人教A版高一（上）数学期末突击训练专题：第一章（填空题）

试卷更新日期：2023-12-22 类型：复习试卷

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一、填空题

1. 已知集合 $A = {x | \frac{x - 2}{x - 3} < 0} ， B = {x | x^{2} - 2 x + 1 - a^{2} < 0} ，$ ，若“ $x ∈ A$ ”是“ $x ∈ B$ ”成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围是.

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2. 已知 $2 a - b = 3$ ，写出使得“ $m > - a^{2} + b + 1$ 对任意的实数a，b恒成立”的一个充分不必要条件为．（用含m的式子表示）

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3. 已知 $p ： \frac{5}{x + 1} \geq 2 ， q ： (x - 2 m) (x + m) \leq 0$ ，其中 $m \neq 0$ ，若 $p$ 是 $q$ 的充分条件，则实数 $m$ 的取值范围是.

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4. 已知函数 $f (x) = x + a ， g (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ ，若对任意 $x_{1} \in [0 ， 1]$ ，总存在 $x_{2} \in [- 1 ， 1]$ ，使得 $g (x_{2}) = f (x_{1})$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是

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5. 设集合 $Ω = {(x_{1} ， x_{2} ， \dots ， x_{2020}) | x_{i} \in {0 ， 1} ， i = 1 ， 2 ， \dots ， 2020}$ ，对于 $Ω$ 中的任意两个元素 $α = (x_{1} ， x_{2} ， \dots ， x_{2020})$ ， $β = (y_{1} ， y_{2} ， \dots ， y_{2020})$ ，记 $α * β = (x_{1} + y_{1} - x_{1} y_{1}) + (x_{2} + y_{2} - x_{2} y_{2}) + \dots +$ $(x_{2020} + y_{2020} - x_{2020} y_{2020})$ ，设 $u ， v \in Ω$ ，若 $u * u + v * v = 2020$ ，则 $u * v$ 的最小值是.

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6. 已知集合 $P = {1, 2, 3, 4, 5}$ ，若 $A, B$ 是 $P$ 的两个非空子集，则所有满足 $A$ 中的最大数小于 $B$ 中的最小数的集合对 $(A, B)$ 的个数为．

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7. 设三元集合 ${a ， \frac{b}{a} ， 1}$ = ${a^{2} ， a + b ， 0}$ ，则 $a^{2014} + b^{2015} =$ ．

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8. 已知 $[x]$ 表示不超过x的最大整数，如 $[1.3] = 1$ ， $[- 1.5] = - 2$ ， $[3] = 3$ .若 $[\frac{1}{2} [\frac{x + 1}{2}]] + [\frac{x + 1}{2}] = 1$ ，则x的取值范围是.

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9.

(1)、设A是任意一个11元正实数集合，令集合 $B = {u v | u, v \in A, u \neq v}$ ，则B的元素个数的最小值为．

(2)、设A是任意一个11元非负实数集合．令集合 $B = {u v | u, v \in A, u \neq v}$ ，则B的元素个数的最小值为．

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10. 已知有限集合 $A = {a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}} \subseteq (- 1, 1) (n \in N^{*}, n \geq 2)$ ，定义如下操作过程T：从A中任取两个元素 $a_{i}$ 、 $a_{j} (i \neq j)$ ，由 $A$ 中除了 $a_{i} a_{j}$ 、以外的元素构成的集合记为 $C_{1}$ ；①若 $\frac{a_{i} + a_{j}}{1 + a_{i} a_{j}} \notin C_{1}$ ，则令 $A_{1} = C_{1} \cup {\frac{a_{i} + a_{j}}{1 + a_{i} a_{j}}}$ ；②若 $\frac{a_{i} + a_{j}}{1 + a_{i} a_{j}} \in C_{1}$ ，则 $A_{1} = C_{1}$ ；这样得到新集合 $A_{1}$ ，例如集合 ${\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}}$ 经过一次操作后得到的集合可能是 $A_{1} = {\frac{5}{7}, \frac{1}{4}}$ 也可能得到 $A_{1} = {\frac{1}{3}, \frac{2}{3}}$ 等，可继续对取定的 $A_{1}$ 实施操作过程 $T$ ，得到的新集合记作 $A_{2}$ ，……，如此经过 $k$ 次操作后得到的新集合记作 $A_{k}$ ，设 $A = {- \frac{5}{7}, - \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}}$ ，对于 $A$ ，反复进行上述操作过程，当所得集合 $B$ 只有一个元素时，则所有可能的集合 $B$ 为．

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11. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 3 x - 10 \leq 0}$ ，集合 $B = {x | p + 1 \leq x \leq 2 p - 1}$ ，若 $B \subseteq A$ ，实数 $p$ 的取值范围是．

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12. 用集合的交和并表示图中阴影部分为．

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13. 非空数集 $A$ 与 $B$ 之间定义长度 $d (x ， y)$ ，使得 $d (y_{1} ， y_{2}) = | y_{1} - y_{2} |$ ，其中 $y_{1} \in A$ ， $y_{2} \in B$ ，若所有的 $d (x ， y)$ 中存在最小值 $d ({y^{'}}_{1} ， {y^{'}}_{2})$ ，则称 $d ({y^{'}}_{1} ， {y^{'}}_{2})$ 为集合 $A$ 与 $B$ 之间的距离，现已知集合 $A = {y_{1} | a \leq y_{1} \leq 2 a - 1}$ ， $B = {y_{2} | y_{2} = y_{1}^{2} + y_{1} + 1 ， y_{1} \in A}$ ，且 $d ({y^{'}}_{1} ， {y^{'}}_{2})$ =4，则 $a$ 的值为.

