人教A版高一（上）数学期末突击训练专题：第二章（多项选择题）

试卷更新日期：2023-12-22 类型：复习试卷

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一、多项选择题

1. 若 $a > 0 ， b > 0 ， a + b = 2$ ，则下列不等式对一切满足条件的 $a ， b$ 恒成立的是（）

A、 $a b \leq 1$ B、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2}$ C、 $a^{2} + b^{2} \geq 2$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2$

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2. 已知a ， b为正实数，满足 $a + b = 1$ ，则下列判断中正确的是（）

A、 $2^{a} + 2^{b}$ 有最小值 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 有最小值 $\sqrt{2}$ C、函数 $y = a + \frac{1}{a + 1}$ 的最小值为1 D、 $\frac{a b}{4 a + b}$ 有最大位 $\frac{1}{9}$

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3. 关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + 1 > 0$ ，下列关于此不等式的解集结论正确的是（）

A、不等式 $a x^{2} + b x + 1 > 0$ 的解集可以为 $(1 ， + \infty)$ B、不等式 $a x^{2} + b x + 1 > 0$ 的解集可以为 $R$ C、不等式 $a x^{2} + b x + 1 > 0$ 的解集可以为 $\emptyset$ D、不等式 $a x^{2} + b x + 1 > 0$ 的解集可以为 ${x | - 1 < x < 1}$

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4. 下列说法正确的是（）

A、若 $a ， b$ 为正数，且满足 $a + b + 3 = a b$ ，则 $a + b$ 的最小值为 $6$ B、已知实数 $a > - 1$ ，则表达式 $\frac{a^{2} - 2 a + 6}{a + 1}$ 的最小值为 $2$ C、已知实数 $a > 1 ， b > 1$ 且 $a \neq b$ ，满足 $a b + a - b - 5 = 0$ ，则 $\frac{1}{a - 1} + \frac{1}{b + 1}$ 的最小值为 $1$ D、若两个不相等的正数 $a ， b$ 满足 $a b + 2 a + b - 2 = 0$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{2}{2 a + b}$ 的最小值为 $\frac{5 (\sqrt{2} + 1)}{2}$

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5. 已知 $a ， b ， c ， d$ 均为实数，则下列命题正确的是（）

A、若 $a > b ， c > d$ 则 $a - d > b - c$ . B、若 $a > b ， c > d$ 则 $a c > b d$ . C、若 $a > b ， c > d > 0$ ，则 $\frac{a}{d} > \frac{b}{c}$ D、若 $a b > 0 ， b c - a d > 0$ ，则 $\frac{c}{a} > \frac{d}{b}$

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6. 下列说法正确的是（）

A、若 $x$ ， $y > 0$ ， $x + y = 2$ ，则 $2^{x} + 2^{y}$ 的最大值为 $4$ ； B、若 $x < \frac{1}{2}$ ，则函数 $y = 2 x + \frac{1}{2 x - 1}$ 的最大值为 $- 1$ ； C、若 $x$ ， $y > 0$ ， $x + y + x y = 3$ ，则 $x y$ 的最小值为 $1$ D、已知 $x > 1$ ，则函数 $y = 2 x + \frac{1}{x - 1} \geq 2 + 2 \sqrt{2}$ .

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7. 若实数m，n满足 $n^{2} + 2 m n = 4$ ，其中 $n > 0$ ，则下列说法中正确的是（）

A、n的最大值为2 B、 $m + n$ 的最小值为2 C、 $\frac{1}{3 n} + \frac{1}{n + 2 m}$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $4 m^{2} + 3 n^{2}$ 的最小值为4

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8. 下列说法正确的有（）

A、若 $x < \frac{1}{2}$ ，则 $2 x + \frac{1}{2 x - 1}$ 的最大值是 $- 1$ B、若 $x ， y ， z$ 都是正数，且 $x + y + z = 2$ ，则 $\frac{4}{x + 1} + \frac{1}{y + z}$ 的最小值是3 C、若 $x > 0 ， y > 0 ， x + 2 y + 2 x y = 8$ ，则 $x + 2 y$ 的最小值是2 D、若 $a > 0 ， b > 0 ， \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$ ，则 $\frac{1}{a - 1} + \frac{4}{b - 1}$ 的最小值是4

