人教A版高一（上）数学期末突击训练专题：第三章（选择题）

试卷更新日期：2023-12-22 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 已知函数 $f (x) = 2^{(a - 2) x^{2} - (a + 1) x + 3}$ 的值域为 $(0 ， + ∞) ， g (x) = l g (x^{2} - 10 x + 5 b)$ 的值域为 $[1 ， + \infty)$ ，则 $a + b =$ （）

A、7 B、8 C、9 D、10

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2. 已知函数 $f (x) = l g [4 a x^{2} + (8 - 4 a) x + 1]$ 的值域为 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、(0，4) B、[1，4]∪{0} C、(0，1]∪[4，+∞） D、[0，1]∪[4，+∞）

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3. 设 $x \in R$ ，计算机程序中用 $INT (x)$ 表示不超过x的最大整数，例如： $INT (- 2 ， 1) = - 3$ ， $INT (1 ， 2) = 1$ ．若函数 $f (x)$ 与 $g (x) = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x + 2} + 1$ 是同一函数，则函数 $y = INT (f (x))$ 的值域为（）

A、 ${3 ， 4}$ B、 ${2 ， 3 ， 4}$ C、 ${3 ， 4 ， 5}$ D、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$

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4. 已知函数 $f (\frac{1 - x}{1 + x}) = \frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}}$ ，则 $f (x)$ 的解析式为（）

A、 $f (x) = \frac{2 x}{1 + x^{2}} (x \neq - 1)$ B、 $f (x) = - \frac{2 x}{1 + x^{2}} (x \neq - 1)$ C、 $f (x) = \frac{x}{1 + x^{2}} (x \neq - 1)$ D、 $f (x) = - \frac{x}{1 + x^{2}} (x \neq - 1)$

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5. 函数 $f (x) = 3 \sin (2 x + 26 °) + 10 \cos^{2} (x + 28 °)$ 的值域为（）

A、 $[- \sqrt{19} ， \sqrt{19}]$ B、 $[5 - \sqrt{19} ， 5 + \sqrt{19}]$ C、 $[- \sqrt{34} ， \sqrt{34}]$ D、 $[5 - \sqrt{34} ， 5 + \sqrt{34}]$

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6. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2 a x + 4 ， x \leq 1 \\ \frac{a}{x} ， x > 1 \end{array}$ 是 $R$ 上的减函数，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \geq 1$ B、 $a > 0$ C、 $1 \leq a \leq \frac{5}{3}$ D、 $2 \leq a < 3$

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7. 我们知道函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图像关于点 $H (a ， b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数，则函数 $f (x) = x + \frac{1}{x + 1}$ 的对称中心是（）

A、 $(- 1 ， - 1)$ B、 $(1 ， 1)$ C、 $(0 ， 0)$ D、 $(- 1 ， 1)$

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8. 公园内常设有如图所示的护栏，柱与柱之间是一条均匀悬链.数学中把这种两端固定的一条(粗细与质量分布)均匀、柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为 $f (x) = a e^{x} + b e^{- x}$ (其中 $a ， b$ 为非零常数， $e$ 为无理数， $e = 2.718 ⋯)$ ，则以下结论正确的是（）

A、若 $a = b$ ，则 $y = f (x)$ 为奇函数 B、若 $a b = 1$ ，则函数 $y = f (x)$ 的最小值为2 C、若 $a b > 0$ ，则方程 $f (x) = 0$ 没有实数根 D、若 $a b < 0$ ，则函数 $y = f (x)$ 为单调递增函数

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9. 记函数 $f (x) = | x^{2} - a x |$ 在区间 $[0 ， 1]$ 上的最大值为 $g (a)$ ，则 $g (a)$ 的最小值为（）

A、 $3 - 2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2} - 1$ C、 $\frac{1}{4}$ D、1

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10. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (a - 1) x + a ， x < 1 \\ | 2 x - a | + \frac{3}{2} ， x \geq 1 \end{array}$ 满足对任意的 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立，则实数a的取值范围是（）

A、 $(1 ， \frac{3}{2}]$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(1 ， 2]$ D、 $[\frac{3}{2} ， + \infty)$