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14. 设是非空集合，定义 ={ 且 }，已知，，则 = ．

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15. 设集合 $P_{n} = {1 ， 2 ， \dots . n}$ ， $n \in N *$ ．记 $f (n)$ 为同时满足下列条件的集合 $A$ 的个数：
① $A \subseteq P_{n}$ ；②若 $x \in A$ ，则 $2 x \notin A$ ；③若 $x \in ∁_{P_{n}} A$ ，则 $2 x \notin ∁_{P_{n}} A$ ．
则（ $1$ ） $f (4) =$ ；
（ $2$ ） $f (n)$ 的解析式（用 $n$ 表示） $f (n) =$ ．

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16. 用M[A]表示非空集合A中的元素个数，记|A﹣B|= ${\begin{matrix} M [A] - M [B] ， M [A] \geq M [B] \\ M [B] - M [A] ， M [A] < M [B] \end{matrix}$ ，若A={1，2，3}，B={x||x²﹣2x﹣3|=a}，且|A﹣B|=1，则实数a的取值范围为．

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17. 不等式 $\{\begin{cases} a x > - 1 \\ x + a > 0 \end{cases}$ 的解集不是空集，则实数a的取值范围是

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18. 定义集合A，B的一种运算“*”，A*B={p|p=x+y，x∈A，y∈B}．若A={1，2，3}，B={1，2}，则集合A*B中所有元素的和．

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19. 在平面直角坐标系中，点集A＝{（x，y）|x²+y²≤1}，B＝{（x，y）|x≤4，y≥0，3x﹣4y≥0}，则点集Q＝{（x，y）|x＝x₁+x₂ ， y＝y₁+y₂ ，（x₁ ， y₁）∈A，（x₂ ， y₂）∈B}所表示的区域的面积为．

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20. 向量集合 $S = {\overset{⇀}{a} | \overset{⇀}{a} = (x, y), x, y \in R}$ ,对于任意 $α, β \in S$ ,以及任意 $λ \in (0, 1)$ ,都有 $λ α + (1 - λ) β \in S$ ,则称 $S$ 为“ $C$ 类集”,现有四个命题:
①若 $S$ 为“ $C$ 类集”,则集合 $M = {μ \overset{⇀}{a} | \overset{⇀}{a} \in S, μ \in R}$ 也是“ $C$ 类集”;

②若 $S$ , $T$ 都是“ $C$ 类集”,则集合 $M = {\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} | \overset{⇀}{a} \in S, \overset{⇀}{b} \in T}$ 也是“ $C$ 类集”;

③若 $A_{1}, A_{2}$ 都是“ $C$ 类集”,则 $A_{1} \cup A_{2}$ 也是“ $C$ 类集”;

④若 $A_{1}, A_{2}$ 都是“ $C$ 类集”,且交集非空,则 $A_{1} \cap A_{2}$ 也是“ $C$ 类集”.

其中正确的命题有(填所有正确命题的序号)

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21. 在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为 $[k]$ ，即 $[k] = {5 n + k | n \in Z}$ ， $k = 0, 1, 2, 3, 4$ .给出如下四个结论：
① $2020 \in [0]$ ；

② $- 3 \in [3]$ ；

③ $Z = [0] \cup [1] \cup [2] \cup [3] \cup [4]$ ；

④整数a，b属于同一“类”的充要条件是“ $a - b \in [0]$ ”.

其中正确结论有（填写正确结论标号）.

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22. 当集合 $A = {x | (m x - m^{2} - 8) (x - 1) > 0, x \in Z}$ 中的元素个数最少时，实数 $m$ 的取值范围是

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23. 已知函数 $f (x) = x^{2} + (a - 2) x - a \ln x$ ，则“ $a > 0$ ”是“函数 $f (x)$ 有且仅有一个极值点”的条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）

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24. 已知函数 $f (x)$ 是 $R$ 上的减函数，且 $f (0) = 3, f (3) = - 1$ .设 $P = {x | - 1 < f (x + t) < 3}$ ， $Q = {x | f (x) < - 1}$ ，若“ $x \in P$ ”是“ $x \in Q$ ”的充分不必要条件，则实数 $t$ 的取值范围是.

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25. 设集合 $M = {α, β, γ}$ ，其中 $α 、 β 、 γ$ 是复数，若集合 $M$ 中任意两数之积及任意一个数的平方仍是 $M$ 中的元素，则集合 $M =$ ；

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26. 已知 $f (x) = x^{3} - 3 x$ ， $g (x) = m^{2} x - 1$ .对 $\forall x_{1} \in [- 1, 1]$ ， $\exists x_{0} \in [0, 2]$ ，使 $g (x_{1}) = f (x_{0})$ ，则 $m$ 的取值范围．

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