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9. 若正数a，b满足 $a + b = 2$ ，则 $\frac{3 a}{b} + \frac{4}{a b}$ 的值可能为（）

A、4 B、6 C、8 D、10

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10. 已知 $a ， b \in R^{*}$ ， $a + 2 b = 1$ ，则 $\frac{b}{2 a} + \frac{1}{2 b} + \frac{1}{2 a b}$ 的值可能为（）

A、6 B、 $\frac{31}{5}$ C、 $\frac{13}{2}$ D、 $5 \sqrt{2}$

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11. 设 $a > 1$ ， $b > 1$ ，且 $a b - (a + b) = 1$ ，那么（）

A、 $a + b$ 有最小值 $2 (\sqrt{2} + 1)$ B、 $a^{2} + b^{2}$ 有最小值 $18 + 12 \sqrt{2}$ C、 $a b$ 有最大值 $3 + 2 \sqrt{2}$ D、 $\frac{1}{a - 1} + \frac{1}{b - 1}$ 有最小值 $\sqrt{2}$

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12. 下列说法正确的有（）

A、若 $x < \frac{1}{2}$ ，则 $2 x + \frac{1}{2 x - 1}$ 的最大值是 -1 B、若 $x$ ， $y$ ， $z$ 都是正数，且 $x + y + z = 2$ ，则 $\frac{4}{x + 1} + \frac{1}{y + z}$ 的最小值是3 C、若 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $x + 2 y + 2 x y = 8$ ，则 $x + 2 y$ 的最小值是2 D、若实数 $x$ ， $y$ 满足 $x y > 0$ ，则 $\frac{x}{x + y} + \frac{2 y}{x + 2 y}$ 的最大值是 $4 - 2 \sqrt{2}$

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13. 已知 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值是4 B、 $a b + \frac{1}{a b}$ 的最小值是2 C、 $2^{a} + 2^{b}$ 的最小值是 $2 \sqrt{2}$ D、 $l o g_{2} a + l o g_{2} b$ 的最小值是 $- 2$

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14. 下列说法正确的为（）

A、若 $x ， y > 0$ ， $x + y = 2$ ，则 $\frac{4}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为 $\frac{9}{2}$ B、若 $x < \frac{1}{2}$ ，则函数 $y = 2 x + \frac{1}{2 x - 1}$ 的最大值为-1 C、若 $x ， y > 0$ ， $x + y + x y = 3$ ，则 $x + y$ 的最小值为2 D、当 $x > 2$ 时， $x + \frac{1}{x}$ 的最小值是2

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15. 下列说法正确的有（）

A、 $y = \frac{x^{2} + 1}{x}$ 的最小值为2 B、已知 $x > 1$ ，则 $y = 2 x + \frac{4}{x - 1} - 1$ 的最小值为 $4 \sqrt{2} + 1$ C、若正数 $x$ 、 $y$ 满足 $x + 2 y = 3 x y$ ，则 $2 x + y$ 的最小值为 $3$ D、设 $x$ 、 $y$ 为实数，若 $9 x^{2} + y^{2} + x y = 1$ ，则 $3 x + y$ 的最大值为 $\frac{2 \sqrt{21}}{7}$ .

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16. 若a， $b \in (0 ， + \infty)$ ， $a + b = 1$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $(a + \frac{1}{a}) (b + \frac{1}{b})$ 的最小值为4 B、 $\sqrt{1 + a} + \sqrt{1 + b}$ 的最大值为 $\sqrt{6}$ C、 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为 $3 + 2 \sqrt{2}$ D、 $\frac{2 a}{a^{2} + b} + \frac{b}{a + b^{2}}$ 的最大值是 $\frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}$

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17. 已知 $a ， b$ 是正实数，若 $2 a + b = 2$ ，则（）

A、 $a b$ 的最大值是 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2 a} + \frac{1}{b}$ 的最小值是2 C、 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值是 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{1}{4 a + b} + \frac{2}{a + b}$ 的最小值是 $\frac{3}{2}$

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18. 已知 $a > 0 ， b > 0$ ，则下列式子一定成立的有（）

A、 $\frac{2 a b}{a + b} \leq \sqrt{a b}$ B、 $\sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} \leq \frac{a + b}{2}$ C、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \leq \frac{4}{a + b}$ D、 $\sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} \leq \frac{a^{2} + b^{2}}{a + b}$

