B、 $\sqrt{3 x} + \sqrt{2 y}$ 的最大值为8 C、 $\frac{3}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值为 $\frac{25}{4}$ D、 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值为 $\frac{16}{13}$

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20. 设函数 $f (x) = | 2^{x} - 2 | ， a ， b \in R_{+}$ ，且 $a \neq b$ ，则下列关系可能成立的是（）

A、 $f (\sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}) > f (\sqrt{a b}) > f (\frac{2 a b}{a + b})$ B、 $f (\frac{2 a b}{a + b}) > f (\frac{a + b}{2}) > f (\sqrt{a b})$ C、 $f (\frac{2 a b}{a + b}) > f (\sqrt{a b}) > f (\sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}})$ D、 $f (\sqrt{a b}) > f (\frac{2 a b}{a + b}) > f (\frac{a + b}{2})$

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21. 已知正实数 $m$ ， $n$ 满足 $\sqrt{9 n^{2} - 24 n + 17} - \sqrt{4 m^{2} + 1} = 2 m + 3 n - 4$ ，若方程 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = t$ 有解，则实数 $t$ 的值可以为（）

A、 $\frac{5 + 2 \sqrt{6}}{4}$ B、 $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ C、1 D、 $\frac{11}{4}$

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22. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ， $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < - 1$ ，则（）

A、 $f (- 2) > f (2) + 4$ B、 $f (x) > f (x + 1) + 1$ C、 $f (\sqrt{x}) + \sqrt{x} \geq f (0)$ D、 $f (| a | + \frac{1}{| a |}) + | a | + \frac{1}{| a |} < f (2) + 3$

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23. 高斯是历史上最有影响力的数学家之一，享有“数学王子”的美誉，高斯函数 $f (x) = [x] ， [x]$ 表示不超过x的最大整数，如 $[1.6] = 1 ， [- 1.6] = - 2$ ，则（）

A、 $f (x + 1) = f (x) + 1$ B、 $f (x y) \leq f (x) f (y)$ C、 $f (x + y) \geq f (x) + f (y)$ D、对任意 $n \in N^{*} ， f (n x) \geq n f (x)$

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24. 已知函数 $f (x) = | \frac{| x | + 1}{| x | - 1} |$ ，则正确的结论为（）

A、 $f (x)$ 的定义域为 ${x | x \neq 0 且 x \neq \pm 1}$ B、函数 $f (x)$ 的图像关于y轴对称 C、 $f (x)$ 在 $(0 ， 1)$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 在 $(- 1 ， 1)$ 上的最小值为1

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25. 设 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如： $[1.2] = 1$ ， $[- 1.2] = - 2$ ， $y = [x]$ 又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $[2 x] = 2 [x]$ B、 $\forall x ， y \in R$ ，若 $[x] = [y]$ ，则 $x - y > - 1$ C、 $\forall x \in R$ ， $[x] + [x + \frac{1}{2}] = [2 x]$ D、不等式 $2 {[x]}^{2} - [x] - 3 \geq 0$ 的解集为 ${x | x ≤ - 1$ 或 $x ≥ 2}$

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26. 函数 $D (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x \in Q \\ 0 ， x \notin Q \end{array}$ 被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是（）

A、函数 $D (x)$ 的值域为 $[0 ， 1]$ B、若 $D (x_{0}) = 1$ ，则 $D (x_{0} + 1) = 1$ C、若 $D (x_{1}) - D (x_{2}) = 0$ ，则 $x_{1} - x_{2} \in Q$ D、 $\exists x \in R$ ， $D (x + \sqrt{2}) = 1$

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27. 函数 $f (x) = l g [(k - 1) x^{2} - (k - 1) x + 1]$ 的值域为 $R$ ，则实数 $k$ 可能的取值有（）

A、5 B、1 C、 $2021$ D、3

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28. 已知函数 $g (x) = l o g_{a} (x + k)$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象如下所示．函数 $f (x) = (k - 1) a^{x} - a^{- x}$ 的图象上有两个不同的点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ，则（）

A、 $a > 1$ ， $k > 2$ B、 $f (x)$ 在 $R$ 上是奇函数 C、 $f (x)$ 在 $R$ 上是单调递增函数 D、当 $x \geq 0$ 时， $2 f (x) \leq f (2 x)$

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29. 定义：若对于定义域内任意x，总存在正常数a，使得 $f (x + a) > f (x)$ 恒成立，则称函数 $f (x)$ 为“a距”增函数，以下判断正确的有（）

A、函数 $f (x) = 3 x (x \in R)$ 是“a距”增函数 B、函数 $f (x) = 2^{x} - x (x > 0)$ 是“1距”增函数 C、若函数 $f (x) = x^{3} - \frac{1}{4} x + 4 (x \in R)$ 是“a距”增函数，则a的取值范围是 $(0 ， 1)$ D、若函数 $f (x) = 2^{x^{2} + k | x |} (x \in (- 1 ， + \infty))$ 是“2距”增函数，则k的取值范围是 $(- 2 ， + \infty)$

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30. 设函数 $f (x)$ 的定义域为D，若对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in D$ ，都有 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | < 1$ ，则称 $f (x)$ 满足“L条件”，则下列函数满足“L条件”的是（）

A、 $f (x) = - x$ ， $x \in (- 1 ， 1)$ B、 $f (x) = x + \frac{2}{x}$ ， $x \in [1 ， 2]$ C、 $f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ ， $x \in [- \frac{2}{3} ， 1]$ D、 $f (x) = l n x$ ， $x \in (1 ， e)$

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31. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的图象是连续不断的，且满足以下条件：① $\forall x \in R$ ， $f (- x) = f (x)$ ；② $\forall x_{1} ， x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{2} - x_{1}} > 0$ ；③ $f (- 1) = 0$ .下列选项成立的（）

A、 $f (3) > f (- 4)$ B、若 $f (m - 1) < f (2)$ ，则 $m \in (- \infty ， 3)$ C、若 $\frac{f (x)}{x} > 0$ ，则 $x \in (- \infty ， - 1) \cup (0 ， 1)$ D、 $\forall x \in R$ ， $\exists M \in R$ ，使得 $f (x) \leq M$

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32. 符号 $[x]$ 表示不超过x的最大整数，如 $[- 3.5] = - 4$ ， $[2.1] = 2$ ，定义函数 $f (x) = x - [x]$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (- \frac{2}{3}) < f (\frac{2}{3})$ B、函数 $f (x)$ 是增函数 C、方程 $f (x) - \frac{1}{2021} = 0$ 有无数个实数根 D、 $f (x)$ 的最大值为1，最小值为0

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33. —般地，若函数 $f (x)$ 的定义域为 $[a ， b]$ ，值域为 $[k a ， k b]$ ，则称 $[a ， b]$ 为 $f (x)$ 的“ $k$ 倍跟随区间”；特别地，若函数 $f (x)$ 的定义域为 $[a ， b]$ ，值域也为 $[a ， b]$ ，则称 $[a ， b]$ 为 $f (x)$ 的“跟随区间”.下列结论正确的是

A、若 $[1 ， b]$ 为 $f (x) = x^{2} - 2 x + 2$ 的跟随区间，则 $b = 3$ B、函数 $f (x) = 2 - \frac{3}{x}$ 不存在跟随区间 C、若函数 $f (x) = m - \sqrt{x + 1}$ 存在跟随区间，则 $m \in (- \frac{1}{4} ， 0]$ D、二次函数 $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + x$ 存在“3倍跟随区间”

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