人教A版高一（上）数学期末突击训练专题：第二章（解答题）

试卷更新日期：2023-12-22 类型：复习试卷

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一、解答题

1. 阅读材料：

(1)、如图图片中为初中化学实验试题，请用数学中不等式知识解释题中“氯化钠加的越多，溶液越咸”这句话，用a代替溶质，b代替溶液，c代替添加的溶质并证明.
在氯化钠能全部溶解的情况下：氯化钠加的越多，溶液越咸

(2)、结合（1）中的不等式关系与 $a < b$ ， $c < d$ ，则有 $a + c < b + d$ 的不等式性质．
解答问题：
已知a ， b ， c是三角形的三边，求证： $\frac{2 a}{b + c} + \frac{2 b}{a + c} + \frac{2 c}{a + b} < 4$ ．

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2. 已知 $x > 0 ， y > 0 ， x + y - 2 = a (x y - 3)$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $x y$ 的最大值；

(2)、当 $a = 1$ 时，求：
① $x + 2 y$ 的最小值
② $\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{y - 1}$ 的最小值.

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3. 若函数 $f (x) = a x^{2} - (2 a + 1) x + 2$ .

(1)、讨论 $f (x) > 0$ 的解集；

(2)、若 $a = 1$ 时，总 $\exists x \in [\frac{1}{3} ， 1]$ ，对 $\forall m \in [1 ， 4]$ ，使得 $f (\frac{1}{x}) + \frac{3 - 2 m}{x} \leq b^{2} - 2 b - 2$ 恒成立，求实数b的取值范围.

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4. 某饼庄推出两款新品月饼，分别为流心月饼和冰淇淋月饼，已知流心月饼的单价为 $x$ 元，冰淇淋月饼的单价为 $y$ 元，且 $0 < x < y$ ．现有两种购买方案 $(0 < a < b)$ ：
方案一，流心月饼的购买数量为 $a$ 个，冰淇淋月饼的购买数量为 $b$ 个；
方案二，流心月饼的购买数量为 $b$ 个，冰淇淋月饼的购买数量为 $a$ 个．

(1)、试问采用哪种购买方案花费更少？请说明理由．

(2)、若 $a ， b ， x ， y$ 满足 $y = 2 x - 4 \sqrt{x - 6} (x > 6) ， b = 3 a + \frac{2}{a - 6} (a > 6)$ ，求这两种方案花费的差值 $S$ 的最小值（注：差值 $S =$ 较大值-较小值）．

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5. 双曲函数是一类与三角函数类似的函数，在物理及生活中有着重要应用.称 $c o s h x = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ 为双曲余弦函数，称 $s i n h x = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ 为双曲正弦函数.

(1)、若关于x的不等式 $2 c o s h x + m e^{- x} - 1 - m \geq 0$ 在 $[l n 2 ， + \infty)$ 上恒成立，求实数m的取值范围；

(2)、函数 $f (x) = 2 m c o s h (2 x) - 2 s i n h (x) - 3$ 在 $x \in [0 ， l n 2]$ 有2个零点，求实数m的取值范围.

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6. 已知 $a \in R$ ， $b \in R$ ，且 $a + b = 2$ .

(1)、证明： $a^{2} + b^{2} \geq 2$ ；

(2)、若 $b > 0$ ， $a \neq 0$ ，求 $\frac{1}{2 | a |} + \frac{| a |}{2 (b + 2)}$ 的最小值.

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7. 已知 $m + 2 n = 2$ ，且 $m > - 1$ ， $n > 0$ .

(1)、求 $\frac{1}{m + 1} + \frac{2}{n}$ 的最小值；

(2)、求 $\frac{m^{2}}{2 n + 2} + \frac{4 n^{2}}{m + 1}$ 的最小值.

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8. 已知 $a > 0 ， b > 0$ ，满足 $a^{2} + 4 b^{2} = 6 a b + λ$

(1)、当 $λ = - 1$ 时，求 $a + 2 b$ 的最小值

(2)、若 $λ > 0$ ，求 $\frac{b}{a}$ 的取值范围

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9. 甲、乙两同学探讨了一个问题：已知正实数 $x ， y$ 满足 $3 x + y = 1$ ，求 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值.