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11. 已知 $a = (\frac{5}{2})^{\frac{1}{2}}$ ， $b = 2^{\frac{2}{3}}$ ， $c = 3^{\frac{2}{5}}$ ，则 $a ， b ， c$ 大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $a < c < b$ D、 $c < b < a$

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12. 函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{4 m^{9} - m^{5} - 1}$ 是幂函数，对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，满足 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，若 $a ， b \in R$ ，且 $a + b > 0$ ，则 $f (a) + f (b)$ 的值（）

A、恒大于0 B、恒小于0 C、等于0 D、无法判断

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13. 设a＞1，若对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a²]满足方程log_ax+log_ay=3，这时a的取值集合为（）

A、{a|1＜a≤2} B、{a|a≥2} C、{a|2≤a≤3} D、{2，3}

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x^{2} - 2 ， x \geq 0 \\ - 4 | x + 1 | + 2 ， x < 0 \end{array}$ ，若存在唯一的整数x，使得 $\frac{f (x) + 1}{x - a} < 0$ 成立，则所有满足条件的整数a的个数为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l o g_{a} x ， (x > 1) \\ a x - 2 ， (x \leq 1) \end{array}$ ，对任意 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 2)$ B、 $(0 ， 2]$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(1 ， 2]$

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16. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 + c o s \frac{π x}{2} ， x > 1 ， \\ x^{2} ， 0 < x \leq 1 ， \end{array}$ 函数 $g (x) = x + \frac{1}{x} + a (x > 0) ，$ 若存在唯一的 $x_{0}$ ，使得 $h (x) = m i n {f (x) ， g (x)}$ 的最小值为 $h (x_{0})$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $a < - 2$ B、 $a \leq - 2$ C、 $a < - 1$ D、 $a \leq - 1$

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17. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} + 2 m x - m^{2} ， x ⩽ m ， \\ | x - m | ， x > m ， \end{array}$ 若 $f (a^{2} - 4) > f (3 a)$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， 4)$ B、 $(- \infty ， - 1) ∪ (4 ， + \infty)$ C、 $(- 4 ， 1)$ D、 $(- \infty ， - 4) ∪ (1 ， + \infty)$

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18. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} ， x \geq 0 \\ - 2 | x + 1 | + 2 ， x < 0 \end{array}$ 若存在唯一的整数x，使得 $\frac{2 f (x) - 1}{x - a} < 0$ 成立，则所有满足条件的整数a的取值集合为（）

A、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1}$ B、 ${- 2 ， - 1 ， 0}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ D、 ${- 2 ， 1}$

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19. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x} - e^{- x} (x > 0) \\ - x^{2} (x \leq 0) \end{array}$ ，若 $a = 5^{0.01} ， b = \frac{3}{2} \log_{3} 2 ， c = \log_{2} 0.9$ ，则有（）

A、 $f (a) > f (b) > f (c)$ B、 $f (b) > f (a) > f (c)$ C、 $f (a) > f (c) > f (b)$ D、 $f (c) > f (a) > f (b)$

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20. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} - 2 x ， x < 0 \\ x^{2} - 1 ， x \geq 0 \end{array}$ ，方程 $f (x) + 2 \sqrt{1 - x^{2}} + | f (x) - 2 \sqrt{1 - x^{2}} | - 2 a x - 4 = 0$ 有三个实根 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，若 $x_{3} - x_{2} = 2 (x_{2} - x_{1})$ ，则实数 $a =$ （）

A、 $a = \frac{\sqrt{17} + 3}{2}$ B、 $a = \frac{\sqrt{17} - 3}{2}$ C、 $a = - 1$ D、 $a = 1$

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21. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2 a x + 8 ， x \leq 1 \\ x + \frac{4}{x} + 2 a ， x > 1 \end{array}$ ，若 $f (x)$ 的最小值为 $f (1)$ ，则实数 $a$ 的值不可以是（）

A、1 B、 $\frac{5}{4}$ C、2 D、4

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22. 我们把函数 $D (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x 为有理数 \\ 0 ， x 为无理数 \end{array}$ 称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数给出下列结论：
① $D (| x |) = D (x)$ ；② $D (x + 1) = D (x)$ ；③ $D (D (x)) = D (x)$ ；④ ${y | y = D (x)} = {0 ， 1}$ .