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19. 已知 $x > 0 ， y > 0$ ，且 $2 x + y = 2$ ，若 $\frac{m x y}{m - 1} \leq x + 2 y$ 对任意的 $x > 0 ， y > 0$ 恒成立，则实数 $m$ 的可能取值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{9}{8}$ C、 $\frac{10}{7}$ D、2

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20. 设 $a > 1$ ， $b > 1$ 且 $a b - (a + b) = 1$ ，那么（）

A、a+b有最小值 $2 + 2 \sqrt{2}$ B、a+b有最大值 $2 + 2 \sqrt{2}$ C、ab有最大值 $1 + \sqrt{2}$ D、ab有最小值 $3 + 2 \sqrt{2}$

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21. 设 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $b + \frac{1}{2 a} = 1$ ，则（）

A、 $0 < b < 1$ B、 $a + b > 1$ C、 $a - 2 b$ 的最小值为0 D、 $a + \frac{1}{b}$ 的最小值为 $\frac{3}{2} + \sqrt{2}$

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22. 给已知 $a$ 、 $b \in R$ ，满足 $2^{a} + 2^{b} = 1$ ，则（）

A、 $a + b \leq - 2$ B、 $2^{a + b} \leq \frac{1}{4}$ C、 $a b \geq 2$ D、 $2^{2 a} + 2^{2 b} \geq \frac{1}{2}$

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23. 下列函数中，最小值为 $2 \sqrt{2}$ 的有（）

A、 $y = x + \frac{2}{x} (x > 0)$ B、 $y = \sin x + \frac{2}{\sin x} (0 < x < π)$ C、 $y = e^{x} + 2 e^{- x}$ D、 $y = \log_{2} x + 2 \log_{x} 2$

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24. 设 $x ， y \in R_{+}$ ， $S = x + y$ ， $P = x y$ ，以下四个命题中正确的是（）．

A、若 $P$ 为定值 $m$ ，则 $S$ 有最大值 $2 \sqrt{m}$ B、若 $S = P$ ，则 $P$ 有最大值4 C、若 $S = P$ ，则 $S$ 有最小值4 D、若 $S^{2} \geq k P$ 总成立，则 $k$ 的取值范围为 $k \leq 4$

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25. 下列说法正确的是（）.

A、若 $x ， y > 0$ ， $x + y = 2$ ，则 $2^{x} + 2^{y}$ 的最大值为4 B、若 $x < \frac{1}{2}$ ，则函数 $y = 2 x + \frac{1}{2 x - 1}$ 的最大值为-1 C、若 $x ， y > 0$ ， $x + y + x y = 3$ ，则 $x y$ 的最小值为1 D、函数 $y = \frac{1}{\sin^{2} x} + \frac{4}{\cos^{2} x}$ 的最小值为9

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26. 已知实数 $a ， b ， c$ 满足： $a + b + c = 0$ 且 $a b c = 2$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $a > b > c$ ，则 $c > - 1$ B、若 $a > b > c$ ，则 $a \geq 2$ C、 $a b + b c + c a \leq - 3$ D、 $| a | + | b | + | c | \geq 4$

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27. 若 $a > b > 1$ ，且 $a + 3 b = 5$ ，则（）

A、 $\frac{1}{a - b} + \frac{4}{b - 1}$ 的最小值为 $24$ B、 $\frac{1}{a - b} + \frac{4}{b - 1}$ 的最小值为 $25$ C、 $a b - b^{2} - a + b$ 的最大值为 $\frac{1}{4}$ D、 $a b - b^{2} - a + b$ 的最大值为 $\frac{1}{16}$

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28. 下列说法正确的是（）

A、若 $x < \frac{1}{2}$ ，则函数 $y = 2 x + \frac{1}{2 x - 1}$ 的最小值为 $- 1$ B、若 $a ， b ， c$ 都是正数，且 $a + b + c = 2$ ，则 $\frac{4}{a + 1} + \frac{1}{b + c}$ 的最小值是3 C、若 $x > 0 ， y > 0 ， x + 2 y + x y = 6$ ，则 $x + 2 y$ 的最小值是4 D、已知 $x y \neq 0$ ，则 $\frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{2 y^{2}}{x^{2} + 2 y^{2}}$ 的最大值为 $4 - 2 \sqrt{2}$

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