(1)、甲给出的解法：由 $1 = 3 x + y \geq 2 \sqrt{3 x \cdot y}$ ，得 $\sqrt{x y} \leq \frac{\sqrt{3}}{6}$ ，所以 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq 2 \sqrt{\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y}} = 2 \sqrt{\frac{1}{x y}} \geq 4 \sqrt{3}$ .所以 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为 $4 \sqrt{3}$ .而乙却说甲的解法是错的，请你指出其中的问题，并给出正确的解法；

(2)、结合上述问题探讨，试求函数 $y = \frac{1}{x} + \frac{1}{1 - 2 x} (0 < x < \frac{1}{2})$ 的最小值.

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10. 已知 $a > 1 ， b > 2$

(1)、若 $(a - 1) (b - 2) = 4$ ，求 $\frac{1}{a - 1} + \frac{1}{b - 2}$ 的最小值及此时 $a ， b$ 的值；

(2)、若 $2 a + b = 6$ ，求 $\frac{1}{a - 1} + \frac{1}{b - 2}$ 的最小值及此时 $a ， b$ 的值；

(3)、若 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$ ，求 $\frac{1}{a - 1} + \frac{1}{b - 2}$ 的最小值及此时 $a ， b$ 的值.

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11. 已知a，b，c均为正实数.

(1)、求证： $a + b + c \geq \sqrt{a b} + \sqrt{b c} + \sqrt{a c}$ .

(2)、若 $a + b = 1$ ，求证： $(1 + \frac{1}{a}) (1 + \frac{1}{b}) \geq 9$ .

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12. 已知 $x > 0 ， y > 0$ ，且 $2 x + y = 1$ .

(1)、求 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值.

(2)、是否存在正实数 $x ， y$ ，使得 $4 x^{2} + y^{2} = \frac{1}{4}$ ？请说明理由.

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13. 已知正实数 $x ， y$ ，满足 $x + y + \frac{2}{x} + \frac{6}{y} = 8$ ，求 $p = x - \frac{2}{y}$ 的最小值.

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14.

(1)、已知 $0 < x < 1$ ，则 $x (4 - 3 x)$ 取得最大值时 $x$ 的值为？

(2)、已知 $x < \frac{5}{4}$ ，则 $f (x) = 4 x - 2 + \frac{1}{4 x - 5}$ 的最大值为？

(3)、函数 $y = \frac{x^{2} + 2}{x - 1} (x > 1)$ 的最小值为？

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15. 已知正数a，b，c满足 $a^{3} b^{3} + b^{3} c^{3} + c^{3} a^{3} + a b c = 4$ ．

(1)、求证： $0 < a b c \leq 1$ ；

(2)、求证： ${(\frac{1}{a b} + \frac{1}{b c} + \frac{1}{c a})}^{2} \geq 3 (a b + b c + c a)$ ．

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16. 已知正实数 $a$ ， $b$ 满足 $\frac{1}{2 a + b} + \frac{1}{b + 1} = 1$ ，求证： $a + b \geq \frac{3}{2}$ .

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17. 已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为正数，且满足 $a + b + c = 1$ .证明：

(1)、 $\frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + c} + \frac{1}{a + b} \geq \frac{9}{2}$ ；

(2)、 $\frac{a^{3}}{b c} + \frac{b^{3}}{a c} + \frac{c^{3}}{a b} \geq 1$ .