其中正确命题的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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23. 若函数 $f (x) = 2 x^{2} + (x - a) | x - a |$ 在区间 $[- 3 ， 0]$ 上是单调函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 9] \cup {0} \cup [3 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 3] \cup {0} \cup [9 ， + \infty)$ C、 $[- 9 ， 3]$ D、 $[- 3 ， 9]$

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24. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 + \log_{a} | x | ， x \leq - 1 \\ {(x + 1)}^{2} + 2 a ， x > - 1 \end{array}$ ，方程 $f (x) - 1 = 0$ 有两解，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ B、 $(0 ， \frac{1}{2})$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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25. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 4 x - 2 ， x \leq 1 ， \\ \log_{2} (x + 3) ， x > 1 ， \end{array}$ 则满足不等式 $f (x) + f (x - \frac{1}{4}) > 2$ 的x的取值范围是（）

A、 $(\frac{- 23 + \sqrt{257}}{8} ， + \infty]$ B、 $(\frac{7}{8} ， 1]$ C、 $(1 ， \frac{5}{4}]$ D、 $(\frac{7}{8} ， + \infty)$

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26. 对于函数 $f (x)$ ﹐若集合 ${x | x > 0, f (x) = f (- x)}$ 中恰有 $k$ 个元素，则称函数 $f (x)$ 是“ $k$ 阶准偶函数”.若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} {(\frac{1}{2})}^{x}, x \leq a \\ x^{2}, x > a \end{array}$ 是“ $2$ 阶准偶函数”，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 0)$ B、 $[0, 2)$ C、 $[0, 4)$ D、 $[2, 4)$

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27. 已知函数 $f (x) = {\begin{cases} (2 x - 1) e^{- x} - a x (x \geq 0) \\ e^{x} (x < 0) \end{cases}$ ，若不等式 $f (x) + f (- x) \leq \frac{1}{2 \sqrt{e}}$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{e}]$ B、 $(0 ， \frac{1}{\sqrt{e}}]$ C、 $[\frac{1}{\sqrt{e}} ， + \infty)$ D、 $[\frac{1}{e} ， + \infty)$

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28. 若函数f（x）= ${\begin{array}{l} a^{x} ， x > 1 \\ (4 - \frac{a}{2}) x + 2 ， x \leq 1 \end{array}$ 在x∈（-∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）

A、 $[2, 3]$ B、 $(1, 8)$ C、 $(1, 5]$ D、 $[4, 8)$

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29. 若函数f（x）= ${\begin{matrix} - (x + 1) \cdot e^{x} ， x \leq a \\ - 2 x - 1 ， x > a \end{matrix}$ 有最大值，则实数a的取值范围是（）

A、 $[- \frac{1}{2} - \frac{1}{2 e^{2}} ， + \infty)$ B、 $[- \frac{1}{2 e^{2}} ， + \infty)$ C、[﹣2，+∞） D、 $(- 2 ， - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 e^{2}}]$

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30. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} x l n x - 2 x ， x > 0 \\ x^{2} + \frac{3}{2} x ， x \leq 0 \end{matrix}$ 的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=﹣1的对称点在y=kx﹣1的图象上，则实数k的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ B、 $(\frac{1}{2} ， \frac{3}{4})$ C、 $(\frac{1}{3} ， 1)$ D、 $(\frac{1}{2} ， 2)$

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31. 若函数g（x）满足g（g（x））=n（n∈N）有n+3个解，则称函数g（x）为“复合n+3解”函数．已知函数f（x）= ${\begin{matrix} k x + 3 ， x \leq 0 \\ \frac{e^{x - 1}}{x} ， x > 0 \end{matrix}$ （其中e是自然对数的底数，e=2.71828…，k∈R），且函数f（x）为“复合5解”函数，则k的取值范围是（）

A、（﹣∞，0） B、（﹣e，e） C、（﹣1，1） D、（0，+∞）

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