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18. 已知函数 $g (x) = k^{2} x + k$ ， $h (x) = x^{2} - 2 (k^{2} - k + 1) x + 4$ ．

(1)、当 $k = 1$ 时，求函数 $y = \frac{h (x)}{g (x)}$ ， $x \in (- \infty, - 1)$ 的最大值；

(2)、令 $f (x) = {\begin{array}{l} g (x), x > 0 \\ h (x), x < 0 \end{array}$ ，求证：对任意给定的非零实数 $x_{1}$ ，存在惟一的实数 $x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ 使得 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ 成立的充要条件是 $k = 4$ ．

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19. 已知正数x，y满足 $x + 2 y = 3$ ，且 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值为k．

(1)、求k．

(2)、若a，b，c为正数，且 $a + b + c = k$ ，证明： $\frac{b^{2}}{a} + \frac{c^{2}}{b} + \frac{a^{2}}{c} + 3 \geq 2 k$ ．

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20. 已知 $a, b, c$ 都是正数，求证：

(1)、 $\frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{2}}{c} + \frac{c^{2}}{a} ⩾ a + b + c$ ；

(2)、 $\frac{1}{2 a} + \frac{1}{2 b} + \frac{1}{2 c} ⩾ \frac{1}{a + c} + \frac{1}{c + a} + \frac{1}{a + b}$ .

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21. 解关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - 2 \geq 2 x - a x (a \in R)$ .

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22. 已知关于x的不等式 $(a x - 1) (x - 2) > 2$ 的解集为A，且 $3 \notin A$ .
（I）求实数a的取值范围；

（II）求集合A．

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23. 已知关于 $x$ 的函数 $f (x) = 2 x^{2} - a x + 1 (a \in R)$ .
（Ⅰ）当 $a = 3$ 时，求不等式 $f (x) \geq 0$ 的解集；

（Ⅱ）若 $f (x) \geq 0$ 对任意的 $x \in (0, + \infty)$ 恒成立，求实数 $a$ 的最大值.

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24. 有一个墙角，两墙面所成二面角的大小为 $α (0 < α < π) ，$ 有一块长为 $a$ 米，宽为 $b (a > b)$ 米的矩形木板．用该木板档在墙角处，木板边紧贴墙面和地面，和墙角、地面围成一个直角三棱柱储物仓 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ．

(1)、当 $A B$ 为多少米时，储物仓底面三角形 $A B C$ 面积最大？

(2)、当 $A B$ 为多少米时，储物仓的容积最大？

(3)、求储物仓侧面积的最大值．

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25. 已知实数 $x > 0, y > 0$ 并且满足 $\frac{3}{2 x} + \frac{6}{y} = 2$ ，若 $4 x + y > 7 m - m^{2}$ 恒成立，求实数m的取值范围.

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26. 已知集合 $M = {x | \log_{2} (2^{x} - 2) < 1}, N = {x | x^{2} + (3 - a) x - 2 a (3 + a) < 0, a < - 1}$ ，设 $P : x \in M$ ， $Q : x \in N$ ，若 $P$ 是 $Q$ 成立的充分不必要条件

(1)、求出集合 $M 、 N$

(2)、求实数 $a$ 的取值范围

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27. 设 $f (x) = x^{2} - (m + 1) x + 1.$

(1)、若 $m \geq 1$ ，解不等式 $f (x) < 1 - m ；$

(2)、设 $a, b$ 为方程 $f (x) = 0$ 的两个根，证明： $a^{2} + b^{2} \geq 2 \sqrt{2} (a - b) .$

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28. 解关于 $x$ 的不等式 $(2 a - 2 a^{2}) x^{2} - 2 (1 - a) x + 1 > 0 (a \in R)$

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29. 不等式 $x^{2} - x - 2 > 0$ 的解集为A，关于x的不等式 $2 x^{2} + (5 + 2 a) x + 5 a < 0$ 的解集为B.

(1)、求集合A、集合B；

(2)、若集合 $A \cap B \cap Z$ 中有2019个元素，求实数a的取值范围.

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30. 若不等式 $a x^{2} + 5 x - 2 > 0$ 的解集是 ${x | \frac{1}{2} < x < 2}$ .

(1)、求不等式 $a x^{2} - 5 x + a^{2} - 1 > 0$ 的解集；

(2)、已知二次不等式 $a x^{2} + b x + c < 0$ 的解集为 ${x | x 〈 \frac{1}{3} 或 x 〉 \frac{1}{2}}$ ，求关于 $x$ 的不等式 $c x^{2} - b x + a > 0$ 的解集.

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